正弦波スパイラル

代数幾何学において、正弦螺旋は極座標の方程式によって定義される曲線の族である。

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,}$

ここでaは非ゼロ定数、nは0以外の有理数である。原点を中心に回転すると、これは次のようにも書ける。

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,}$

「スパイラル」という用語は誤った呼び方です。なぜなら、それらは実際には螺旋ではなく、花のような形をしていることが多いからです。よく知られている曲線の多くは、次のような正弦螺旋です。

• 直角双曲線( n = −2 )
• 線( n = −1 )
• 放物線( n = −1/2 )
• チルンハウゼン立方晶( n = −1/3 )
• ケイリーの六重奏( n = 1/3 )
• カーディオイド( n = 1/2 )
• 円( n = 1 )
• ベルヌーイのレムニスケート( n = 2 )

この曲線はコリン・マクローリンによって最初に研究されました。

差別化

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,}$

aを消去するとrとθについての微分方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0.}$

それから

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)}$

これは、極接線角が

${\displaystyle \psi =n\theta \pm \pi /2}$

そして接線角は

${\displaystyle \varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2.}$

(ここでの符号は、rと cos n θ が同じ符号であれば正、そうでない場合は負になります。)

単位接線ベクトル、

${\displaystyle \left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta}{ds}}\right),}$

長さは1なので、上の式の両辺のベクトルの大きさを比較すると、

${\displaystyle {\frac {ds}{d\theta}}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta .}$

特に、単一ループの長さは次のようになります。 ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}} }n\シータ\d\シータ }$

曲率は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {d\varphi}{ds}}=(n+1){\frac {d\theta}{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta .}$

原点を中心とする円に対する正弦螺旋の逆は、 n の値が元の曲線の n の値の負である別の正弦螺旋です。たとえば、ベルヌーイのレムニスケートの逆は直角双曲線です。

正弦螺旋の 等視螺旋、ペダル螺旋、負のペダル螺旋はそれぞれ異なる正弦螺旋です。

rの累乗に比例する中心力に従って移動する粒子の 1 つの経路は、正弦螺旋です。

nが整数で、n個の点が半径aの円上に規則的に配置されている場合、その点からn個の点までの距離の幾何平均が正弦螺旋となるような点の集合。この場合、正弦螺旋は多項式レムニスケートです。

ウィキメディア・コモンズには、正弦螺旋に関連するメディアがあります。

• イェーツ、RC：曲線とその特性に関するハンドブック、JWエドワーズ（1952）、「スパイラル」p. 213-214
• 「正弦波スパイラル」は www.2dcurves.com にあります
• The MacTutor 数学史の「正弦波螺旋」
• Weisstein、Eric W.「正弦波スパイラル」。MathWorld。