ディオクレスのシソイド

幾何学において、ディオクレスのシソイド（古代ギリシャ語 のκισσοειδής (kissoeidēs)  「ツタの形」に由来、ディオクレスにちなんで名付けられた）は、与えられた比率に対する2 つの平均比例曲線を作成するために使用できるという特性で知られる3 次平面曲線です。特に、立方体を 2 倍するために使用できます。これは、円と、接点の反対側の円上の点に関してそれに接する直線のシソイドとして定義できます。実際、シソイドの曲線族はこの例にちなんで名付けられており、一部の著者はこれを単にシソイドと呼んでいます。これは極に単一の尖点を持ち、尖点の接線である円の直径に関して対称です。この直線は漸近線です。これは、de Sluze 曲線ファミリーのコンコイドのメンバーであり、形状はトラクトリクスに似ています。

Cの半径をaとします。平行移動と回転により、O を原点、円の中心を ( a , 0) とすると、Aは(2 a , 0)になります。この場合、 LとCの極方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&r=2a\sec \theta \\&r=2a\cos \theta .\end{aligned}}}$

構造上、原点からシソイド上の点までの距離は、原点とLおよびC上の対応する点との距離の差に等しい。言い換えれば、シソイドの極方程式は

${\displaystyle r=2a\sec \theta -2a\cos \theta =2a(\sec \theta -\cos \theta ).}$

いくつかの三角関数の等式を適用すると、これは次の式と等しくなります。

${\displaystyle r=2a\sin ^{2}\!\theta \mathbin {/} \cos \theta =2a\sin \theta \tan \theta .}$

上記の式で t = tan θとすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}&x=r\cos \theta =2a\sin ^{2}\!\theta ={\frac {2a\tan ^{2}\!\theta }{\sec ^{2}\!\theta }}={\frac {2at^{2}}{1+t^{2}}}\\&y=tx={\frac {2at^{3}}{1+t^{2}}}\end{aligned}}}$

これらはシソイドのパラメトリック方程式です。

極座標を直交座標に変換すると、

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}}$

コンパスと定規を使用してシソイド上のさまざまな点を作図するには、次のようにします。直線Lと、 L上にない点O が与えられている場合、 Oを通りLに平行な直線L'を作成します。 L上の可変点P を選択し、PのL'への直交投影であるQ を作成し、次にQのOPへの直交投影であるRを作成します。すると、シソイドは点Rの軌跡になります。

これを確認するには、O を原点、L を上記のように直線x = 2 aとします。Pを点(2 a , 2 at )とすると、Q は(0, 2 at )となり、直線OPの方程式はy = txとなります。Qを通りOPに垂直な直線は

${\displaystyle t(y-2at)+x=0.}$

交点Rを求めるには、この式で y = txと設定して、

${\displaystyle {\begin{aligned}&t(tx-2at)+x=0,\ x(t^{2}+1)=2at^{2},\ x={\frac {2at^{2}}{t^{2}+1}}\\&y=tx={\frac {2at^{3}}{t^{2}+1}}\end{aligned}}}$

これらは上記に示したパラメトリック方程式です。

この構成では、シソイド上に任意の数の点が生成されますが、曲線の連続したセグメントをトレースすることはできません。

次の構成はアイザック・ニュートンによって与えられました。 Jを直線、B をJ上にない点 とします。∠ BSTを直角とし、ST がBからJまでの 距離に等しくなり、T がJ上に残り 、もう一方の辺BS がBに沿って動くようにします。すると、 STの中点P が曲線を描きます。

これを確認するには、^[1]で、 Bと Jの間の距離を2 aとします。平行移動と回転により、B = (–a, 0)、 Jを直線x = aとします。P = ( x , y )とし、ψ をSBとx軸の間の角度とします。これはSTとJ の間の角度に等しくなります。構成により、PT = aなので、 PからJまで の距離はa sin ψです。言い換えると、a – x = a sin ψです。また、SP = aは、角度ψ回転した場合の( x , y )のy座標なので、a = ( x + a ) sin ψ + y cos ψです。簡略化すると、次のパラメトリック方程式が生成されます。

${\displaystyle x=a(1-\sin \psi ),\,y=a{\frac {(1-\sin \psi )^{2}}{\cos \psi }}.}$

ψをその補数に置き換えてパラメータを変更すると、

${\displaystyle x=a(1-\cos \psi ),\,y=a{\frac {(1-\cos \psi )^{2}}{\sin \psi }}}$

あるいは、二倍角の公式を適用すると、

${\displaystyle x=2a\sin ^{2}{\psi \over 2},\,y=a{\frac {4\sin ^{4}{\psi \over 2}}{2\sin {\psi \over 2}\cos {\psi \over 2}}}=2a{\frac {\sin ^{3}{\psi \over 2}}{\cos {\psi \over 2}}}.}$

しかしこれは極座標である

${\displaystyle r=2a{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}}$

θ = ψ /2として上記で与えられている。

二重投影構造と同様に、これを適応させて曲線を生成する機械装置を製造できることに注意してください。

ギリシャの幾何学者ディオクレスは、シソイドを使用して、与えられた比率に対する 2 つの平均比例関係を得ました。これは、長さaとb が与えられている場合、曲線を使用してuとv を見つけることができ、aはuに対して、 uはvに対して、 vはbに対して、つまりa / u = u / v = v / bとなり、これはキオス島のヒポクラテスによって発見されました。特殊なケースとして、これはデリアン問題を解くために使用できます。つまり、立方体の体積を 2 倍にするには、立方体の長さをどれだけ増やす必要があるかということです。具体的には、a が立方体の辺で、b = 2 aの場合、辺uの立方体の体積は

${\displaystyle u^{3}=a^{3}\left({\frac {u}{a}}\right)^{3}=a^{3}\left({\frac {u}{a}}\right)\left({\frac {v}{u}}\right)\left({\frac {b}{v}}\right)=a^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)=2a^{3}}$

したがって、u は元の立方体の 2 倍の体積を持つ立方体の辺です。ただし、この解はシソイドの存在に依存しているため、 コンパスと定規による作図の規則には当てはまらないことに注意してください。

aとbが与えられているとします。u 3 = a ² bとなるようにuを求め、平均比例定数として ^uとv = u 2 ^/ aを与えます。シソイドを

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}}$

は、上記のように、O を原点、A を点(2 a , 0)、J を直線x = aとして作図できます (これも上記のとおり)。C をJとOAの交点とします。 与えられた長さbから、CB = bとなるようにJ上にB をマークします。BAを描き、それがシソイドと交差する点をP = ( x , y )とします。 OPを描き、 JとUで交差するようにします。すると、u = CUが必要な長さになります。

これを理解するには、^[2]の曲線の方程式を次のように書き直す。

${\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}}$

そしてN = ( x , 0)とすると、PN はPを通るOAへの垂線になります。曲線の方程式から、

${\displaystyle {\overline {PN}}^{2}={\frac {{\overline {ON}}^{3}}{\overline {NA}}}.}$

このことから、

${\displaystyle {\frac {{\overline {PN}}^{3}}{{\overline {ON}}^{3}}}={\frac {\overline {PN}}{\overline {NA}}}.}$

相似三角形によりPN / ON = UC / OC、PN / NA = BC / CAとなる。したがって方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {{\overline {UC}}^{3}}{{\overline {OC}}^{3}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {CA}}},}$

それで

${\displaystyle {\frac {u^{3}}{a^{3}}}={\frac {b}{a}},\,u^{3}=a^{2}b}$

必要に応じて。

ディオクレスは実際にはデロス問題を解いたわけではありません。その理由は、少なくともコンパスと定規では、ディオクレスのシソイドを完璧に作図できないからです。ディオクレスのシソイドを作図するには、有限個の個々の点を作図し、これらすべての点を結んで曲線を形成します。(この作図の例を右に示します。) 問題は、点を結図する方法が明確に定義されていないことです。点を線分で結ぶと、作図は明確に定義されますが、それはディオクレスのシソイドそのものではなく、近似値に過ぎません。同様に、点を円弧で結ぶと、作図は明確に定義されますが、不正確になります。あるいは、単に曲線を直接描いて、曲線の形状を目測しようとすることもできますが、結果は不正確な推測にしかなりません。

シソイド上の有限の点の集合が描かれると、線PC はおそらくこれらの点のいずれかと正確に交差することはなく、それらの間を通り、ディオクレスのシソイドと、正確な位置が構築されておらず近似値のみが算出されているある点で交差するでしょう。別の方法としては、構築された点をシソイドに追加し続け、線PCとの交点にどんどん近づけていくことですが、ステップの数は無限になる可能性があり、ギリシャ人は近似値を無限ステップの限界として認識していませんでした (そのため、ゼノンのパラドックスに非常に困惑しました)。

ディオクレスのシソイドは、その目的のために特別に設計された機械的なツールを使って構築することもできますが、これはコンパスと定規のみを使用するという規則に違反します。この規則は、論理的 (公理的) 一貫性の理由で確立されました。新しいツールによる構築を許可することは、新しい公理を追加するようなものですが、公理は単純で自明であるはずですが、そのようなツールはそうではありません。したがって、古典的 な総合幾何学の規則では、ディオクレスはデロス問題を解いていません。デロス問題は、実際にはそのような方法では解くことができません。

頂点に対する放物線のペダル曲線は、ディオクレスのシソイドです。[ 3 ^]ペダル曲線の幾何学的特性により、一般にシソイドを構築するいくつかの代替方法が生まれます。シソイドとは、放物線上に中心があり、放物線の頂点を通過する円の包絡線です。また、2 つの合同な放物線を頂点同士で配置し、一方を他方に沿って転がすと、転がる放物線の頂点はシソイドをトレースします。

ディオクレスのシソイドは、頂点を反転の中心とする放物線の逆曲線として定義することもできます。これを確認するには、放物線を極座標でx = y ²とします。 ${\displaystyle r\cos \theta =(r\sin \theta )^{2}}$

${\displaystyle r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\!\theta }}\,.}$

逆曲線は次のようになります。

${\displaystyle r={\frac {\sin ^{2}\!\theta }{\cos \theta }}=\sin \theta \tan \theta ,}$

これは上記のシソイドの極方程式と一致します。

ウィキソースには、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「シソイド」のテキストがあります。

• J. Dennis Lawrence (1972)。特殊平面曲線のカタログ。Dover Publications。pp. 95, 98–100。ISBN 0-486-60288-5。
• ワイスタイン、エリック W.「ディオクレスのシソイド」。MathWorld。
• 特殊平面曲線のビジュアル辞書の「ディオクレスのシソイド」
• MacTutor の有名な曲線インデックスの「ディオクレスのシソイド」
• 2dcurves.com の「Cissoid」
• 「Cissoïde de Dioclès ou Cissoïde Droite」（Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables）（フランス語）
• 「シソイド」三次曲線と四次曲線に関する初等論文 アルフレッド・バーナード・バセット (1901) ケンブリッジ pp. 85ff