三辺測量

真距離多辺測量（レンジ-レンジ多辺測量、球面多辺測量とも呼ばれる）は、移動車両または静止点と、空間的に分離された複数の既知の位置（しばしば「ステーション」と呼ばれる）との間の複数の距離（レンジ）を使用して、空間内の移動車両または静止点の位置を決定する方法です。^{[ 7 ] [ 8 ]}エネルギー波はレンジの決定に関係する場合がありますが、必須ではありません。

真距離マルチラテレーションは、数学的なトピックであると同時に、いくつかの分野で使用される応用技術でもあります。固定位置に関する実用的な応用例としては、測量があります。^{[ 9 ] [ 10 ]}車両の位置に関するアプリケーションは、車載の人や機器にその位置が通知される場合はナビゲーションと呼ばれ、車両外のエンティティに車両の位置が通知される場合は監視と呼ばれます。

既知の2つの位置からの2つの斜距離を用いて、2次元直交座標空間（平面）上の3番目の点を特定することができます。これは測量などで頻繁に用いられる手法です。同様に、2つの球面距離を用いて球面上の点を特定することもできます。これは、古代の天体航法における基本概念であり、高度交差問題と呼ばれています。さらに、必要最小限の数以上の距離が利用可能な場合は、それらも活用するのが良いでしょう。本稿では、複数の距離を用いた位置決定という一般的な問題について考察します。

二次元幾何学では、点が2つの円上にある場合、円の中心と2つの半径の情報があれば、可能な位置を2つに絞り込むのに十分な情報が得られます。そのうちの1つが目的の解であり、もう1つは曖昧な解です。追加情報があれば、可能性を1つの場所に絞り込むことができます。三次元幾何学では、点が3つの球の表面上にあることがわかっている場合、3つの球の中心と半径の情報があれば、可能な位置を最大2つに絞り込むのに十分な情報が得られます（中心が一直線上にある場合を除く）。

真距離多辺測量は、より一般的に用いられる擬似距離多辺測量とは対照的である。擬似距離多辺測量は、距離の差を利用して（通常は移動可能な）地点を特定する。擬似距離多辺測量は、ほとんどの場合、エネルギー波の到着時間（TOA）を測定することによって実施される。真距離多辺測量は、角度の測定を伴う三角測量とも対照的である。

擬似距離マルチラテレーション（文脈によっては単にマルチラテレーション（MLAT）と呼ばれることが多い）は、車両などの未知の点の位置を、車両と既知の位置にある複数のステーション間を伝搬するエネルギー波の偏った伝搬時間（TOF）の測定に基づいて決定する技術です。TOFは、到着時間（TOA）と送信時間（TOT）の差における同期誤差によって偏っています。TOF = TOA − TOT。擬似距離（PR）は、TOFに波の伝搬速度を乗じたものです。PR = TOF · s。一般に、ステーションの時計は同期していると想定されますが、車両の時計は同期していません。

監視用のMLATでは、電波は車両から送信され、ステーションで受信されます。TOTは一意で未知ですが、TOAは複数存在し既知です。MLATがナビゲーション（双曲線ナビゲーションなど）に使用される場合、電波はステーションから送信され、車両で受信されます。この場合、TOTは複数存在しますが既知であり、TOAは一意で未知です。ナビゲーション用途では、車両はしばしば「ユーザー」と呼ばれますが、監視用途では、車両は「ターゲット」と呼ばれることがあります。

車両の時計は、車両の位置座標とともに推定される追加の未知数とみなされます。d が考慮される物理的次元の数 (例えば、飛行機の場合は 2) であり、m が受信信号の数 (つまり、測定された TOF) である場合、次のことが求められます。${\displaystyle m\geq d+1}$。

受信信号からTOAまたはその差分を抽出するには通常処理が必要であり、この一連の方程式を解くには通常アルゴリズムが必要です。アルゴリズムは次のいずれかです。(a) TOT（受信機クロック用）と車両座標の数値を決定する、または(b) TOTを無視して${\displaystyle m-1}$（少なくともd）到着時間差（TDOA）は、d 台の車両座標を見つけるために使用されます。ほとんどの場合、${\displaystyle d=2}$（例：平面または球面）または${\displaystyle d=3}$（例えば、現実の物理世界）。TDOAを形成するシステムは、後述する理由から双曲システムとも呼ばれます^{[ 11 ] 。}

マルチラテレーション航法システムは、車両に「乗っている」主体（例えば、航空機のパイロットや全地球測位システム（GPS）受信機のオペレーター）に車両の位置情報を提供する。マルチラテレーション監視システムは、車両に「乗っていない」主体（例えば、航空管制官や携帯電話会社）に車両の位置情報を提供する。相互主義の原則により、航法に使用できる方法は監視にも使用でき、その逆もまた同様である（同じ情報が関係する）。

TOTアルゴリズムとTDOA（TOTを無視する）アルゴリズムの両方に対応したシステムが開発されてきました。この記事では、最初に実装されたTDOAアルゴリズムから順に説明します。当時の技術では、TDOAシステムは車両の位置を2次元で特定することが多かったためです。次にTOTシステムについて説明します。TOTシステムは概ね1975年以降に実装され、通常は衛星を利用します。技術の進歩により、TOTアルゴリズムは一般的にユーザー/車両の位置を3次元で特定します。ただし、概念的には、TDOAアルゴリズムとTOTアルゴリズムは、関連する次元数とは直接関係ありません。