リフティング理論

数学において、リフティング理論は、1931年の先駆的な論文でジョン・フォン・ノイマンによって初めて導入されました。この論文で、彼はアルフレッド・ハールが提起した疑問に答えました。^[1]この理論は、ドロシー・マハラム(1958) ^[2]とアレクサンドラ・イオネスク・トゥルチャとカッシウス・イオネスク・トゥルチャ(1961) によってさらに発展させられました。^[3]リフティング理論は、その驚くべき応用によって大きな動機づけられました。1969年までのその発展は、イオネスク・トゥルチャのモノグラフで説明されました。^[4]リフティング理論はそれ以来発展を続け、新しい結果と応用を生み出しました。

測度空間上の持ち上げは、商写像の 右逆で ある線形かつ乗法的な演算子である。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$$${\displaystyle T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$$${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\\f\mapsto [f]\end{cases}}}$$

ここで、は測定可能な関数の半ノルムL ^p空間であり、は、その通常のノルム商である。言い換えれば、リフティングは、無視できる関数を法とする有界測定可能な関数のすべての同値類から、代表値（以下、またはまたは単にと表記）を、すべておよびすべてに対して、となるように選択する。${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle [f]}$${\displaystyle T([f])}$${\displaystyle T[f]}$${\displaystyle Tf}$${\displaystyle T[1]=1}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle T(r[f]+s[g])(p)=rT[f](p)+sT[g](p),}$$ $${\displaystyle T([f]\times [g])(p)=T[f](p)\times T[g](p).}$$

リフティングは、測度の分解、たとえば連続ランダム変数を与えられた条件付き確率分布や、関数の準位集合上のルベーグ測度のファイブレーションを 生成するために使用されます。

定理。が完備であると仮定する。[ ^5]すると、を持ち上げることが可能になるのは、その和がであるような互いに素な可積分集合の集合が存在する場合のみである。 特に、 がσ有限^{[6]測度または}局所コンパクト空間上の内部正則ボレル測度の完備である場合、を持ち上げることが可能である。${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

証明は、持ち上げをより大きなサブσ代数に拡張し、その過程で可算な連鎖に遭遇した場合には ドゥーブのマルチンゲール収束定理を適用することである。

が完備で、完全に正則なハウスドルフ位相を備え、無視できる開集合の集合の和集合が再び無視できると仮定する。これは、がσ有限であるか、ラドン測度から来ている場合に当てはまる。この場合、の台は最大の無視できる開部分集合の補集合として定義でき、有界連続関数の集合は に属する。${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau \subseteq \Sigma }$${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu ),}$${\displaystyle C_{b}(X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ).}$

の強い持ち上げとは、のすべての開集合に対して が成り立つ持ち上げの ことである。これは、 ^[7]のすべての開集合に対して が成り立つことを要求するのと同じである。${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$$${\displaystyle T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$${\displaystyle T\varphi =\varphi }$${\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu )}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle C_{b}(X,\tau ).}$ ${\displaystyle TU\geq (U\cap \operatorname {Supp} (\mu ))}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \tau .}$

定理。がσ有限かつ完全であり、可算基底を持つ場合、強い持ち上げが可能です。${\displaystyle (\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

証明。を の持ち上げ、を の可算基底とします。無視できる集合内の 任意の点に対して、をの指標を拡張する 上の任意の指標^[8]と します。すると、における、におけるに対して、が目的の強い持ち上げである と定義されます 。${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle N:=\bigcup \nolimits _{n}\left\{p\in \operatorname {Supp} (\mu ):(T_{0}U_{n})(p)<U_{n}(p)\right\}}$$${\displaystyle T_{p}}$${\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \phi \mapsto \phi (p)}$${\displaystyle C_{b}(X,\tau ).}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [f]}$${\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$${\displaystyle (T[f])(p):={\begin{cases}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\T_{p}[f]&p\in N.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle T}$

とがσ有限測度空間（正）であり、が可測写像であるとする。を に関して分解すると、はσ加法的な正測度の集合となり、 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle (Y,\Phi ,\nu )}$${\displaystyle \mu ,\mu }$${\displaystyle \pi :X\to Y}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle Y\ni y\mapsto \lambda _{y}}$${\displaystyle (\Sigma ,\mu )}$

1. ${\displaystyle \lambda_{y}}$は以上の繊維によって運ばれ、すなわち、ほぼすべての${\displaystyle \pi ^{-1}(\{y\})}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{y\}\in \Phi }$${\displaystyle \lambda _{y}\left((X\setminus \pi ^{-1}(\{y\})\right)=0}$${\displaystyle y\in Y}$
2. のほぼすべてが-積分可能であるという意味で、すべての-積分可能関数に対して、関数は-積分可能であり、表示された等式が成り立ちます。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f,}$$${\displaystyle \int _{X}f(p)\;\mu (dp)=\int _{Y}\left(\int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)\right)\nu (dy)\qquad (*)}$$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda _{y}}$$${\displaystyle y\mapsto \int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)}$$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle (*)}$

崩壊はさまざまな状況で存在し、証明はさまざまですが、ほとんどすべてで強いリフティングが使用されています。ここでは、かなり一般的な結果を示します。その短い証明は、全体的な雰囲気を伝えます。

定理。がポーランド空間[ ^9]と可分ハウスドルフ空間で、両方ともボレルσ代数を備えているとします。が上のσ有限ボレル測度と可測写像であるとします。すると上のσ 有限ボレル測度と崩壊 (*) が存在します。 が有限である場合、はプッシュフォワード^[10]と見なすことができ、 は確率です。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :X\to Y}$${\displaystyle \Sigma ,\Phi -}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \pi _{*}\mu ,}$${\displaystyle \lambda _{y}}$

証明。のポーランド語の性質により、互いに素で、その和集合が無視できる補集合を持ち、 が連続する のコンパクト部分集合の列が存在する。この観察により、問題は、と が両方ともコンパクトで、 が連続で、の下で完全であり、に対して強い持ち上げを固定する場合に帰着する。 有界な -測定可能な関数が与えられたとき、 がその下での条件付き期待値を表すものとする。つまり、に対する^[11]のラドン・ニコディム導関数である。 次に、 の任意の に対して と設定する。これが崩壊を定義することを示すことは、簿記と適切なフビニの定理の問題である。持ち上げの強さがどのように入ってくるかを見るために、 であることに注意し 、 が の すべての正の に対して下限を取ると、のサポートが上のファイバーにあることが明らかになる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \nu =\pi _{*}\mu .}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle (Y,\Phi ,\nu ).}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \lfloor f\rfloor }$${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \pi _{*}(f\mu )}$${\displaystyle \pi _{*}\mu .}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).}$$${\displaystyle \lambda _{y}(f\cdot \varphi \circ \pi )=\varphi (y)\lambda _{y}(f)\qquad \forall y\in Y,\varphi \in C_{b}(Y),f\in L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle C_{b}(Y)}$${\displaystyle \varphi (y)=1;}$${\displaystyle \lambda _{y}}$${\displaystyle y.}$