投資信託の分離定理

ポートフォリオ理論において、投資信託の分離定理、投資信託定理、または分離定理とは、一定の条件下では、投資信託の数がポートフォリオ内の個別資産の数よりも少ない場合に、特定の投資信託をそれぞれ適切な比率で保有することで、投資家の最適ポートフォリオを構築できることを述べた定理である。ここで、投資信託とは、利用可能な資産の指定されたベンチマーク ポートフォリオを指す。投資信託定理の利点は 2 つある。第 1 に、関連条件が満たされている場合、投資家にとっては、多数の資産を個別に購入するよりも、少数の投資信託を購入する方が簡単 (または取引コストが低い) になる可能性がある。第 2 に、理論的および実証的な観点から、関連条件が実際に満たされていると仮定できる場合、資産市場の機能に対する意味を導き出し、テストできる。

ポートフォリオは平均分散フレームワークで分析することができ、資産の収益が共存楕円分布している場合（共存正規分布している特殊なケースを含む）、各投資家は、その投資家が選択した期待収益の水準と一致する可能な限り収益分散が低いポートフォリオ（最小分散ポートフォリオと呼ばれる）を保有する。[1] [2] 平均分散分析では、[3] 特定の期待収益を与えられ^たすべて の最小分散ポートフォリオ（つまり、すべての効率的ポートフォリオ）は、任意の2つの効率的ポートフォリオの組み合わせとして形成できることが示される^。投資家の最適ポートフォリオの期待収益が2つの効率的なベンチマークポートフォリオの期待収益の間である場合、その投資家のポートフォリオは、2つのベンチマークポートフォリオの正の量で構成されていると特徴付けることができる。

リスクフリー資産が利用できない状況で2つのファンドを分離する様子を見るために、行列代数 を使用し、 をポートフォリオ収益の分散、をポートフォリオ収益分散が最小化される条件となるポートフォリオの期待収益レベル、 を利用可能な資産の期待収益のベクトル、 を利用可能な資産に配置する金額のベクトル、をポートフォリオに割り当てる資産額、 を1のベクトルとします。すると、特定のレベルの期待ポートフォリオ収益を条件としてポートフォリオ収益分散を最小化する問題は、次のように表現できます。 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle 1}$

最小化${\displaystyle \sigma ^{2}}$

対象となる

${\displaystyle X^{T}r=\mu }$

そして

${\displaystyle X^{T}1=W}$

ここで、上付き文字は行列の転置を表します。目的関数におけるポートフォリオのリターン分散は次のように表すことができます。ここで、は個々の資産のリターンの正定値共分散行列です。この制約付き最適化問題（2次条件が満たされていることが示せる）の ラグランジアンは、${\displaystyle ^{T}}$${\displaystyle \sigma^{2}=X^{T}VX,}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (WX^{T}1),}$

ラグランジュ乗数とを用いて、資産量の最適ベクトルを求めることができます。これは、、、およびに関する導関数をゼロに等しくし、およびについて暫定的に1次条件を解き、他の1次条件に代入し、モデルパラメータについておよびを解き、暫定解に代入し直すことで解くことができます。結果は次のようになります。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}$

どこ

${\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}$

簡単に言えば、これは次のように簡潔に書くことができる。

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }$

ここで、およびは基礎となるモデルパラメータに基づくパラメータベクトルです。ここで、ベンチマーク期待収益率およびで構築された2つのベンチマーク効率的ポートフォリオを考えます 。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}}$

そして

${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.}$

任意の時点における最適ポートフォリオは、次のようにおよびの加重平均として表すことができます。 ${\displaystyle \mu _{3}}$${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }}$${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }}$

${\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.}$

この式は、平均分散分析における 2 ファンド分離定理を証明します。幾何学的な解釈については、Markowitz の箇条書きを参照してください。

リスクフリー資産が利用できる場合は、2 つのファンドの分離定理が適用されます。ただし、この場合、「ファンド」の 1 つは、リスクフリー資産のみを含む非常に単純なファンドとして選択でき、もう 1 つのファンドは、リスクフリー資産を 0 保有するファンドとして選択できます。(リスクフリー資産を「お金」と呼ぶ場合、この形式の定理は、金銭分離定理と呼ばれます。) したがって、平均分散効率の高いポートフォリオは、リスクフリー資産の保有と、リスク資産のみを含む特定の効率的なファンドの保有の組み合わせとして簡単に形成できます。ただし、上記の導出は適用されません。リスクフリー資産の場合、すべての資産収益の上記の共分散行列 は、1 つの行と 1 つの列がゼロになり、逆変換できないためです。代わりに、問題は次のように設定できます。 ${\displaystyle V}$

最小化${\displaystyle \sigma ^{2}}$

対象となる

${\displaystyle (W-X^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,}$

ここで、はリスクフリー資産の既知の収益、はリスク資産に保有される量のベクトル、 はリスク資産の期待収益のベクトルです。最後の式の左辺はポートフォリオの期待収益です。 はリスクフリー資産に保有される量であるため、以前の問題では別のラグランジュ制約を含める必要があった資産加算制約が組み込まれています。目的関数は と書くことができます。ここで、 はリスク資産のみの共分散行列です。この最適化問題は、リスク資産保有の最適ベクトルを生成することが示されます。 ${\displaystyle r_{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (W-X^{T}1)}$${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

もちろん、リスクフリーポートフォリオの収益が の場合には、これはゼロベクトルに等しくなります。この場合、すべての資産はリスクフリー資産に保持されます。リスクフリー資産の保有がゼロのポートフォリオは で発生し、次のように 表されます。${\displaystyle \mu =Wr_{f}}$${\displaystyle \mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}}$

${\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

また、（上記の 2 つの投資信託の場合のデモンストレーションと同様に）すべてのポートフォリオのリスク資産ベクトル（つまり、のすべての値に対して）は、後者のベクトルとゼロベクトルの加重組み合わせとして形成できることも示されます。幾何学的な解釈については、リスクフリー資産のない効率的フロンティアを参照してください。 ${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }}$${\displaystyle \mu }$

投資家が双曲型絶対リスク回避度（HARA）（べき乗効用関数、対数関数、指数効用関数を含む）を持つ場合、平均分散分析を使用せずに分離定理を得ることができます。たとえば、デビッド・キャスとジョセフ・スティグリッツ^[4]は1970年に、すべての投資家が互いに同じ指数を持つHARA効用を持つ場合に2つのファンドの金銭的分離が適用されることを示しました。^{[5] ：ch.4}

さらに最近では、ÇanakoğluとÖzekiciの動的ポートフォリオ最適化モデル^[6]では、投資家の初期資産レベル（投資家の特徴）はポートフォリオのリスク部分の最適構成に影響を与えないことが示されています。Schmeddersによっても同様の結果が示されています。^[7]