双曲線

双曲線は、ユークリッド平面上の点の集合（点の軌跡）として幾何学的に定義できる。

双曲線は、任意の点に対して、${\displaystyle P}$セット内の距離の絶対差${\displaystyle |PF_{1}|,\,|PF_{2}|}$2つの固定点へ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$（焦点）は一定であり、通常はで表されます。${\displaystyle 2a,\,a>0}$: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle H=\left\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\right\}.}$$

中間点${\displaystyle M}$焦点を結ぶ線分の頂点は双曲線の中心と呼ばれます。 ^{[ 7 ]}焦点を通る線は長軸と呼ばれます。頂点は${\displaystyle V_{1},V_{2}}$距離が${\displaystyle a}$中心までの距離。${\displaystyle c}$焦点から中心までの比は焦点距離または線形偏心率と呼ばれます。${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$奇抜さ${\displaystyle e}$。

方程式${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$別の見方もできます（図を参照） ：${\displaystyle c_{2}}$中点を持つ円は${\displaystyle F_{2}}$半径${\displaystyle 2a}$すると、点の距離${\displaystyle P}$円への右枝${\displaystyle c_{2}}$焦点までの距離に等しい${\displaystyle F_{1}}$: $${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$${\displaystyle c_{2}}$円準線（焦点に関連する）と呼ばれる${\displaystyle F_{2}}$双曲線の ) 。^{[ 8 ] [ 9 ]}双曲線の左側の枝を得るには、 に関連する円準線を使用する必要があります。${\displaystyle F_{1}}$この性質は、下に示した準線（直線）を用いた双曲線の定義と混同してはならない。

xy座標系を原点を中心に角度だけ回転させると$\displaystyle +45^{\circ }}$そして新しい座標${\displaystyle \xi ,\eta }$割り当てられると、${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$直角 双曲線$\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$（半軸が等しい）新しい方程式は次のようになる${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$解く${\displaystyle \eta }$収量${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

したがって、xy座標系では関数のグラフは${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$方程式付き $${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$は、第1象限と第3象限に完全に含まれる直角双曲線で、

• 座標軸を漸近線として、
• ライン${\displaystyle y=x}$主軸として、
• センター​${\displaystyle (0,0)}$そして半軸${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• 頂点​${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• 半正弦線と頂点における曲率半径${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• 線形偏心率${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$そしてその奇抜さ${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• 接線​${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$地点で${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

元の双曲線の回転${\displaystyle -45^{\circ }}$その結果、第2象限と第4象限に完全に含まれる直角双曲線が得られ、漸近線、中心、半正弦、頂点における曲率半径、線形離心率、および離心率は、の場合と同じになります。${\displaystyle +45^{\circ }}$回転、方程式 $${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• 半軸${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• ライン${\displaystyle y=-x}$主軸として、
• 頂点​${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

方程式を用いて双曲線をシフトする${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$新しいセンターは${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$新たな方程式が得 られる$${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$ そして新しい漸近線は${\displaystyle x=c_{0}}$そして${\displaystyle y=d_{0}}$形状パラメータ${\displaystyle a,b,p,c,e}$変更なし。

遠く離れた2本の線${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$中心から短軸に平行な線は、双曲線の準線と呼ばれます（図を参照）。

任意の点について${\displaystyle P}$双曲線において、一方の焦点までの距離と対応する準線までの距離の比（図を参照）は、離心率に等しい。 $${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$ ペアの証明${\displaystyle F_{1},l_{1}}$事実から導かれる${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$そして${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$方程式を満たす $${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$ 2番目のケースも同様に証明できる。

逆の命題も真であり、双曲線を定義するために使用できる（放物線の定義と同様の方法で）。

どの時点でも${\displaystyle F}$（フォーカス）、任意の線${\displaystyle l}$（主成分）${\displaystyle F}$任意の実数${\displaystyle e}$と${\displaystyle e>1}$点と直線までの距離の比が${\displaystyle e}$$${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$ 双曲線です。

（選択）${\displaystyle e=1}$放物線を生成し、${\displaystyle e<1}$楕円。）

証拠

させて${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$そして仮定する${\displaystyle (0,0)}$曲線上の点です。準線${\displaystyle l}$方程式がある${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$。 と${\displaystyle P=(x,y)}$関係${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$方程式を生成する

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$そして${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

代替${\displaystyle p=f(1+e)}$収量 $${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$これは楕円 の方程式です（${\displaystyle e<1}$）または放物線（${\displaystyle e=1}$）または双曲線（${\displaystyle e>1}$これらの非退化円錐曲線はすべて、原点が頂点であるという共通点を持っています（図を参照）。

もし${\displaystyle e>1}$新しいパラメータを導入する${\displaystyle a,b}$となることによって${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$すると上記の式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$ これは中心が の双曲線の式です${\displaystyle (-a,0)}$x軸を主軸とし、長/短半軸を${\displaystyle a,b}$。

直立した二重円錐と、頂点を通らない平面との交線で、円錐上の直線の傾きよりも傾きが大きいものは双曲線である（図：赤い曲線を参照）。双曲線の定義特性（上記参照）を証明するために、2つのダンデリン球を用いる。${\displaystyle d_{1},d_{2}}$これらは円に沿って円錐に接する球体です${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$そして、交差する（双曲線）平面は、${\displaystyle F_{1}}$そして${\displaystyle F_{2}}$結果として、以下のことが明らかになった。${\displaystyle F_{1},F_{2}}$これらは双曲線の焦点である。

1. させて${\displaystyle P}$交点曲線上の任意の点とする。
2. 円錐の母線${\displaystyle P}$円と交差する${\displaystyle c_{1}}$地点で${\displaystyle A}$そして円${\displaystyle c_{2}}$ある時点で${\displaystyle B}$。
3. 線分${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$そして${\displaystyle {\overline {PA}}}$球面に接している${\displaystyle d_{1}}$したがって、長さは同じである。
4. 線分${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$そして${\displaystyle {\overline {PB}}}$球面に接している${\displaystyle d_{2}}$したがって、長さは同じである。
5. 結果は以下の通りです。${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$双曲線の点とは無関係である${\displaystyle P}$なぜなら、どの地点でも${\displaystyle P}$は、${\displaystyle A,B}$円を描く必要がある${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$、および線分${\displaystyle AB}$頂点を横切る必要があります。したがって、点として${\displaystyle P}$赤い曲線（双曲線）に沿って移動し、線分${\displaystyle {\overline {AB}}}$長さを変えることなく、頂点を中心に回転するだけです。

双曲線の焦点と円の準線による定義（上記参照）は、ピン、紐、定規を使ってその弧を描くために使用できます。^{[ 10 ]}

0. 焦点を選択する${\displaystyle F_{1},F_{2}}$例えば、円形の準線の1つ${\displaystyle c_{2}}$（半径の円）${\displaystyle 2a}$）
1. 定規が一点に固定されている${\displaystyle F_{2}}$自由に回転できる${\displaystyle F_{2}}$。 ポイント${\displaystyle B}$遠くからマークされている${\displaystyle 2a}$。
2. 紐の一端が一点で固定される${\displaystyle A}$定規上にその長さが作られる${\displaystyle |AB|}$。
3. 弦の自由端は一点に固定されている${\displaystyle F_{1}}$。
4. ペンを取り、紐を定規の端にしっかりと押し当ててください。
5. 定規を回転させて${\displaystyle F_{2}}$ペンに双曲線の右側の枝の弧を描くように促すのは、${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$（円準線による双曲線の定義を参照）。

双曲線の単一点を構成する以下の方法は、非退化円錐曲線のシュタイナー生成に基づいています。

鉛筆が2本与えられた${\displaystyle B(U),B(V)}$2点における線${\displaystyle U,V}$（すべての行に${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$（それぞれ）投影マッピングだが透視マッピングではない${\displaystyle \pi }$の${\displaystyle B(U)}$に${\displaystyle B(V)}$すると、対応する直線の交点は非退化射影円錐曲線を形成する。

双曲線の点を生成するために${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$頂点では鉛筆を使用する${\displaystyle V_{1},V_{2}}$。 させて${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$双曲線の点であり、${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$線分${\displaystyle {\overline {BP}}}$n 個の等間隔のセグメントに分割され、この分割は対角線と平行に投影される。${\displaystyle AB}$線分への方向として${\displaystyle {\overline {AP}}}$（図を参照）。平行投影は、ペンシル間の投影マッピングの一部です。${\displaystyle V_{1}}$そして${\displaystyle V_{2}}$必要。関連する2つの線の交点${\displaystyle S_{1}A_{i}}$そして${\displaystyle S_{2}B_{i}}$これらは、一意に定義された双曲線の点である。

備考：

• 細分化はポイントを超えて拡張される可能性がある${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$より多くの点を得るためには、交点の判定精度を高める必要があるが、そうすると交点の判定精度が低下する。より良い方法は、対称性によって既に構築された点を拡張することである（アニメーションを参照）。
• シュタイナー世代は、楕円や放物線にも存在する。
• シュタイナー生成法は、頂点以外の点も使用できるため、平行四辺形法と呼ばれることもあります。これは、長方形ではなく平行四辺形から始める方法です。

方程式を持つ双曲線${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$3つの点によって一意に決定される${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$異なるx座標とy座標を持つ。形状パラメータを決定する簡単な方法${\displaystyle a,b,c}$双曲線の円周角定理を使用する。

方程式を用いて2つの直線の間の角度を測定するには${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$この文脈では商が使われる $${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$$

円の内接角定理と同様に、

双曲線の内接角定理の帰結として、

双曲線の別の定義では、アフィン変換が用いられる。

任意の双曲線は、方程式を持つ単位双曲線のアフィン像である。${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$。

単位双曲線は${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$アフィン的に双曲線と同等である${\displaystyle y=1/x}$任意の双曲線は、双曲線のアフィン像（前のセクションを参照）と考えることができる。${\displaystyle y=1/x\,}$:

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$双曲線の中心、ベクトル${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$漸近線の方向と${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$は双曲線の点です。接線ベクトルは $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$ 頂点では接線は長軸に垂直である。したがって $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$ 頂点のパラメータは

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$と同等${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$そして${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$これらは双曲線の頂点です。

この節で紹介した双曲線の表現方法を用いることで、双曲線の以下の性質を容易に証明できる。

接線構造

接線ベクトルは因数分解によって次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$ これはつまり

対角線${\displaystyle AB}$平行四辺形の${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$双曲線上の点における接線に平行である${\displaystyle P}$（図を参照）。

この性質は、双曲線上の点における接線を構成する方法を提供する。

双曲線のこの性質は、パスカルの定理の3点退化のアフィン版である。^{[ 13 ]}

灰色の平行四辺形の面積

灰色の平行四辺形の面積${\displaystyle MAPB}$上記の図では $${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {ab}{2}}}$$ したがって、点とは無関係である${\displaystyle P}$最後の式は、次のケースの計算から導かれる。${\displaystyle P}$は頂点であり、双曲線は標準形である。${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

ポイント構築

パラメトリック表現を持つ双曲線の場合${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$（簡略化のため、中心を原点とする）以下は正しい。

任意の2点について${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$ポイント

$${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$$

双曲線の中心と一直線上にある（図を参照）。

簡単な証明は、次の式から導かれる。${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$。

この性質により、漸近線と1点が与えられている場合に、双曲線の点を構成することが可能になる。

双曲線のこの性質は、パスカルの定理の4点退化のアフィン版である。^{[ 14 ]}

接線漸近線三角形

簡略化のため、双曲線の中心は原点とし、ベクトルは${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$長さが等しい。最後の仮定が満たされない場合は、まずパラメータ変換（上記参照）を適用して仮定を真にすることができる。したがって${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$頂点は、${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$短軸にまたがると、${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$そして${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$。

点における接線の交点について${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$漸近線を用いると、次の点が得られる。 $${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$三角形の 面積${\displaystyle M,C,D}$2×2行列式で計算できます。 $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$（行列式 の規則を参照）。 ${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$は、によって生成されるひし形の面積です。${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ひし形の面積は、対角線の積の半分に等しい。対角線は半軸である。${\displaystyle a,b}$双曲線の。したがって：

三角形の面積${\displaystyle MCD}$双曲線の点とは無関係である。${\displaystyle A=ab.}$

円Bを円Cに反転させると、必ず双曲線などの円錐曲線が得られます。「円Cへの反転」とは、幾何学的図形のすべての線と点を、それぞれ対応する極と極座標に置き換えることです。線の極は、円Cに最も近い点の反転であり、点の極座標はその逆、つまり、 Cに最も近い点がその点の反転である線です。

往復運動によって得られる円錐曲線の偏心率は、2 つの円の中心間の距離と往復円Cの半径rの比である。BとC が対応する円の中心にある点を表す場合、

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

双曲線の離心率は常に1より大きいので、中心Bは相互円Cの外側に位置しなければならない。

この定義は、双曲線が円Bへの接線の極の軌跡であると同時に、B上の点の極線の包絡線でもあることを意味します。逆に、円Bは双曲線上の点の極線の包絡線であり、双曲線への接線の極の軌跡でもあります。B への 2 つの接線は、相互円 C の中心Cを通るため、（有限の）極を持ちません。B上の対応する接点の極線は、双曲線の漸近線です。双曲線の 2 つの枝は、これらの接点によって分離された円Bの 2 つの部分に対応します。

双曲線は、デカルト座標系における2次方程式としても定義できる。${\displaystyle (x,y)}$飛行機の中で、

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

ただし定数は${\displaystyle A_{xx},}$${\displaystyle A_{xy},}$${\displaystyle A_{yy},}$${\displaystyle B_{x},}$${\displaystyle B_{y},}$そして${\displaystyle C}$行列式の条件を満たす

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

この行列式は慣習的に円錐曲線の判別式と呼ばれている。 ^{[ 15 ]}

双曲線の特殊なケースとして、2本の交差する直線からなる退化双曲線は、別の行列式がゼロの場合に発生する。

$${\displaystyle \Delta$$ :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}

この決定要因${\displaystyle \Delta }$は円錐曲線の判別式と呼ばれることもある。^{[ 16 ]}

一般式の係数は、既知の長半径から求めることができる。${\displaystyle a,}$短軸${\displaystyle b,}$中心座標${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$回転角度${\displaystyle \theta }$（正の水平軸から双曲線の長軸までの角度）を以下の式を用いて求めます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

これらの式は正準方程式から導き出すことができる。

$$\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

座標の平行移動と回転によって${\displaystyle (x,y)}$:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

上記のようにデカルト座標系における双曲線の一般的なパラメータ化を考慮すると、円錐曲線#係数による偏心率の式を使用して偏心率を求めることができます。

センター${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$双曲線の は、以下の式から求めることができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

新しい座標に関して言えば、$\displaystyle \xi =x-x_{c}}$そして${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$双曲線の定義式は次のように書ける。

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

双曲線の主軸は角度をなす${\displaystyle \varphi }$ポジティブな${\displaystyle x}$軸は次のように与えられます

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

座標軸を回転させて${\displaystyle x}$軸が横軸と一致すると、方程式は標準形になる

$$\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

長軸と短軸${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は、以下の式によって定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

どこ$\displaystyle \lambda _{1}}$そして$\displaystyle \lambda _{2}}$は二次方程式の根です

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

比較のために、退化双曲線（2本の交差する直線で構成される）に対応する方程式は次のようになる。

$$\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

与えられた点への接線${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$双曲線は、次の式で定義されます。

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

どこ${\displaystyle E,}$${\displaystyle F,}$そして${\displaystyle G}$定義される

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

同じ点における双曲線の法線は次の式で与えられる。

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

法線は接線に垂直であり、両方とも同じ点を通る。${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

方程式から

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

左側の焦点は${\displaystyle (-ae,0)}$そして正しい焦点は${\displaystyle (ae,0),}$どこ${\displaystyle e}$は離心率です。点からの距離を で表します。${\displaystyle (x,y)}$左と右の焦点に$\displaystyle r_1}}$そして$\displaystyle r_{2}.$右側の枝上の点については、

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

そして左側の枝上の点については、

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$