無限次元ベクトル関数

無限次元ベクトル関数は、その値がヒルベルト空間やバナッハ空間などの無限次元位相ベクトル空間内に存在する関数です。

このような機能は物理学を含むほとんどの科学に応用されています。

あらゆる正の整数とあらゆる実数に対して を設定すると、式で定義される 関数は、実数値列の 無限次元ベクトル空間（または）にある値を取る。例えば、 ${\displaystyle f_{k}(t)=t/k^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t.}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t),\ldots )\,,}$$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$$${\displaystyle f(2)=\left(2,{\frac {2}{4}},{\frac {2}{9}},{\frac {2}{16}},{\frac {2}{25}},\ldots \right).}$$

空間にはさまざまな位相が定義できるため、その微分について話すには、まず位相または極限の概念を特定する必要があります。${\displaystyle X,}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

さらに、任意の集合に対して、の基数の(ハメル)次元を持つ無限次元ベクトル空間が存在します(たとえば、有限個の非ゼロ要素を持つ関数の空間。ここでは、 は目的のスカラー体です)。さらに、引数は実数の集合ではなく、任意の集合に存在する可能性があります。 ${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\to K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle t}$

スカラー関数の積分と微分に関する定理のほとんどは、本質的に同じ証明を使ってベクトル値関数に一般化できる。おそらく最も重要な例外は、絶対連続関数は必ずしもその（ae）導関数の積分に等しいとは限らないということである（例えば、がヒルベルト空間である場合を除く）。ラドン・ニコディムの定理を参照のこと。${\displaystyle X}$

曲線は、単位区間（またはより一般的には、実数の非退化閉区間）の位相空間への連続写像です。弧は、位相埋め込みでもある曲線です。ハウスドルフ空間に値を持つ曲線は、単射である場合に限り弧になります。

がバナッハ空間または他の位相ベクトル空間である場合、の微分は通常の方法で定義できます。 ${\displaystyle f:[0,1]\to X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.}$$

がヒルベルト空間内の値を持つ実数の関数である場合、ある点におけるの導関数は有限次元の場合のように定義できます。有限 次元の場合の結果のほとんどは、多少の修正を加えて無限次元の場合にも当てはまります。微分は、複数の変数の関数（たとえば、または）に対しても定義できます。ここで は無限次元ベクトル空間です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.}$$${\displaystyle t\in R^{n}}$${\displaystyle t\in Y,}$${\displaystyle Y}$

がヒルベルト空間である場合、任意の微分（および他の任意の極限）は成分ごとに計算できます。つまり、 （つまり、は空間 の正規直交基底）が存在し、が存在する場合、 となります。 ただし、成分ごとの微分の存在は、ヒルベルト空間における成分ごとの収束が、ヒルベルト空間の実際の位相に関する収束を保証しないのと同様に、微分の存在を保証するものではありません。 ${\displaystyle X}$$${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )}$$${\displaystyle f=f_{1}e_{1}+f_{2}e_{2}+f_{3}e_{3}+\cdots ,}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f'(t)}$$${\displaystyle f'(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots ).}$$

上記のほとんどは、他の位相ベクトル空間にも当てはまります。ただし、 バナッハ空間の設定では、古典的な結果がそれほど多くは当てはまりません。たとえば、適切なバナッハ空間内の値を持つ絶対連続関数は、どこにも導関数を持つ必要はありません。さらに、ほとんどのバナッハ空間の設定では、正規直交基底は存在しません。 ${\displaystyle X}$

が位相ベクトル空間で値をとる曲線の定義域に含まれる区間である場合、ベクトルはによって決定されるの弦と呼ばれます。^[1]がその定義域内の別の区間である 場合、およびが最大で 1 つの端点を共有する場合、 2 つの弦は重複しない弦であると言われています。 ^{[1]直感的には、}内積空間 で値をとる曲線の 2 つの重複しない弦は、曲線が開始点と終了点の間の経路のどこかで直角に曲がる場合、直交ベクトルです。重複しない弦のすべてのペアが直交する場合、そのような右折は曲線のすべての点で発生します。そのような曲線はどの点でも微分できません。 ^[1]しわのある弧は 、任意の 2 つの重複しない弦が直交ベクトルであるという特性を持つ、単射連続曲線です。ヒルベルト空間におけるしわのある弧の例は次の通りである: ^[2] ここで は定義される 指示関数である。 しわのある弧は任意の無限次元ヒルベルト空間に見出すことができる。なぜなら、そのような空間は^[2]と同型な閉ベクトル部分空間を含むからである。 しわのある弧は、その像の範囲が^[2]の稠密な部分集合である場合、正規化されていると言われる。${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(b)-f(a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [c,d]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [c,d]}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}(0,1)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&[0,1]&&\;\to \;&L^{2}(0,1)\\[0.3ex]&&t&&\;\mapsto \;&\mathbb {1} _{[0,t]}\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle \mathbb {1} _{[0,\,t]}:(0,1)\to \{0,1\}}$$${\displaystyle x\;\mapsto \;{\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in [0,t]\\0&{\text{ else }}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle L^{2}(0,1).}$${\displaystyle f:[0,1]\to X}$${\displaystyle f(0)=0,}$ ${\displaystyle \|f(1)\|=1,}$ ${\displaystyle f([0,1])}$${\displaystyle X.}$

が増加同相写像である場合、 は曲線の再パラメータ化と呼ばれる^[1]内積空間内の 2 つの曲線とがユニタリ同値であるとは、次を満たすユニタリ演算子(等長線型一対一)が存在する場合である(または同値である)。 ${\displaystyle h:[0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle f\circ h}$${\displaystyle f:[0,1]\to X.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:X\to X}$ ${\displaystyle g=L\circ f}$${\displaystyle f=L^{-1}\circ g}$

の測定可能性はさまざまな方法で定義できますが、最も重要なのはボクナー測定可能性と弱測定可能性です。 ${\displaystyle f}$

の最も重要な積分は、ボッホナー積分（がバナッハ空間の場合）とペティス積分（が位相ベクトル空間の場合）と呼ばれます。これらの積分は両方とも線型関数と可換です。また、このような関数に対して空間が定義されています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{p}}$

• フレシェ空間における差別化
• ユークリッド空間からの微分可能ベクトル値関数 – 関数解析における微分可能関数

• Einar Hille および Ralph Phillips: 「関数解析と半群」、Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. Vol. 31、Providence、RI、1957 年。
• ハルモス、ポール R. ( 1982年 11 月 8 日)。ヒルベルト空間問題集。数学大学院テキスト。第 19 巻 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-387-90685-0. OCLC  8169781.