極と極

幾何学において、 極と極線は、それぞれ、与えられた円錐曲線に関して一意の相互関係を持つ点と線です。

与えられた円における極の往復運動は、平面上の各点をその極線に変換し、平面上の各線をその極に変換することです。

Pole と polar には、いくつかの便利なプロパティがあります。

• 点P が直線l上にある場合、直線lの極L は点Pの 極p上に存在します。
• 点P が線lに沿って動く場合、その極p は線lの極L を中心に回転します。
• 円錐曲線の極から 2 本の接線を引くことができる場合、その極は両方の接点を通ります。
• 点が円錐曲線上にある場合、その点を通る円錐曲線の接線が極座標となります。
• 点P が自身の極線上にある場合、P は円錐曲線上にあります。
• 非退化円錐曲線に関して、各直線には正確に 1 つの極があります。

円C内の直線Lの極は、円の中心に最も近いL上の点PをCで反転した点Qです。逆に、円C内の点Qの極直線(または極) は、円の中心に最も近い点PがQのCでの反転となるような直線Lです。

極と極性の関係は相互的です。したがって、点Aが点Qの極線q上にある場合、点Q は点Aの極線a上にある必要があります。2 つの極線aとq は平行である必要はありません。

点 P が円C の外側にある場合の、点Pの極直線の別の記述があります。この場合、円に接する2 本の直線がP を通り、Pの極は 2 つの接点 (ここでは示されていません) を結ぶ直線です。これは、極と極直線が平面の射影幾何学の概念であり、円Cの代わりに任意の非特異円錐曲線で一般化できることを示しています。

極とその極線の概念は、射影幾何学で発展しました。たとえば、極線は、円錐曲線に対する、与えられた点（極）の射影調和共役の集合として考えることができます。すべての点をその極に置き換えたり、その逆を行ったりする操作は、極性として知られています。

極性は相関関係であり、また反転でもあります。

ある点Pとその極点pに対して、 p上の任意の点Q はPを通る直線qの極となる。これは相互関係を構成し、接続が保存される関係である。^[1]

極、極性、相互変換の概念は、円から楕円、双曲線、放物線などの他の円錐曲線に一般化できます。この一般化が可能なのは、円錐曲線が円と別の円の相互変換によって生じ、入射角や複比などの関連する特性がすべての射影変換で保持されるためです。

一般的な円錐曲線は、平面の直交座標（x、y）における2次方程式として表される。

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$

ここで、A _xx、A _xy、A _yy、B _x、B _y、Cは方程式を定義する定数です。このような円錐曲線の場合、与えられた極点（ξ、η）への極線は、次の式で定義されます。

$${\displaystyle Dx+Ey+F=0\,}$$

ここで、D、E、Fは同様に極座標（ξ、η）に依存する定数である。

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}}$$

非退化円錐曲線に対する 直線の極は 、 2 つのステップで計算できます。 ${\displaystyle Dx+Ey+F=0}$$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$

まず、x、y、zの数値を計算します。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}$$

さて、極は座標を持つ点です${\displaystyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}$

• 楕円の極-極関係
• 双曲線の極-極関係
• 放物線の極-極関係

射影幾何学では、平面上の 2 本の線は必ず交差します。したがって、完全な四角形を形成する 4 つの点がある場合、それらの点を結ぶ線は、さらに 3 つの対角点で交差します。

円錐曲線C上にない点Zから、点A、B、D、Eで交差するCを通る2つの割線を描きます。すると、これら 4つの点は完全な四角形を形成し、Z は対角点の 1 つに位置します。他の 2 つの対角点を結ぶ線はZの極であり、Z はこの線の極です。^[2]

極と極点はジョセフ・ディアス・ジェルゴンヌによって定義され、アポロニウスの問題の解決において重要な役割を果たした。^[3]

平面力学では、極は回転の中心、極は作用力線、円錐は質量慣性行列です。^{[4]極と極の関係は、平面剛体の}打撃の中心を定義するために使用されます。極がヒンジポイントである場合、極は平面ねじ理論で説明されているように打撃作用線です。

• デュアルポリゴン
• 二重多面体
• 極曲線

• ジョンソン RA (1960)。『上級ユークリッド幾何学：三角形と円の幾何学に関する初歩的な論文』ニューヨーク：ドーバー出版。pp. 100–105。
• Coxeter HSM、Greitzer SL (1967)。Geometry Revisited。ワシントン：MAA。pp . 132–136, 150。ISBN 978-0-88385-619-2。
• Gray JJ (2007)。『無から生まれた世界：19世紀幾何学史講座』ロンドン：Springer Verlag。21ページ。ISBN 978-1-84628-632-2。
• Korn GA, Korn TM (1961).科学者とエンジニアのための数学ハンドブック. ニューヨーク: McGraw-Hill. pp. 43–45. LCCN  59014456. Dover Publications から出版されているペーパーバック版のISBNは978-0-486-41147-7です。 
• ウェルズ D (1991)。ペンギン辞典『不思議で興味深い幾何学』。ニューヨーク: ペンギンブックス。pp. 190–191。ISBN 0-14-011813-6。

ウィキメディア・コモンズには、ポーランド人と極地人に関連するメディアがあります。

• Cut-the-Knotの複数のポールと極性を使用したインタラクティブ アニメーション
• 1つの極とその極座標を使ったインタラクティブアニメーション
• 色付きの複数の極/極を持つインタラクティブ 3D - オープンソース
• Weisstein、Eric W.「Polar」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「相互関係」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「反転ポール」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「逆曲線」。MathWorld。
• Math-abundance のチュートリアル