標準形

数学とコンピュータサイエンスにおいて、数学的対象の正準形式、正規形式、または標準 形式は、その対象を数式として表現する標準的な方法です。多くの場合、これは対象を最も簡単に表現し、一意に識別できる形式です。「正準」形式と「正規」形式の区別は分野によって異なります。ほとんどの分野では、正準形式はすべての対象に対して一意の表現を指定しますが、正規形式は一意性を必要とせずに単にその形式を指定します。^[1]

10 進数表現における正の整数の標準形式は、ゼロで始まらない有限の数字列です。より一般的には、同値関係が定義されているオブジェクトのクラスの場合、標準形式は各クラス内の特定のオブジェクトを選択することで構成されます。例:

• ジョルダン正規形は行列の相似性の標準形です。
• 行列 とその可逆行列による左積を同等とみなす場合、行階段形式は標準形式です。

コンピュータサイエンス、より具体的にはコンピュータ代数では、コンピュータで数学的オブジェクトを表現する場合、通常、同じオブジェクトを表現する方法が多数存在します。この文脈では、標準形式とは、すべてのオブジェクトが一意の表現を持つような表現です（標準化とは、表現を標準形式にするプロセスです）。^[2]したがって、2つのオブジェクトの等価性は、それらの標準形式の等価性をテストすることで簡単にテストできます。

この利点にもかかわらず、標準形式はしばしば任意の選択 (変数の順序付けなど) に依存し、独立した計算の結果として生じる 2 つのオブジェクトの等価性をテストすることが困難になります。したがって、コンピュータ代数では、正規形はより弱い概念です。正規形は、ゼロが一意に表現される表現です。これにより、2 つのオブジェクトの差を正規形にすることで等価性をテストできます。

標準形式は、自然な（標準的な）方法で定義された 微分形式を意味する場合もあります。

S 上の同値関係Rを持つオブジェクトの集合Sが与えられた場合、 Sの一部のオブジェクトを「標準形式」に指定することで標準形式が与えられ、検討中のすべてのオブジェクトが標準形式の 1 つのオブジェクトと正確に同値になります。言い換えると、Sの標準形式は同値クラスを 1 回だけ表します。2 つのオブジェクトが同値かどうかをテストするには、それらの標準形式で等価性をテストするだけで十分です。したがって、標準形式は分類定理などを提供し、すべてのクラスを分類するだけでなく、クラス内の各オブジェクトの 区別された (標準の)代表値も提供します。

正式には、集合S上の同値関係Rに関する正規化は、すべてのs、s ₁、s ₂ ∈ Sに対して次のようになる写像c : S → Sである。

1. c ( s ) = c ( c ( s )) (べき等性)、
2. s ₁ R s _2はc ( s ₁ ) = c ( s ₂ )の場合にのみ成り立ち、
3. s R c ( s ) （代表性）。

特性 3 は冗長です。特性 2 を 1 に適用すると、特性 3 が成立します。

実用的には、正準形式を認識できることは多くの場合有利です。また、S内の特定のオブジェクトsからその正準形式s * にどのように渡すかという、実用的かつアルゴリズム的な問題も検討する必要があります。正準形式は一般に、同値類の操作をより効率的にするために使用されます。たとえば、モジュラー算術では、剰余類の正準形式は通常、その中の最小の非負整数として取られます。クラスに対する操作は、これらの代表を結合し、結果を最小の非負剰余に減らすことによって実行されます。一意性の要件は緩和されることがあり、項の並べ替えを許可するなど、より細かい同値関係まで形式が一意であることが許可されます (項に自然な順序がない場合)。

標準形は、単に慣例である場合もあれば、深い定理である場合もあります。たとえば、多項式は慣例的に項を降順で表記します。つまり、x ² + x + 30と表記する方がx + 30 + x ²と表記するよりも一般的ですが、この 2 つの形式は同じ多項式を定義します。対照的に、行列の ジョルダン標準形の存在は深い定理です。

OEDとLSJによると、 canonical という用語は古代ギリシャ語のkanonikós ( κανονικός、「規則に従って規則的な」)に由来し、 kanṓn ( κᾰνών 、「棒、規則」) に由来しています。規範、標準、または原型という意味で、多くの分野で使用されています。数学的な使用法は、1738 年のLoganの手紙で確認されています。^[3]ドイツ語のkanonische Form は、1846 年のEisensteinの論文で確認されています。^[4]同年後半、 Richelot は論文でNormalformという用語を使用しています。 ^[5]また、1851 年にSylvester は次のように書いています。^[6]

「私は今から、代数関数を最も単純かつ最も対称的な、あるいは私の尊敬すべき友人であるM. Hermite が適切にも「標準形」と呼ぶように簡略化する方法について説明していきます。」

同時期には、ヘッセ（「標準形」）^[7]、 エルミート（「標準形」）^{[8] 、} ボルハルト（「標準形」）^[9]、ケイリー（「標準形」） ^[10]によって使用が証明されている。

1865 年、『科学、文学、芸術辞典』では標準形式を次のように定義しています。

「数学では、一般性を失うことなく、同じクラスのすべての関数を簡約できる、通常は最も単純または最も対称的な形式を表します。」

注: このセクションでは、「まで」ある同値関係 E は、標準形式が一般に一意ではないが、1 つのオブジェクトに 2 つの異なる標準形式がある場合、それらは E 同等であることを意味します。

標準形式は、非常に大きな数値をより簡潔で理解しやすい方法で表記するために多くの数学者や科学者によって使用されており、その中で最も有名なのは科学的記数法である。^[11]

• 正の整数の正規表現
• 連分数の標準形

解析幾何学では:

• 直線の方程式: Ax  +  By  =  C、A ²  +  B ²  = 1 かつC  ≥ 0
• 円の方程式:${\displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}}$

対照的に、方程式を書くための代替形式があります。たとえば、直線の方程式は、点-傾きと傾き-切片の形式で線形方程式として書くことができます。

凸多面体は次のように標準形にすることができます。

• すべての面は平らで、
• すべての辺は単位球に接しており、
• 多面体の重心は原点にある。^[12]

すべての微分可能多様体には、余接バンドルがあります。そのバンドルには、常に特定の微分形式が与えられ、標準 1 形式と呼ばれます。この形式により、余接バンドルはシンプレクティック多様体の構造を持ち、多様体上のベクトル場をオイラー-ラグランジュ方程式またはハミルトン力学によって積分できるようになります。このような積分可能な微分方程式のシステムは、積分可能システムと呼ばれます。

動的システムの研究は可積分システムの研究と重なり合っており、そこでは正規形（動的システム）という考え方があります。

3 次元多様体の研究では、第 1 基本形式、第2 基本形式、および第 3 基本形式が存在します。

• 否定正規形
• 連言標準形
• 選言正規形
• 代数正規形
• 冠頭正規形
• スコーレム正規形
• ブレイク標準形、素因数分解の完全和、完全和、選言素数形式とも呼ばれる

• 順序数のカントール標準形

• 正規形ゲーム

• 正規形（自然演繹）

式をある形式から別の形式に記号的に操作することを、その式の「書き換え」と呼びます。式を有効に操作できる一連の規則を研究することで、一般的な式の書き換えの抽象的な特性を研究することができます。これらは「書き換え規則」であり、抽象的な書き換えシステムの不可欠な部分です。一般的な式を単一の共通形式、つまり標準形式にまとめることができるかどうかは、よくある質問です。異なる書き換えシーケンスでも同じ形式になる場合、その形式を標準形式と呼び、書き換えを合流形式と呼びます。必ずしも標準形式が得られるとは限りません。

• ベータ削減が不可能な場合、ラムダ項はベータ正規形になります。ラムダ計算は、抽象書き換えシステムの特殊なケースです。たとえば、型なしラムダ計算では、項は正規形を持ちません。型付きラムダ計算では、すべての整形式の項は正規形に書き換えることができます。${\displaystyle (\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))}$

数学の一分野であるグラフ理論において、グラフ正規化は、与えられたグラフGの正規形を見つける問題です。正規形とは、Gと同型のラベル付きグラフCanon( G )であり、 Gと同型のすべてのグラフはGと同じ正規形を持ちます。したがって、グラフ正規化問題の解決から、グラフ同型性の問題を解決することができます。つまり、2つのグラフGとHが同型かどうかをテストするには、それらの正規形 Canon( G ) と Canon( H ) を計算し、これら2つの正規形が同一かどうかをテストします。

コンピューティングにおいて、データを何らかの標準形式に縮小することを一般にデータ正規化と呼びます。

例えば、データベースの正規化とは、リレーショナルデータベースのフィールドとテーブルを整理して冗長性と依存性を最小限に抑えるプロセスです。^[13]

ソフトウェア セキュリティの分野では、チェックされていない悪意のある入力が一般的な脆弱性となります (コード インジェクションを参照)。この問題を軽減するには、適切な入力検証を行います。入力検証を実行する前に、通常、エンコード ( HTML エンコードなど) を排除し、入力データを 1 つの共通文字セットに減らすことで、入力が正規化されます。

通常、信号処理（オーディオや画像処理を含む）や機械学習に関連するその他の形式のデータは、限定された範囲の値を提供するために正規化できます。

コンテンツ管理では、一般的なデータベース正規化やソフトウェア開発と同様に、単一の真実の情報源(SSOT)の概念が適用可能です。有能なコンテンツ管理システムは、トランスクルージョンなど、それを取得する論理的な方法を提供します。

• 正規化
• 標準的根拠
• 標準クラス
• 正規化（曖昧さ回避）
• 標準化

• シロフ、ジョージ E. (1977)、シルバーマン、リチャード A. (編)、線形代数、ドーバー、ISBN 0-486-63518-X。
• Hansen、Vagn Lundsgaard (2006)、Functional Analysis: Entering Hilbert Space、World Scientific Publishing、ISBN 981-256-563-9。