無条件収束

数学、特に関数解析において、級数が無条件収束するとは、級数の順序を変えても同じ値に収束する場合を言う。対照的に、級数が収束しても異なる順序を変えても同じ値に収束しない場合は、級数は条件付き収束すると言う。無条件収束は有限次元ベクトル空間における絶対収束と同等であるが、無限次元ではより弱い特性となる。

を位相ベクトル空間とする。をインデックス集合とし、すべての${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x_{i}\in X}$${\displaystyle i\in I.}$

この級数 は、​ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$${\displaystyle x\in X,}$

• 索引集合は可算であり、${\displaystyle I_{0}:=\left\{i\in I:x_{i}\neq 0\right\}}$
• 次の関係のすべての順列（一対一）が成り立ちます。${\displaystyle \sigma :I_{0}\to I_{0}}$${\displaystyle I_{0}=\left\{i_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }x_{\sigma \left(i_{k}\right)}=x.}$

無条件収束は、多くの場合、同等の方法で定義されます。つまり、その数列 を持つすべてのシーケンスが 収束する場合、その数列は無条件収束します。 ${\displaystyle \left(\varepsilon _{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\},}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$$

がバナッハ空間である場合、すべての絶対収束級数は無条件収束しますが、その逆の含意は一般には成り立ちません。実際、 が無限次元バナッハ空間 である場合、ドヴォレツキー-ロジャーズの定理により、この空間には絶対収束しない無条件収束級数が常に存在します。しかし、 のとき、リーマン級数定理により、級数が無条件収束するのは、それが絶対収束する場合のみです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},}$${\textstyle \sum _{n}x_{n}}$

• 絶対収束 – 無限級数の収束モード
• 収束モード（注釈付き索引）  – さまざまな収束モードの注釈付き索引
• 再配置と無条件収束/ドヴォレツキー・ロジャースの定理 – 無限級数の収束モード
• リーマン級数定理 – 無条件収束する級数は絶対収束する

• Ch. Heil: 基礎理論入門
• ノップ、コンラッド（1956）。無限列と級数。ドーバー出版。ISBN 9780486601533。
• ノップ、コンラッド（1990）。無限級数の理論と応用。ドーバー出版。ISBN 9780486661650。
• Wojtaszczyk, P. (1996).解析者のためのバナッハ空間. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521566759。

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