最速降下曲線

物理学と数学において、最速降下曲線（せいさくじょうせん、英: Brachistochrone curve、古代ギリシャ語の βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos)  「最短時間」に由来）^[1]または最速降下曲線は、点Aとそれより低い点Bの間の平面上にある曲線であり、点B はA の真下にはなく、ビーズは均一な重力場の影響を受けて摩擦なしで最短時間で所定の終点まで滑ります。この問題は、1696年に ヨハン・ベルヌーイによって提起されました。

最速降下曲線は、トートクローン曲線と同じ形状で、どちらもサイクロイドです。しかし、2つそれぞれに使用されるサイクロイドの部分は異なります。より具体的には、最速降下曲線はサイクロイドの完全な回転まで使用できますが（AとBが同じレベルにある極限で）、常にカスプから始まります。対照的に、トートクローン問題は最初の半分の回転までしか使用できず、常に水平で終了します。^{[2]この問題は、}変分法^[3]と最適制御のツールを使用して解くことができます。^[4]

この曲線は、試験体の質量と局所的な重力の強さの両方から独立しています。曲線が開始点Aと終了点Bに適合するように、パラメータのみが選択されます。^[5]物体にAで初期速度が与えられた場合、または摩擦が考慮される場合、時間を最小化する曲線は、トートクローン曲線とは異なります。

1638年、ガリレオ・ガリレイは著書『二つの新科学』の中で、点から壁への最速降下経路に関する同様の問題を解こうとしていた。彼は、円弧は円の弦の何本分よりも速いという結論を導き出した。^[6]

以上のことから、ある点から別の点までの最も速い経路 [lationem omnium v​​elocissimam] は、最短経路、つまり直線ではなく、円弧であることが推測できます。

...

その結果、内接多角形が円に近づくほど、A から C への降下に必要な時間が短くなります。象限で証明されたことは、より小さな円弧にも当てはまり、理由も同じです。

『二つの新しい科学』の定理 6 の直後、ガリレオは、起こりうる誤りと「より高度な科学」の必要性について警告しています。この対話で、ガリレオは自身の研究を振り返ります。ガリレオはサイクロイドを研究し、それに名前を付けましたが、サイクロイドと彼の問題との関連は、数学の進歩を待たなければなりませんでした。

ガリレオの推測は、「[移動物体にとって]最も短い時間は、円弧 ADB [四分の一円] に沿って落下するときの時間であり、同様の特性は、下限 B から上方にとったすべてのより小さな円弧にも当てはまると理解される」というものです。

ガリレオは『二大世界体系に関する対話』の図 1 で、物体が A から B まで四分の一円の円弧に沿って滑ると、A から B までの他の経路をたどるよりも短時間で B に到達すると主張しています。同様に、図 2 では、円弧 AB 上の任意の点 D から、より小さい円弧 DB に沿った時間が、D から B までの他のどの経路よりも短いと主張しています。実際、A から B または D から B への最速経路である最速降下はサイクロイド円弧であり、A から B への経路については図 3、D から B への経路については図 4 に、それぞれの円弧に重ねて示されています。 ^[7]

ヨハン・ベルヌーイは1696年6月にActa Eruditorumの読者に最速降下の問題を提示した。^{[8] [9]}彼は次のように述べた。

私、ヨハン・ベルヌーイは、世界で最も優れた数学者たちに語りかけます。正直で挑戦的な問題ほど、知的な人々にとって魅力的なものはありません。その解決法は名声をもたらし、永遠に残る記念碑となるでしょう。パスカル、フェルマーなどの例に倣い、私は、現代の最も優れた数学者たちに、彼らの方法と知性の強さを試す問題を提示することで、科学界全体の感謝を得たいと考えています。誰かが私に提案された問題の解決法を伝えたら、私はその人が称賛に値すると公に宣言します。

ベルヌーイは問題文を次のように書きました:

垂直面上の 2 つの点 A と B が与えられたとき、重力のみが作用する点が描く曲線のうち、A から始まり最短時間で B に到達するものは何ですか。

ヨハンと弟のヤコブ・ベルヌーイは同じ解を導いたが、ヨハンの導出は間違っており、彼はヤコブの解を自分のものとして偽装しようとした。^[10]ヨハンは翌年の5月にその解を雑誌に発表し、その解がホイヘンスの トートクローン曲線と同じ曲線であることを指摘した。以下に示す方法で曲線の微分方程式を導いた後、彼はそれがサイクロイドを生み出すことを示した。^{[11] [12]しかし、彼の証明は、以下に示す3つの定数}v _m、2g 、およびDの代わりに単一の定数を使用したことで損なわれている。

ベルヌーイは6ヶ月の猶予を与えたが、この期間中に解答は出なかった。ライプニッツの要請により、期限は公的に1年半延長された。^[13] 1697年1月29日午後4時、アイザック・ニュートンは王立造幣局から帰宅すると、ヨハン・ベルヌーイからの手紙の中に挑戦状を見つけた。^[14]ニュートンはそれを解くために一晩中起きていて、次の郵便で匿名で解答を郵送した。解答を読んだベルヌーイはすぐにその作者に気づき、「爪痕からライオンだとわかる」と叫んだ。この話はニュートンの力をいくらか示している。なぜなら、ヨハン・ベルヌーイはそれを解くのに2週間もかかったからである。^{[5] [15]}ニュートンはまた、「私は数学的なことで外国人に催促されたり、からかわれたりするのは好きではない...」と書いており、ニュートンは既に変分法における最初の問題とされるニュートンの最小抵抗問題を解いていた。

最終的に、ニュートン、ヤコブ・ベルヌーイ、ゴットフリート・ライプニッツ、エーレンフリート・ヴァルター・フォン・チルンハウス、ギヨーム・ド・ロピタルの5人の数学者が解答を提出した。ロピタルの解答を除く4つの解答は、ヨハン・ベルヌーイの解答と同じ号の雑誌に掲載された。ヤコブ・ベルヌーイは、その論文の中で、下記に似た最短時間条件の証明を行った後、その解がサイクロイドであることを示した。^[11]ニュートン学者のトム・ホワイトサイドによると、ヤコブ・ベルヌーイは兄を出し抜こうとして、より難しい最速降下問題を作った。その解決において、彼は新しい手法を開発し、レオンハルト・オイラーがそれを改良して（1766年に）変分法と呼んだ。 ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュはさらなる研究を行い、現代の微小微積分学を生み出した。

ベルヌーイはロピタルへの手紙（1696年12月21日）の中で、最速降下曲線の問題を検討していたところ、わずか2日後には、同様に注目すべき別の問題との奇妙な類似性または関連性に気づき、「間接的な方法」による解決法に至ったと述べています。その後すぐに、彼は「直接的な方法」を発見しました。^[16]

バーゼル大学公立図書館に保管されている、1697 年 3 月 30 日付のアンリ・バスナージュ宛の手紙の中で、ヨハン・ベルヌーイは、最速降下が「一般的なサイクロイド」、別名「ルーレット」であることを示す 2 つの方法 (常に「直接」と「間接」と呼ばれる) を発見したと述べています。ライプニッツの助言に従い、彼は1697 年 5 月のActa Eruditorum Lipsidaeに間接法のみを掲載しました。これは、結論を疑う人を納得させるには十分であると信じていたためであり、また「故ホイヘンス氏」が光に関する論文で提起した光学の 2 つの有名な問題も解決したためであるとベルヌーイは書いています。同じ手紙の中で、彼はニュートンが自分の方法を隠蔽したことを批判しました。

彼は間接的な方法に加えて、その問題に対して受け取った他の 5 つの回答も公開しました。

ヨハン・ベルヌーイの直接法は、最速降下線がサイクロイドであることの証明として歴史的に重要です。この方法は、各点における曲線の曲率を決定するものです。ニュートンの証明（当時は明らかにされていませんでした）を含む他のすべての証明は、各点における勾配を見つけることに基づいています。

1718年、ベルヌーイは最速降下問題を直接法で解く方法を説明した。^{[17] [18]}

彼は、1697年にそれを出版しなかったのは、1718年にはもはや当てはまらない理由のためだと説明した。この論文は、1904年にコンスタンティン・カラテオドリによって初めてその方法の深さが評価されるまで、ほとんど無視されていた。カラテオドリは、この方法はサイクロイドが唯一の最速降下曲線であることを示していると述べた。彼によると、他の解は、サイクロイドの降下時間が一定であることを単に示唆しているが、必ずしも可能な限り最短であるとは限らないという。

物体は、中心 K を固定し、半径 KC と Ke の間の任意の小さな円弧 Ce に沿って滑ると考えられます。証明の最初の段階では、物体が最短時間で移動する特定の円弧 Mm を見つけます。

直線 KNC は AL と N で交差し、直線 Kne は n で交差し、K で小さな角度 CKe をなします。NK = a とし、KN 延長上に可変点 C を定義します。すべての可能な円弧 Ce のうち、2 つの半径 KM と Km の間をスライドするのに最小時間を要する円弧 Mm を見つける必要があります。Mm を見つけるために、ベルヌーイは次のように主張します。

MN = x とします。彼は m を MD = mx となるように定義し、n を Mm = nx + na となるように定義し、x が唯一の変数であり、m は有限で n は無限に小さいことを指摘しています。弧 Mm に沿って移動する小さな時間は であり、これは最小値 (「un plus petit」) でなければなりません。彼は、Mm が非常に小さいため、Mm に沿った速度は M での速度 (MD の平方根、つまり水平線 AL の下の M の垂直距離) であると想定できることを説明していません。 ${\displaystyle {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}}$

これを微分すると、

${\displaystyle {\frac {(xa)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0}$つまりx = aとなる。

この条件は、物体が最短時間で滑る曲線を定義します。曲線上の各点 M について、曲率半径 MK は軸 AL によって 2 つの等しい部分に分割されます。ベルヌーイによれば、この特性は古くから知られており、サイクロイドに特有のものです。

最後に、彼はより一般的なケース、つまり速度が任意の関数 X(x) である場合を考察し、最小化すべき時間は です。すると最小条件は となり 、 彼はこれを次のように書きます。 そして、MN (=x) は NK (= a) の関数として与えられます。このことから、積分法から曲線の方程式を得ることができますが、彼はこれを実証していません。 ${\displaystyle {\frac {(x+a)}{X}}}$${\displaystyle X={\frac {(x+a)dX}{dx}}}$${\displaystyle X=(x+a)\Delta x}$

その後、彼は、物体が最短時間で滑り降りることができる曲線は 1 つしかなく、その曲線がサイクロイドであるという、古典的な幾何学的証明である、いわゆる「総合的解決」を進めました。

「古代のやり方で総合的な証明を行う理由は、ド・ラ・イル氏を納得させるためです。彼は私たちの新しい分析にあまり関心がなく、それを誤りであると述べています（彼は、曲線が三次放物線であることを証明する3つの方法を見つけたと主張しています）」 - 1697年7月27日付のヨハン・ベルヌーイからピエール・ヴァリニョンへの手紙。^[19]

AMmB は、物体が最短時間で滑り落ちる、A と B を結ぶサイクロイドの部分であると仮定します。ICcJ は、AMmB よりも AL に近い、A と B を結ぶ別の曲線の一部とします。弧 Mm が曲率中心 K で角度 MKm を張る場合、同じ角度を張る IJ 上の弧を Cc とします。中心 K を持つ C を通る円弧は Ce です。AL 上の点 D は M の垂直上にあります。K を D に結び、点 H は CG が KD と交差する点であり、必要に応じて延長されます。

物体がそれぞれMmとCeに沿って落下するのにかかる時間をtとします 。${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}}$、、​${\displaystyle t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}}$

CGを点Fまで延長すると、となるので、 ${\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}}$${\displaystyle {\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}}$

${\displaystyle {\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

MN = NKなので、サイクロイドの場合：

${\displaystyle GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}}$、、 そして${\displaystyle CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}}$${\displaystyle CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}}$

CeがMmよりもKに近い場合

${\displaystyle CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}}$そして${\displaystyle CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}}$

どちらの場合でも、

${\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG}$、そして次のようになる。${\displaystyle \tau <t}$

IJ 上の無限小角 MKm によって囲まれる円弧 Cc が円でない場合、Ce よりも大きくなければなりません。これは、角 MKm がゼロに近づくにつれて、極限で Cec が直角三角形になるためです。

なお、ベルヌーイは、同様だが異なる議論によって CF > CG であることを証明しています。

このことから、彼は物体がサイクロイド AMB を通過する時間は他のどの曲線 ACB よりも短いと結論付けています。

フェルマーの原理によれば、光線が2点間を移動する実際の経路（スネルの屈折の法則に従う）は、最短時間で進む経路となる。1697年、ヨハン・ベルヌーイはこの原理を用いて、一定の垂直加速度（重力加速度g ）に従って光速が増加する媒体内の光線の軌跡を考慮して最速降下曲線を導出した。^[20]

エネルギー保存則により、均一な重力場において 高さy を落下した後の物体の瞬間速度vは次のように表されます。

${\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}$、

任意の曲線に沿った物体の運動速度は、水平方向の変位に依存しません。

ベルヌーイは、スネルの屈折の法則が、密度が変化する媒体における光線の運動の定数を与えることを指摘しました。

${\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m }}}}$、

ここで、v _{m は}定数であり、垂直に対する軌道の角度を表します。 ${\displaystyle \theta}$

上記の式から、次の 2 つの結論が導き出されます。

1. 最初は、粒子の速度がゼロのときに角度はゼロでなければなりません。したがって、最速降下曲線は原点で垂直に接します。
2. 軌道が水平になり、角度 θ = 90° のときに速度が最大値に達します。

簡単にするために、座標 (x,y) の粒子 (またはビーム) が点 (0,0) から出発し、垂直距離D を落下した後に最大速度に達すると仮定します。

${\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}}$。

屈折と二乗の法則の項を整理すると次のようになります。

${\displaystyle v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})}$

これはdyに関してdxについて解くことができます。

${\displaystyle dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}}$。

上記のvとv _mの式を代入すると次のようになります。

${\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{Dy}}}\,dy\,,}$

これは直径D=2rの円によって生成される逆サイクロイドの微分方程式であり、その媒介方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}}$

ここで、 φ は実パラメータであり、回転する円が回転した角度に対応します。 φ が与えられた場合、円の中心は( x , y ) = ( rφ , r )にあります。

最速降下問題では、物体の運動はパラメータの時間発展によって与えられます。

${\displaystyle \varphi (t)=\omega t\,,\omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}}$

ここでtは物体が点(0,0)から離れた時点からの時間です。

ヨハンの弟ヤコブは、2次微分を使って最短時間の条件を得る方法を示した。証明の現代版は以下の通り。最短時間の経路から無視できるほどの偏差を作った場合、経路に沿った変位と水平および垂直の変位によって形成される微分三角形について、

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$。

dyを固定して微分すると、

${\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}$。

そして最後に、項を並べ替えると、

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}$

ここで最後の部分は、2次微分における与えられた時間変化に対する変位です。次に、中心線に沿った経路間の水平方向の分離がd ² x（上側と下側の微分三角形の両方で同じ）である、下の図の2つの隣接する経路に沿った変化を考えます。古い経路と新しい経路に沿って異なる部分は次のとおりです。

${\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}$

${\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}$

最小時間の経路ではこれらの時間は等しいので、その差は次のようになります。

${\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}$

そして、最短時間条件は、

${\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}$

これは屈折の法則に基づくヨハンの仮定と一致します。

1696 年 6 月、ヨハン・ベルヌーイはActa Eruditorum Lipsidaeのページを使用して、国際数学コミュニティに課題を提起しました。それは、2 つの固定点を結ぶ曲線の形状を見つけ、質量が重力の影響のみを受けて最短時間でその曲線に沿って滑り落ちるようにすることです。当初、この解決策は 6 か月以内に提出される予定でした。ライプニッツの提案により、ベルヌーイはオランダのフローニンゲンで出版された「Programma」という印刷テキストを使用して、1697 年のイースターまで課題を延長しました。

この課題書の日付はグレゴリオ暦で 1697 年 1 月 1 日である。これは英国で使用されていたユリウス暦では 1696 年 12 月 22 日である。ニュートンの姪キャサリン・コンデュイットによると、ニュートンは 1 月 29 日午後 4 時にこの課題を知り、翌朝午前 4 時までに解決した。王立協会に提出された彼の解答は 1 月 30 日のものである。後にPhilosophical Transactionsに匿名で発表されたこの解答は正しいが、ニュートンが結論に至った方法は示されていない。1697 年 3 月にアンリ・バスナージュに宛てた手紙の中で、ベルヌーイは「謙遜のあまり」著者が名前を明かさなかったが、提供されたわずかな詳細からでも「爪で引っ掻くライオンのように」(ラテン語でex ungue Leonem )、ニュートンの著作であると認識できると述べている。

DTホワイトサイドは、この文字のフランス語の先頭にフランス語の単語「comme」が付くことを指摘している。よく引用される「tanquam ex ungue Leonem」というバージョンは、1855年にデイヴィッド・ブリュースターがニュートンの生涯と業績について書いた本に由来する。ベルヌーイの意図は、爪を見れば動物がライオンだとわかるのと同じように、匿名の解答がニュートンのものだということがわかったことを単に示したかっただけであり、ベルヌーイがニュートンを数学者の中でライオンだとみなしていたことを示唆するものではないとホワイトサイドは主張している。これはその後解釈されるようになった。^[21]

当時80歳だったジョン・ウォリスは、1696年9月にヨハン・ベルヌーイの末弟ヒエロニムスからこの問題を聞き、3か月かけて解決法を模索した後、12月にデイヴィッド・グレゴリーに渡したが、彼も解けなかった。ニュートンが解決法を提出した後、グレゴリーはニュートンに詳細を尋ね、会話のメモを取った。これはエディンバラ大学図書館の1697年3月7日の原稿Aで見ることができる。グレゴリーはニュートンの議論を理解していなかったか、ニュートンの説明が非常に簡潔だったかのどちらかである。しかし、最小抵抗の立体を決定する方法（プリンキピア、第2巻、命題34、第2章）との類推により、グレゴリーのメモからニュートンの証明を高い信頼度で構築することは可能である。後者の問題に対するニュートンの解決法の詳細な説明は、1694年にデイヴィッド・グレゴリーに宛てた手紙の草稿に含まれています。^[22] 最小時間曲線の問題に加えて、ニュートンが同時に解決した2番目の問題がありました。両方の解決策は、1697年1月の王立協会の哲学論文集に匿名で掲載されました。 ${\displaystyle 78^{1}}$

図 1 は、グレゴリーの図を示しています (ただし、追加の線 IF はなく、開始点の Z が追加されています)。曲線 ZVA はサイクロイドであり、CHV はその生成円です。物体が e から E へ上向きに動いているように見えるため、小さな物体が Z から解放され、重力の作用により摩擦なしで曲線に沿って A へ滑ると想定する必要があります。

物体が上昇している小さな円弧 eE を考えます。物体は円弧 eE ではなく、直線 eL を通り、E から水平方向に小さな距離 o だけずれた点 L まで移動すると仮定します。eL は e での接線ではなく、L が B と E の間にある場合は o が負になることに注意してください。CH に平行な E を通る線を描き、eL を n で切断します。サイクロイドの特性から、En は E での接線の法線であり、同様に E での接線は VH に平行です。

変位 EL は小さいため、E での接線と方向がほとんど変わらず、角度 EnL は直角に近くなります。円弧 eE がゼロに近づく極限では、o が eE に比べて小さい場合、eL は VH と平行になり、三角形 EnL と CHV は相似になります。

また、en は弦の長さ eE に近づき、長さの増加 となりますが、 eL と VH が平行であるという近似による誤差を表す および高次の 項は無視されます。${\displaystyle eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}}$${\displaystyle o^{2}}$

eEまたはeLに沿った速度は、Eにおける速度としてとらえることができ、これはCHに比例する。${\displaystyle {\sqrt {CB}}}$${\displaystyle CH={\sqrt {CB.CV}}}$

グレゴリーのメモにはこれが全て含まれているようです。

tをLに到達するまでの追加時間とすると、

${\displaystyle t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}}$

したがって、1 つの端点で変位した小さな円弧を横断する時間の増加は、端点での変位のみに依存し、円弧の位置とは無関係です。ただし、ニュートン法では、これは曲線を可能な限り最短時間で横断するために必要な条件にすぎません。したがって、彼は最小曲線はサイクロイドであると結論付けています。

彼は次のように主張する。

ここで、図 1 がまだ決定されていない最小曲線で、垂直軸 CV と円 CHV が削除されていると仮定します。また、図 2 は、無限小弧 eE と曲線に沿った有限距離にあるさらに無限小弧 Ff の間の曲線の一部を示しています。eL (eE ではなく) を通過するための追加時間 t は、およびそれ以上の項を無視して、nL を E での速度 (に比例) で割ったものです。 ${\displaystyle {\sqrt {CB}}}$${\displaystyle o^{2}}$

${\displaystyle t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}}$、

L では、粒子は元の EF と平行な経路 LM に沿って任意の点 M まで進みます。L では E と同じ速度であるため、LM を通過する時間は元の曲線 EF に沿って進む場合と同じです。M では、点 f で元の経路に戻ります。同じ理由により、F からではなく M から f に到達する時間の短縮 T は次のようになります。

${\displaystyle T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}}$

差 (t – T) は、元の eEFf と比較して、経路 eLMf に沿ってかかる余分な時間です。

${\displaystyle (t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o}$プラス以上の用語（1） ${\displaystyle o^{2}}$

eEFfは最小曲線なので、oが正か負かに関係なく、(t – T)はゼロより大きくなければなりません。したがって、(1)のoの係数はゼロでなければなりません。

${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}$ (2) の極限では、eEとfFがゼロに近づく。eEFfは最小曲線なので、の係数はゼロより大きいと仮定する必要があることに注意する。 ${\displaystyle o^{2}}$

明らかに、等しく反対方向の変位が 2 つある必要があります。そうしないと、物体は曲線の終点 A に戻りません。

e が固定で、曲線の上のほうで f が可変点とみなされる場合、そのようなすべての点について、f は定数（ に等しい）です。f を固定して e を可変にすると、 も定数であることは明らかです。 ${\displaystyle {\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}$${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}$${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}$

しかし、点 e および f は任意であるため、式 (2) は、どこでも の場合にのみ成り立ち、この条件は、求められる曲線を特徴づけます。これは、最小抵抗の立体の形を見つけるために彼が使用したのと同じ手法です。 ${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}}$

サイクロイドの場合、 となり、これは上で定数であることが示されており、最速降下線はサイクロイドです。 ${\displaystyle {\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}}$${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}}$

ニュートンは、サイクロイドがこの最後の関係を満たすことをどのようにして発見したかについては何も述べていません。試行錯誤の末に発見したのかもしれませんし、あるいは、その曲線がサイクロイドであることをすぐに認識したのかもしれません。

• アリストテレスの車輪のパラドックス
• ベルトラミのアイデンティティ
• 変分法
• カテナリー
• ニュートンの最小抵抗問題
• トロコイド
• 等加速度運動

ウィキメディア・コモンズには、最早降下帯に関連するメディアがあります。

• 「最速降下線」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「ブラキストクロネ問題」。マスワールド。
• Brachistochrone (MathCurve で、優れたアニメーションの例が掲載されています)
• 最速降下線、ホイッスラー・アレー数学。
• Acta Eruditorum 1697 のベルヌーイの記事の表 IV
• Michael Trott によるBrachistochronesおよび Okay Arik による Brachistochrone Problem、Wolfram Demonstrations Project。
• MacTutor における最速降下線問題
• 測地線の再考 —測地線の特殊なケースとして最速降下線を含む測地線の方程式を導出する 2 つの方法を含む測地線の紹介。
• Python による最速降下問題に対する最適制御ソリューション。
• 直線、懸垂線、最速降下線、円、およびいくつかの測地線に対するフェルマーの統一アプローチ。