しわくちゃの弧

数学、特にヒルベルト空間の研究において、しわ弧は連続曲線の一種である。この概念は通常、ポール・ハルモスに帰せられる。

具体的には、${\displaystyle f\colon [0,1]\to X,}$どこ${\displaystyle X}$は内積を持つヒルベルト空間である${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$ 私たちはこう言います${\displaystyle f}$連続していて、かつしわ特性を持つ場合、それはしわ弧である。${\displaystyle 0\leq a<b\leq c<d\leq 1}$それから${\displaystyle \langle f(b)-f(a),f(d)-f(c)\rangle =0,}$つまり、コード${\displaystyle f(b)-f(a)}$そして${\displaystyle f(d)-f(c)}$区間が直交する場合${\displaystyle [a,b]}$そして${\displaystyle [c,d]}$重複しない。

ハルモスは、重なり合わない2つの弦が直交する場合、「曲線は弦の最遠端点間の通過中に直角に曲がる」と指摘し、そのような曲線は「各点で突然直角に曲がっているように見える」ため、この用語の選択が正当化されると述べている。ハルモスは、そのような曲線はどの点においても接線を持たないと推論し、この概念を用いて、無限次元ヒルベルト空間は「見た目よりもさらに広々としている」という自身の主張を正当化している。

1975年に執筆したリチャード・ヴィターレは、しわくちゃの弧を構築しようとする試みはすべて本質的に同じ解をもたらすというハルモスの経験的観察を考察し、${\displaystyle f(t)}$適切な正規化の後、の場合に限り、はしわのある弧である。 $${\displaystyle f(t)={\sqrt {2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\frac {\sin(n-1/2)\pi t}{(n-1/2)\pi }}}$$ どこ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}}$は正規直交集合です。許容される正規化は次のとおりです。a) ヒルベルト空間H を、しわくちゃ弧のすべての値を含む最小の閉部分空間に置き換える。b) 一様スケーリング。c) 平行移動。d) 再パラメータ化。これらの正規化を使用して、しわくちゃ弧上の同値関係を定義します。これは、そのような正規化の任意のシーケンスの後、2 つのしわくちゃ弧が同一になる場合に成立します。すると、同値類は 1 つだけになり、ヴィターレの公式は典型的な例を記述します。

• 無限次元ベクトル関数#しわくちゃの弧– その値は無限次元ベクトル空間に存在する 

• Halmos, Paul R. (1982年11月8日).ヒルベルト空間問題集.大学院数学テキスト. 第19巻 （第2 版）. ニューヨーク：Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0. OCLC 8169781 . 
• Halmos, Paul R. (1982), A Hilbert Space Problem Book , Graduate Texts in Mathematics, vol.  19, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4615-9976-0 , ISBN 978-1-4615-9978-4
• Vitale, Richard A. (1975)、「しわくちゃの弧の表現」、アメリカ数学会紀要、52 : 303–304、doi : 10.1090/S0002-9939-1975-0388056-1