ヒル方程式（生化学）

生化学と薬理学において、ヒルの式は、リガンドの高分子への結合をリガンド濃度の関数として反映する 2 つの密接に関連した式を指します。リガンドは「生物学的目的を果たすために生体分子と複合体を形成する物質」(リガンドの定義) であり、高分子はタンパク質などの非常に大きな分子で、成分の複雑な構造を持ちます (高分子の定義)。タンパク質とリガンドの結合により、通常、標的タンパク質の構造が変化し、それによって細胞内での機能が変わります。

2つのヒル方程式の違いは、占有率を測定するか、応答を測定するかです。ヒル方程式は、高分子の占有率、つまりリガンドによって飽和または結合されている割合を反映しています。^{[1] [2] [注 1]この方程式は、形式的には}ラングミュア等温線に相当します。^[3]逆に、ヒル方程式自体は、リガンドに対する細胞または組織の応答、つまり筋収縮などのシステムの生理学的出力を反映しています。

ヒル方程式はもともと1910年にアーチボルド・ヒルによって、ヘモグロビンのS字状O2結合曲線_を記述するために定式化された。^[4]

同じ高分子上にすでに他のリガンドが存在する場合、リガンドと高分子の結合は強化されることが多い（これは協同結合として知られている）。ヒルの式は、酵素または受容体に結合するリガンドの協同性の度合いを決定するのに役立ちます。ヒル係数は、リガンド結合部位間の相互作用の度合いを定量化する方法を提供します。^[5]

ヒル方程式（反応について）は用量反応曲線の構築に重要です。

ヒル方程式は一般的に次のように表現される。^{[2] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={[{\ce {L}}]^{n} \over K_{d}+[{\ce {L}}]^{n}}\\&={[{\ce {L}}]^{n} \over (K_{A})^{n}+[{\ce {L}}]^{n}}\\&={1 \over 1+\left({K_{A} \over [{\ce {L}}]}\right)^{n}}\end{aligned}}}$、

どこ：

• ${\displaystyle \theta }$はリガンドが結合した受容体タンパク質濃度の割合である。
• ${\displaystyle {\ce {[L]}}}$は総リガンド濃度であり、
• ${\displaystyle K_{d}}$は質量作用の法則から導かれる見かけの解離定数であり、
• ${\displaystyle K_{A}}$半占有率を生み出すリガンド濃度は、
• ${\displaystyle n}$ヒル係数です。

がモノ方程式である特殊なケース。 ${\displaystyle n=1}$

薬理学では、は と表記されることが多く、 はリガンド（L に相当）、 は受容体です。は、受容体の総量とリガンド結合受容体濃度で表すことができます。 は、リガンド受容体複合体の解離速度とその結合速度（）の比に等しくなります。^[8] Kd は解離の平衡定数です。は と定義され、これは微視的解離定数とも呼ばれ、結合部位の半分を占めるリガンド濃度です。最近の文献では、この定数は と呼ばれることもあります。^[8]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p_{{\ce {AR}}}}$${\displaystyle {\ce {A}}}$${\displaystyle {\ce {R}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ={\frac {\ce {[LR]}}{\ce {[R_{\rm {total}}]}}}}$${\displaystyle K_{d}}$${\textstyle K_{\rm {d}}={k_{\rm {d}} \over k_{\rm {a}}}}$${\textstyle K_{A}}$${\textstyle (K_{A})^{n}=K_{\rm {d}}={k_{\rm {d}} \over k_{\rm {a}}}}$${\textstyle K_{D}}$

ガダム方程式はヒル方程式をさらに一般化したもので、可逆的な競合拮抗薬の存在を組み込んでいる。^[1]ガダム方程式はヒル方程式と同様に導かれるが、リガンドと受容体、拮抗薬と受容体の2つの平衡が存在する。したがって、ガダム方程式にはリガンドの平衡定数と拮抗薬の平衡定数という2つの定数がある。

ヒル プロットは、ヒル方程式を直線に並べ替えたものです。

ヒル方程式の両辺の逆数をとり、整理して再度反転すると次の式が得られます。方程式の両辺の対数をとると、ヒル・ラングミュア方程式の別の定式化が得られます。 ${\displaystyle {\theta \over 1-\theta }={[{\ce {L}}]^{n} \over K_{d}}={[{\ce {L}}]^{n} \over (K_{A})^{n}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log \left({\theta \over 1-\theta }\right)&=n\log {[{\ce {L}}]}-\log {K_{d}}\\&=n\log {[{\ce {L}}]}-n\log {K_{A}}\end{aligned}}}$。

ヒル方程式のこの最後の形式は、に対して をプロットすると直線プロットが得られるため有利であり、これをヒルプロットと呼びます。^{[7] [8]}ヒルプロットの傾きは生化学的相互作用のヒル係数に等しいため、傾きは で表されます。したがって、1 より大きい傾きは受容体とリガンド間の正の協同的結合を示し、1 未満の傾きは負の協同的結合を示します。 ${\textstyle \log \left({\theta \over 1-\theta }\right)}$${\displaystyle \log {[{\ce {L}}]}}$${\displaystyle n_{H}}$

このような方程式の線形形式への変換は、コンピュータが広く使用されるようになる前は非常に有用でした。研究者はデータに線を当てはめてパラメータを決定できたからです。しかし、これらの変換は誤差の伝播に影響し、0 または 1 に近いデータ ポイントの誤差に過度の重みが付く可能性があります。 ^{[nb 2]}これは、データに当てはめられた線形回帰直線のパラメータに影響します。さらに、コンピュータを使用すると、非線形回帰を含むより堅牢な分析が可能になります。

受容体に結合する薬物の定量化と反応を生み出す薬物の定量化は区別する必要があります。2 つの値の間には必ずしも線形関係があるとは限りません。この記事の以前のヒル方程式の定義とは対照的に、IUPHAR は組織反応 の観点からヒル方程式を次のように定義しています^[1]。 ここでは薬物濃度、はヒル係数、 は50% 最大反応を生み出す薬物濃度です。解離定数 (前のセクション) はリガンド結合に関連し、 は組織反応を反映します。 ${\displaystyle (E)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E}{E_{\mathrm {max} }}}&={\frac {[A]^{n}}{{\text{EC}}_{50}^{n}+[A]^{n}}}\\&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\text{EC}}_{50}}{[A]}}\right)^{n}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\ce {[A]}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{EC}}_{50}}$${\displaystyle {\text{EC}}_{50}}$

この形式の方程式は、薬物に対する組織/細胞/集団の反応を反映することができ、用量反応曲線を作成するために使用できます。 と EC50 の関係は、生物学的反応が無数の要因の合計であるため、非常に複雑になる可能性があります。薬物は、その親和性に関係なく、より多くの受容体が存在する場合、異なる生物学的効果を持ちます。 ${\displaystyle K_{d}}$

Del-Castillo Katz モデルは、リガンド結合受容体の活性化形態に対するリガンド結合受容体の 2 番目の平衡を含めることにより、Hill 方程式を受容体の活性化に関連付けるために使用されます。

刺激の関数としての反応の統計的分析は、プロビットモデルやロジットモデルなどの回帰法、またはスピアマン・カーバー法などの他の方法によって行うことができます。^[9]非線形回帰に基づく経験的モデルは、通常、用量反応関係を線形化するデータの変換を使用するよりも好まれます。^[10]

ヒル係数は、超感度（つまり、応答曲線の急勾配） の尺度です。

ヒル係数、または は、協同性（または、ヒル方程式が使用されている状況に応じて、他の生化学的特性）を表すことがあります。適切な場合、^{[説明が必要]}ヒル係数の値は、次のようにリガンド結合の協同性を表します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{H}}$

• ${\displaystyle n>1}$正の協同的結合：1つのリガンド分子が酵素に結合すると、他のリガンド分子との親和性が高まります。例えば、ヘモグロビンへの酸素結合のヒル係数（正の協同性の例）は1.7～3.2の範囲にあります。^[5]
• ${\displaystyle n<1}$負の協同的結合：1 つのリガンド分子が酵素に結合すると、他のリガンド分子に対する親和性は低下します。
• ${\displaystyle n=1}$非協力的（完全に独立した）結合：リガンド分子に対する酵素の親和性は、他のリガンド分子がすでに結合しているかどうかに依存しません。n = 1の場合、ミカエリス-メンテン速度論によってモデル化できるモデルが得られます。^[11]ここで、ミカエリス-メンテン定数はです。${\textstyle K_{D}=K_{A}=K_{M}}$

ヒル係数は、竹田とポゲル^[12]の協同性指数に基づいて 次のように近似的に計算できる: ^[13]

${\displaystyle n={\frac {\log _{10}(81)}{\log _{10}({\ce {EC90}}/{\ce {EC10}})}}}$。

ここで、およびはそれぞれ最大応答の 10% と 90% を生成するために必要な入力値です。 ${\displaystyle {\ce {EC90}}}$${\displaystyle {\ce {EC10}}}$

ヒル方程式の最も一般的な形式は不可逆形式である。しかし、計算モデルを構築する際には、生成物阻害をモデル化するために可逆形式が必要になることが多い。このため、ホフマイヤーとコーニッシュ・ボーデンは可逆ヒル方程式を考案した。^[14]

ヒル係数は弾性係数とも密接に関係しており、ヒル係数は次の式に等しいことが示されます。

${\displaystyle n=\varepsilon _{s}^{v}{\frac {1}{1-\theta }}}$

ここで、は分数飽和度、は弾性係数です。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle ES/E_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}}$

これは、ヒル方程式の傾きを取ることによって導かれます。

${\displaystyle n={\frac {d\log {\frac {\theta }{1-\theta }}}{d\log s}}}$

そして、商の法則を使って傾きを拡大します。結果は、上記の式を次のように変形できるため、弾性が超えることはないことを示しています。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}=n(1-\theta )}$

ヒルの式は、薬物の機能パラメータを定量化するために薬理学で広く使用されており^{[引用が必要]}、生化学の他の分野でも使用されています。

ヒルの式は、例えばイオンチャネルの開口確率（P-open）とリガンド濃度の関係など、用量反応関係を記述するために使用できます。^[15]

ヒル方程式は、親遺伝子が転写因子（例えば、活性化因子および/または抑制因子）によって制御されているときに遺伝子産物が生成される速度をモデル化する際に適用できます。^[11]これは、遺伝子が転写因子の複数の結合部位によって制御されている場合に適切であり、その場合、転写因子は協力的にDNAに結合する可能性があります。^[16]

遺伝子Xからのタンパク質の生成が転写因子Yによってアップレギュレーション (活性化) される場合、タンパク質Xの生成速度は、活性化されたYタンパク質の濃度に関する微分方程式としてモデル化できます。

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}[{\rm {X_{produced}}}]=k\ \cdot {{[{\rm {Y_{active}}}]^{\mathit {n}}} \over {(K_{A})^{n}\ +\ {[{\rm {Y_{active}}}]^{\mathit {n}}}}}}$、

ここでkは遺伝子Xの最大転写速度である。

同様に、遺伝子Yからのタンパク質の生成が転写因子Zによってダウンレギュレーション (抑制) される場合、タンパク質Yの生成率は、活性化されたZタンパク質の濃度に関する微分方程式としてモデル化できます。

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}[{\rm {Y_{produced}}}]=k\ \cdot {{(K_{A})^{\mathit {n}}} \over {(K_{A})^{n}\ +\ {[{\rm {Z_{active}}}]^{\mathit {n}}}}}}$、

ここでkは遺伝子Yの最大転写速度です。

ヒル方程式は、リガンド分子が受容体に同時に結合するという仮定に基づいているため、物理的に非現実的なモデルであると批判されてきた。^[5]さらに、ヒル係数は、最初のリガンドとそれに続くリガンドの結合が極めて正の協同性をもたらす場合を除いて、受容体上の協同的なリガンド結合部位の数の信頼できる近似値とはみなされない^{[5] [17] 。 [5]}

より複雑なモデルとは異なり、比較的単純なヒル方程式は、タンパク質-リガンド相互作用の根底にある生理学的メカニズムについてほとんど洞察を提供しません。しかし、この単純さこそがヒル方程式を有用な経験的モデルにしているのです。なぜなら、この方程式を使用するには、研究対象のタンパク質またはリガンドの特性に関する事前の知識をほとんど必要としないからです。 ^[2]それにもかかわらず、協同結合のより複雑なモデルが提案されています。^[7]このようなモデルの詳細と例については、「協同結合」を参照してください。

ヒル係数のような全体的な感度指標は、S字曲線の局所的な挙動を特徴づけるものではありません。代わりに、これらの特徴は応答係数指標によってよく捉えられます。^[18]

ヒル係数と反応係数の間には、次のような関連があります。Altszylerら（2017）は、これらの超感受性の尺度が関連していることを示しました。^[13]

• 結合係数
• ビェルムプロット
• 協調バインディング
• ゴンペルツ曲線
• ラングミュア吸着モデル
• ロジスティック関数
• ミカエリス・メンテン反応速度論
• モノ方程式

• ドーランドの図解医学辞典
• Coval, ML (1970年12月). 「Hill相互作用係数の分析とKwonとBrownの式の無効性」. J. Biol. Chem. 245 (23): 6335–6 . doi : 10.1016/S0021-9258(18)62614-6 . PMID  5484812.
• d'A Heck, Henry (1971). 「タンパク質への協同的結合の統計理論。ヒル方程式と結合ポテンシャル」J. Am. Chem. Soc . 93 (1): 23– 29. doi :10.1021/ja00730a004. PMID  5538860.
• Atkins, Gordon L. (1973). 「Hill方程式のパラメータを推定するための簡単なデジタルコンピュータプログラム」. Eur. J. Biochem . 33 (1): 175– 180. doi : 10.1111/j.1432-1033.1973.tb02667.x . PMID  4691349.
• Endrenyi, Laszlo; Kwong, FHF; Fajszi, Csaba (1975). 「飽和結合または速度が不明な場合のヒル勾配とヒル係数の評価」Eur. J. Biochem . 51 (2): 317– 328. doi : 10.1111/j.1432-1033.1975.tb03931.x . PMID  1149734.
• ヴォート、ドナルド。ヴォート、ジュディス G. (2004)。生化学。
•  ワイス、 JN (1997)。「ヒル方程式の再考：使用と誤用」。FASEBジャーナル。11 ( 11 ): 835– 841。doi : 10.1096 /fasebj.11.11.9285481。PMID 9285481。S2CID 827335  。
• Kurganov, BI; Lobanov, AV (2001). 「バイオセンサー較正曲線の記述におけるヒル方程式の妥当性の基準」Anal. Chim. Acta . 427 (1): 11– 19. Bibcode :2001AcAC..427...11K. doi :10.1016/S0003-2670(00)01167-3.
• グーテル、シルヴァン。モーリン、ミシェル。ルージェ、フローレント。バルボー、ザビエル。ブルギニヨン、ローラン。デュシェ、ミシェル。メール、パスカル (2008)。 「ヒル方程式: 薬理学的モデリングにおけるその機能のレビュー」。基礎薬理学と臨床薬理学。22 (6): 633–648 .土井:10.1111/j.1472-8206.2008.00633.x。PMID  19049668。S2CID 4979109  。
• Gesztelyi R; Zsuga J; Kemeny-Beke A; Varga B; Juhasz B; Tosaki A (2012). 「ヒル方程式と定量的薬理学の起源」.正確な科学の歴史のアーカイブ. 66 (4): 427– 38. doi :10.1007/s00407-012-0098-5. S2CID  122929930.
• Colquhoun D (2006). 「薬物受容体相互作用の定量分析：短い歴史」Trends Pharmacol Sci . 27 (3): 149– 57. doi :10.1016/j.tips.2006.01.008. PMID  16483674.
• Rang HP (2006). 「受容体概念: 薬理学の大きなアイデア」. Br J Pharmacol . 147 (Suppl 1): S9–16. doi :10.1038/sj.bjp.0706457. PMC 1760743.  PMID 16402126  .

• ヒル方程式計算機