ストロフォイド

幾何学において、ストロフォイドとは、与えられた曲線Cと点A (不動点) およびO (極) から次のように生成される曲線です。LはOを通り、CとKで交差する可変直線とします。ここで、P ₁およびP _{2 は、} Kからの距離がAからKまでの距離と同じであるL上の 2 つの点とします(つまり、KP ₁ = KP ₂ = AK )。このような点P ₁およびP ₂の軌跡は、極Oおよび不動点Aに関するCのストロフォイドです。この構築では、 AP ₁とAP _{2 は}直角である ことに注意してください。

Cが直線で、AがC上にあり、O がC上にない特殊なケースでは、曲線は斜ストロフォイドと呼ばれます。さらに、OAがCに垂直な場合、曲線は右ストロフォイド、または一部の著者は単にストロフォイドと呼びます。右ストロフォイドは、ロゴサイクリック曲線または葉状曲線とも呼ばれます。

曲線Cを原点Oとして、 Aを点( a , b )とする。曲線上の点がKであれば、KからAまでの距離は ${\displaystyle r=f(\theta ),}$${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}$

${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}.}$

直線OK上の点は極角θを持ち、この直線上のKから距離dにある点は原点からの距離である。したがって、ストロフォイドの方程式は次のように与えられる。 ${\displaystyle f(\theta )\pm d}$

${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$

C が( x ( t ), y ( t ))によってパラメトリックに与えられるものとします。Aを点( a , b )、Oを点( p , q )とします。すると、極座標の公式を直接適用することで、ストロフォイドは次のようにパラメトリックに与えられます。

${\displaystyle u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),}$

どこ

${\displaystyle n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.}$

上記の式は複雑なため、特定のケースではその有用性が制限されます。 場合によっては、より簡単に適用できる別の形式があります。 これは、C が極OとAを持つマクローリンの半関数である場合に特に有用です。

O を原点、A を点( a , 0)とします。Kを曲線上の点、θ をOKとx軸の間の角度、⁠ ⁠ ${\displaystyle \vartheta}$AKとx軸の間の角度とします。 ⁠ ⁠ が${\displaystyle \vartheta}$関数θとして与えられると仮定します。ψ をKでの角度とすると、正弦定理を使用してr をlに関して決定できます。 ${\displaystyle \vartheta =l(\theta ).}$${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta .}$

${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}.}$

P ₁とP _{2 を}OK上のKからAKの距離にある点とし、番号を付ける。そして△ P ₁ KA は頂角ψを持つ二等辺三角形なので、残りの角⁠ ⁠と⁠ ⁠はAP ₁とx軸 の間の角度は${\displaystyle \psi =\angle P_{1}KA}$${\displaystyle \pi -\psi =\angle AKP_{2}.}$ ${\displaystyle \angle AP_{1}K}$${\displaystyle \angle KAP_{1},}$${\displaystyle {\tfrac {\pi -\psi }{2}}.}$

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2 =(\vartheta +\theta +\pi )/2.}$

同様の議論、または単にAP ₁とAP ₂が直角であるという事実を用いると、 AP ₂とx軸の間の角度は

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2.}$

上記の式から、 ストロフォイドの極方程式をl ₁とl _{2から導くことができます。}

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}\\&r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}\end{aligned}}}$

C は、 l がの形であるとき、極OとA を持つマクローリンの折線です。その場合、l ₁とl _{2 は}同じ形になるため、ストロフォイドは別のマクローリンの折線か、そのような曲線のペアのいずれかになります。この場合、原点がaだけ右にシフトされていれば、極方程式の単純な極方程式もあります。 ${\displaystyle q\theta +\theta _{0},}$

C をA を通る直線とします。すると、上で使用した記法で、αは定数です。すると、そして、結果として得られる斜線条体と呼ばれる、原点 がOにあるストロフォイドの極方程式は、${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2.}$

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$

そして

${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}.}$

これらの方程式が同じ曲線を描いていることは簡単に確認できます。

原点をAに移動し（マクローリンのSectrixを参照）、-aをaに置き換えると、

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}},}$

そして回転すると ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}.}$

直交座標では、定数パラメータの変化により、これは

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy.}$

これは 3 次曲線であり、極座標で表すと有理曲線です。(0, 0)にクルーノードがあり、直線y = bは漸近線です。

入れる​ ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$

与える

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta ).}$

これは右ストロフォイドと呼ばれ、 Cがy軸、Aが原点、Oが点( a , 0)の場合に対応します。

デカルト方程式は

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x).}$

この曲線はデカルトの葉系^[1]に似ており、直線x = – aは2つの枝への漸近線である。この曲線には複素座標平面上にさらに2つの漸近線があり、

${\displaystyle x\pm iy=-a.}$

C をOとA を通る円とし、Oを原点、Aを点( a , 0)とする。上記の表記法では、は定数である。そして、結果として得られるストロフォイドの極方程式は、斜ストロフォイドと呼ばれ、原点がOである。 ${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2.}$

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$

そして

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}.}$

これらは、 OとAを通り、これらの点でCと角度を形成する2 つの円の方程式です。 ${\displaystyle \pi /4}$

• コンコイド
• シソイド

• J. デニス ローレンス (1972)。特殊平面曲線のカタログ。ドーバー出版。pp. 51–53, 95, 100–104, 175。ISBN 0-486-60288-5。
• EH ロックウッド (1961)。「ストロフォイド」。曲線の本。ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局。pp. 134–137。ISBN 0-521-05585-7。
• RC Yates (1952)。「ストロフォイド」。曲線とその特性に関するハンドブック。ミシガン州アナーバー: JW Edwards。pp. 217–220。
• ワイスタイン、エリック・W.「ストロフォイド」。マスワールド。
• ワイスタイン、エリック W.「右ストロフォイド」。マスワールド。
• ソコロフ、DD (2001) [1994]、「ストロフォイド」、数学百科事典、EMS プレス
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「右ストロフォイド」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学

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