タレスの定理

幾何学において、タレスの定理は、円周上の異なる点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ に対して、直線 $AC$ が直径である場合、角 $∠$ $ABC$ は直角であると述べている。タレスの定理は円周角の定理の特殊な場合であり、ユークリッドの『原論』第 3 巻の第 31 命題の一部として言及され、証明されている。^[¹^]一般的にはミレトスのタレスに帰せられるが、ピタゴラスに帰せられることもある。

歴史

*ノンシストは、最高のモットムをエッセオセデルメゾチェルキオファーシプオテ* *トライアンゴルシークンレクトノナウエッセに挑戦します。* – ダンテの楽園、カント 13、100 ～ 102 行目
*Non si est dare primum motum esse,* Or if in semicircle can be made Triangle such that it have no right angle. –ロングフェローによる英訳

ミレトスのタレス（紀元前6世紀初頭）は伝統的にこの定理を証明したとされていますが、紀元前5世紀になってもタレスの著作は何も残っておらず、発明やアイデアは、後世の伝聞や憶測に基づいて、タレスやピタゴラスのような賢人に帰せられました。 [ ^{2 ] [}^{3 ]タレス}への言及は、プロクロス（紀元5世紀）とディオゲネス・ラエルティオス（紀元3世紀）によってなされており、パンフィラ（紀元1世紀）の「タレスは円の中に直角三角形を最初に描いた人物である」という記述を記録しています。^{[ 4 ]}

タレスはエジプトとバビロニアを旅し、そこで幾何学と天文学を学び、その知識をギリシャに伝え、その過程で幾何学的証明の概念を発明し、さまざまな幾何学的定理を証明したとされている。しかし、これらの主張を直接裏付ける証拠はなく、それらは恐らく憶測に基づく合理化であったと考えられる。現代の学者は、ユークリッドの『原論』に見られるギリシャの演繹幾何学は紀元前4世紀まで発展しておらず、タレスが持っていた幾何学的知識は観察に基づくものであったと考えている。^{[ 2 ]}^{[ 5 ]}

この定理は、ユークリッドの『原論』第3巻（紀元前300年頃）の命題31に次のように記されている。「円において、半円の内角は直角であり、それより大きい半円の内角は直角より小さく、それより小さい半円の内角は直角より大きい。さらに、それより大きい半円の内角は直角より大きく、それより小さい半円の内角は直角より小さい。」

ダンテ・アリギエーリの『神曲』天国篇（第13歌、101～102行）では、演説の中でタレスの定理に言及している。

証拠

初稿

以下の事実が用いられます。三角形の内角の和は180°であり、二等辺三角形の底角は等しい。

$AC$ が直径である場合、 $点B$ における角度は一定の直角（90°）となる。
証明のための図。

$OA = OB = OC$ なので、 $△ OBA$ と $△ OBC$ は二等辺三角形であり、二等辺三角形の底角の等しさにより、 $∠ OBC = ∠ OCB$ および $∠ OBA = ∠ OAB$ となります。

$α = ∠ BAO$ 、 $β = ∠ OBC$ とする。 $△ ABC$ の 3 つの内角は $α$ 、 $(α + β)$ 、 $β$ である。三角形の内角の和は 180° なので、

{\begin{aligned}\alpha +(\alpha +\beta )+\beta &=180^{\circ }\\2\alpha +2\beta &=180^{\circ }\\2(\alpha +\beta )&=180^{\circ }\\\therefore \alpha +\beta &=90^{\circ }.\end{aligned}}

証明終了

第二の証明

この定理は三角法を用いて証明することもできます。O = (0, 0) 、A = (−1, 0) 、C = (1, 0) とします $。すると$ 、 $B は$ 単位 $円 ($ cos $θ$ 、 sin θ ) 上の点になります $。 △ ABC が直角$ であることを示す $には$ 、 $AB$ と $BC が$ 垂直であることを証明します。つまり、それらの傾きの積が −1 に等しいことを示します。ABと $BC$ $の$ 傾きを計算します。

{\begin{aligned}m_{AB}&={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\\[2pt]m_{BC}&={\frac {y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}}={\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\end{aligned}}

次に、それらの積が-1に等しいことを示します。

{\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[4pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{-\cos ^{2}\theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\[4pt]={}&{-1}\end{aligned}}

ピタゴラスの三角関数の恒等式の使用に注目してください。 $\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.}$

第三の証拠

$△ ABC を$ 円の中にある三角形とし、AB $は$ その円の直径であるとします。次に、 $△$ $ABC を$ 円の中心 $O$ を中心に 180°回転させて、新しい三角形 $△ ABD$ を作成します。180° 回転させたので、線分 $AC$ と $BD は$ 平行であり、同様に $AD$ と $CB$ も平行です。したがって、四角形 $ACBDは$ 平行四辺形です。線分 $OC$ と $ODも同様に平行で、$ $点 O$ で交わるので、 $CD は$ $O$ を通る直線であり、 $CD は$ 円の直径です。平行四辺形の対角線である線分 $AB$ と $CD は$ どちらも円の直径であり、したがって長さが等しいので、平行四辺形は長方形でなければなりません。長方形のすべての角は直角です。

第四の証明

この定理はベクトル代数を用いて証明できます。ベクトルを考えてみましょう。 ${\overrightarrow {AB}}$ そして ${\overrightarrow {CB}}$ これらのベクトルは以下を満たす。

{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OB}}\qquad \qquad {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {CO}}+{\overrightarrow {OB}}

そしてそれらの内積は次のように展開できます。

{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=\left({\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OB}}\right)\cdot \left({\overrightarrow {CO}}+{\overrightarrow {OB}}\right)={\overrightarrow {AO}}\cdot {\overrightarrow {CO}}+({\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {CO}})\cdot {\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OB}}

しかし

\displaystyle {\overrightarrow {AO}}=-{\overrightarrow {CO}}\qquad \qquad {\overrightarrow {AO}}\cdot {\overrightarrow {CO}}=-R^{2}\qquad \qquad {\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OB}}=R^{2}}

そして内積は消滅する

{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=-R^{2}+{\overrightarrow {0}}\cdot {\overrightarrow {OB}}+R^{2}=0

そしてベクトル ${\overrightarrow {AB}}$ そして ${\overrightarrow {CB}}$ それらは直交しており、角ABCは直角である。

コンバース

任意の三角形、特に直角三角形には、その3つの頂点すべてを含む円がただ1つだけ存在する。この円を三角形の外接円と呼び、その中心を外心と呼ぶ。外心とは、三角形の垂直二等分線の交点である。

タレスの定理を定式化する一つの方法は、外心が三角形の上にあるならば、その三角形は直角三角形であり、外心はその斜辺上にある、というものである。

タレスの定理の逆は次のようになる。直角三角形の外心は斜辺上にある。（言い換えれば、直角三角形の斜辺はその外接円の直径である。）

幾何学を用いた逆の証明

この証明は、直角三角形を「完成」させて長方形を作り、その長方形の中心が頂点から等距離にあること、そして元の三角形の外接円の中心も等距離にあることに着目することから成り立っており、以下の2つの事実を利用しています。

平行四辺形の隣接する角は補角（合計180°）であり、
長方形の対角線は等しく、その中央点で交わる。

直角∠ABC、点Aを通るBCに平行な直線r、点Cを通るABに平行な直線sとする $。$ 直線 $r$ と $直線$ s $の$ 交点 $を$ $D$ と $する$ 。 $（$ D $が$ 円 $上$ に $ある$ $こと$ は証明されていない。）

四角形 $ABCDは$ $、$ 作図上平行四辺形を形成します（対辺が平行であるため）。平行四辺形では隣接する角は補角（合計180°）であり、∠ABCは直角（90°）であるため、 $∠BAD 、$ ∠BCD $、∠ADC も直角（$ 90°）となります。したがって、 $ABCD$ は長方形であり、 $点Dは$ 円周上にあります。

$Oを対角線$ $AC$ とBDの交点とする。すると、上記の2番目の事実から、点 $Oは$ $A$ 、 $B$ 、 $C$ から等距離にある。したがって、 $O$ は外接円の中心であり、三角形の斜辺（ $AC$ ）は円の直径となる。

幾何学を用いた逆の別の証明

直角三角形 $ABC$ の斜辺 $AC$ が与えられたとき、直径が $AC$ である円 $Ω$ を作図する。Ωの中心を $Oとする$ $。Ω$ $と$ 半直線 $OB$ の交点を $D$ とする。タレスの定理より、 $∠$ $ADC は$ 直角である。しかし、 $D は$ $B$ と等しくなければならない。（ $D が$ $△$ $ABC の$ 内部にある場合、 $∠$ $ADC は$ 鈍角となり、 $D が$ $△$ $ABC の$ 外部にある場合、 $∠$ $ADC は$ 鋭角となる。）

線形代数を用いた逆の証明

この証明では、以下の2つの事実を利用します。

2 つの直線が直角をなすのは、それらの方向ベクトルの内積がゼロである場合のみであり、
ベクトルの長さの二乗は、そのベクトルとそれ自身との内積によって与えられる。

直角∠ABCと、ACを直径とする円Mを考えます $。$ 計算を容易 $に$ するため、Mの中心は原点にあるとします。すると、次のようになります $。$

$A = - C$ 、なぜなら原点を中心とする円の $直径はAC$ であり、
$(A - B) \cdot (B - C) = 0$ 、なぜなら $∠ABC は$ 直角だからである。

続いて

{\begin{aligned}0&=(AB)\cdot (BC)\\&=(AB)\cdot (B+A)\\&=|A|^{2}-|B|^{2}.\\[4pt]\therefore \ |A|&=|B|.\end{aligned}}

これは、 $A$ と $Bが$ 原点、つまり $M$ の中心から等距離にあることを意味します。A $は$ $M$ 上にあるので、 $B$ もM上にあることになり、したがって円 $M$ は三角形の外接円となります。

上記の計算は、実際には、タレスの定理の両方向が任意の内積空間で有効であることを証明しています。

一般化と関連する結果

前述のとおり、タレスの定理は円周角の定理の特殊な場合である（円周角の定理の証明は、上記で示したタレスの定理の最初の証明と非常によく似ている）。

中心がO

の円周上にある3 つの点

A

、

B

、

C

が与えられたとき、角度

∠

AOC

は角度

∠

ABC

の 2 倍の大きさになります。

タレスの定理に関連する結果として、以下のものがある。

$ACが$ 円の直径である場合、次のようになります。

$点$ $Bが$ 円の内側にある場合、 $∠ABC > 90°$
$点$ $B$ が円周上にある場合、 $∠ABC = 90°$
$Bが$ $円$ の外側にある場合、 $∠ABC < 90°と$ なる。

アプリケーション

点を通る円の接線を作図する

タレスの定理は、与えられた点を通る円の接線を作図するために使用できます。右の図では、中心が $Oの円$ $kと、円$ $k の$ 外側の点 $Pが与えられています。OP$ $を$ $H$ で二等分し、中心が $Hで半径$ $OH$ の円を描きます。OP $は$ この円の直径なので、円が交わる点 $T$ と $T$ $'に OP を結ぶ三角形はどちらも直角三角形になります。$

{\displaystyle {\sqrt {p}}} — 幾何学的方法を見つける ${\sqrt {p}}$ 幾何平均の定理を用いて $h={\sqrt {pq}}$ と $q=1$

円の中心を見つける

タレスの定理は、直角を持つ物体（例えば、三角定規や円よりも大きい長方形の紙など）を使って円の中心を見つけるためにも使用できます。^{[ 6 ]}角度は円周上の任意の場所に配置されます（図1）。2辺と円周との交点が直径を定義します（図2）。これを別の交点で繰り返すと、別の直径が得られます（図3）。中心は、直径の交点にあります。

注記

↑ヒース、トーマス L. (1956).ユークリッド原論 13 巻. 第 2 巻 (第 3 巻～第 9 巻) (第 2 版). ドーバー. p. 61. ISBN 0486600890。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）ケンブリッジ大学出版局より初版発行。初版1908年、第2版1926年。
1 2 Dicks, DR (1959). "タレス". The Classical Quarterly . 9 (2): 294– 309. doi : 10.1017/S0009838800041586 .
↑ Allen, G. Donald (2000). "ミレトスのタレス" (PDF) . 2004年3月26日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2012年2月12日に取得。
↑ Patronis, Tasos; Patsopoulos, Dimitris (2006年1月) 「タレスの定理：学校幾何学教科書における定理の命名に関する研究」『国際数学教育史ジャーナル』57–68頁。ISSN 1932-8826 。 2013年11月5日にオリジナルからアーカイブ済み。
↑ Sidoli, Nathan (2018). "ギリシャの数学" (PDF) . In Jones, A.; Taub, L. (eds.). The Cambridge History of Science: Vol. 1, Ancient Science . Cambridge University Press. pp. 345– 373.
↑数学教育のためのリソース：14～16コリン・フォスター

参考文献

アグリコラ、イルカ；フリードリヒ、トーマス（2008）。初等幾何学。AMS。50ページ。ISBN 978-0-8218-4347-5。
Heath, TL (1921).ギリシャ数学史：タレスからユークリッドまで。第 1巻。オックスフォード。131頁以降。

外部リンク

ワイススタイン、エリック・W. 「タレスの定理」 . MathWorld .
刻まれた角度をむしゃむしゃ食べる
タレスの定理をインタラクティブなアニメーションで解説
マイケル・シュライバーによるタレスの定理のデモ、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。

[1] ヒース、トーマス L. (1956).ユークリッド原論 13 巻. 第 2 巻 (第 3 巻～第 9 巻) (第 2 版). ドーバー. p. 61. ISBN 0486600890。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）ケンブリッジ大学出版局より初版発行。初版1908年、第2版1926年。

[dicks-2] 1 2 Dicks, DR (1959). "タレス". The Classical Quarterly . 9 (2): 294– 309. doi : 10.1017/S0009838800041586 .

[3] Allen, G. Donald (2000). "ミレトスのタレス" (PDF) . 2004年3月26日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2012年2月12日に取得。

[4] Patronis, Tasos; Patsopoulos, Dimitris (2006年1月) 「タレスの定理：学校幾何学教科書における定理の命名に関する研究」『国際数学教育史ジャーナル』57–68頁。ISSN 1932-8826 。 2013年11月5日にオリジナルからアーカイブ済み。

[5] Sidoli, Nathan (2018). "ギリシャの数学" (PDF) . In Jones, A.; Taub, L. (eds.). The Cambridge History of Science: Vol. 1, Ancient Science . Cambridge University Press. pp. 345– 373.

[6] 数学教育のためのリソース：14～16コリン・フォスター

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2 ] [

3 ]タレス

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