逆双曲線関数

数学において、逆双曲線関数は双曲線関数の逆関数であり、逆円関数に類似しています。一般的に用いられるのは、逆双曲線正弦、逆双曲線余弦、逆双曲線正接、逆双曲線余割、逆双曲線正割、逆双曲線余接の6種類です。これらは通常、双曲線関数の記号にarc-またはar-を接頭辞として付けるか、上付き文字を付けて表されます。${\displaystyle {-1}}$(例えばarcsinh、arsinh、または$\displaystyle \sinh ^{-1}}$)

双曲線関数の特定の値に対して、逆双曲線関数は対応する双曲線角の測定値を提供します。例えば、${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a}$そして${\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.}$双曲線角の測定は単位双曲線の弧の長さです${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ローレンツ平面で測定した場合（ユークリッド平面における双曲線弧の長さではない）、対応する双曲線扇形の面積の2倍。これは、円角の測定値がユークリッド平面における単位円の弧の長さ、または対応する円形扇形の面積の2倍であるのと同様である。あるいは、双曲線角は双曲線の扇形の面積である。${\displaystyle xy=1.}$一部の著者は逆双曲線関数を双曲線面積関数と呼んでいる。^{[ 1 ]}

双曲線関数は、双曲幾何学における角度や距離の計算に現れます。また、多くの線形微分方程式（懸垂線を定義する方程式など）、三次方程式、およびデカルト座標系におけるラプラス方程式の解にも現れます。ラプラス方程式は、電磁気学、熱伝達、流体力学、特殊相対性理論など、物理学の多くの分野で重要です。

最も初期に広く採用された記号は、逆円関数( arcsinなど)との類推により、接頭辞arc- (つまり、arcsinh、arccosh、arctanh、arcsech、arccsch、arccoth ) を使用します。ローレンツ平面 (符号(1, 1)の擬似ユークリッド平面) ^{[ 2 ]}または双曲数平面^{[ 3 ]}における単位双曲線(「ローレンツ円」) の場合、双曲線角の測定値(双曲線関数の引数) は、確かに双曲線弧の弧長です。

また、表記法として一般的なものもある。${\displaystyle \sinh ^{-1},}$${\displaystyle \cosh ^{-1},}$など、^{[ 4 ] [ 5 ]}ただし、上付き文字 −1 を指数として誤って解釈しないように注意する必要がある。標準的な慣例は、${\displaystyle \sinh ^{-1}x}$または${\displaystyle \sinh ^{-1}(x)}$逆関数を意味する一方${\displaystyle (\sinh x)^{-1}}$または$\displaystyle \sinh(x)^{-1}}$逆数​${\displaystyle 1/\sinh x.}$特に矛盾しているのは、関数合成ではなく指数を示すために正の整数の上付き文字を慣習的に使用することである。$\displaystyle \sinh ^{2}x$慣習的に意味する${\displaystyle (\sinh x)^{2}}$そしてそうではない${\displaystyle \sinh(\sinh x).}$

双曲線関数の引数はユークリッド平面上の双曲線弧の長さではないため、一部の著者は接頭辞arc- を非難し、接頭辞ar- ( '面積'用) またはarg- ( '引数'用) を推奨すべきだと主張している。^{[ 6 ]}この勧告に従い、ISO 80000-2標準略語では接頭辞ar-を使用している(つまり、 arsinh、arcosh、artanh、arsech、arcsch、arcoth など)。

コンピュータプログラミング言語では、逆円関数と逆双曲線関数は、短い接頭辞a- ( asinh、 など) を付けて命名されることが多い。

本稿では便宜上、接頭辞「ar-」を一貫して用いる。

双曲線関数は指数関数の二次有理関数であるため${\displaystyle \exp x,}$これらは二次方程式の解の公式を用いて解くことができ、その後自然対数を用いて表すことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{または}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}$$

複素引数の場合、逆円関数と逆双曲線関数、平方根、自然対数はすべて多価関数です。

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$$$${\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}$$

$${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {sgn} (x-1)\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\operatorname {sgn} x\operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}$$

これらの公式は双曲線関数の導関数を用いて導出できます。例えば、${\displaystyle x=\sinh \theta }$、 それから${\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}$それで $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$$

上記の関数について、展開級数を求めることができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$$arsinh の漸近展開は次のように与え られる。

$${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$$

複素変数の関数として、逆双曲線関数は、有限個の点を除いて解析的な多価関数です。このような関数に対しては、多価関数の特定の枝と一致する単価の解析関数である主値を定義するのが一般的です。定義域は、有限個の弧（通常は半直線または線分）が除去された複素平面で構成されます。これらの弧は枝切断と呼ばれます。多価関数の主値は特定の点で選択され、定義域内の他の点の値は解析接続によって得られた値と一致するように定義されます。

例えば、平方根の場合、主値は実部が正である平方根として定義されます。これにより、変数の実部が非正の場合（2つの平方根の実部がゼロの場合）を除いて、どこでも定義される単一値の解析関数が定義されます。この平方根関数の主値は、${\displaystyle {\sqrt {x}}}$以下では、同様に、対数の主値は、${\displaystyle \operatorname {Log} }$以下では、は虚部の絶対値が最小となる値として定義される。は、変数の非正の実数値を除き、あらゆる場所で定義される。非正の実数値の場合、対数の2つの異なる値が最小値に達する。

すべての逆双曲線関数について、主値は平方根と対数関数の主値で定義できます。ただし、場合によっては、§ 対数による定義の式では正しい主値が得られず、定義域が小さすぎたり、あるケースでは非連結になったりします。

グラフィック表示

逆双曲線関数の主値をグラフで表した以下の図では、分岐切断線は色の不連続点として現れます。分岐切断線全体が不連続点として現れるということは、これらの主値がより広い領域で定義された解析関数に拡張できないことを示しています。言い換えれば、上述の分岐切断線は最小値です。

arsinh( z )

arcosh( z )

artanh( z )

arcoth( z )

arsech( z )

arcsch( z )

複素z平面における逆双曲線関数：平面上の各点の色は、その点におけるそれぞれの関数の複素数値を表します。

• 複素対数
• 双曲線割線分布
• ISO 80000-2
• 逆双曲線関数の積分の一覧

• ハーバート・ブーゼマンとポール・J・ケリー（1953）射影幾何学と射影計量、207ページ、アカデミック・プレス。

• 「逆双曲線関数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]