トートクロネ曲線

トートクローン曲線または等時曲線（古代ギリシャ語 のταὐτό (tauto-)  「同じ」、 ἴσος (isos-)  「等しい」、 χρόνος (chronos)  「時間」に由来）は、物体が一様な重力下で摩擦なく滑って最低点に達するまでの時間が、曲線上の開始点に依存しない曲線である。この曲線はサイクロイドであり、時間は（サイクロイドを生成する円の）半径の平方根をπ倍して重力加速度で割ったものに等しい。トートクローン曲線は、同じくサイクロイドである 最速降下曲線と関連している。

この曲線を同定する試みであるトートクロン問題は、1659年にクリスティアーン・ホイヘンスによって解決されました。彼は、1673年に最初に出版された著書『振動する時計』の中で、この曲線がサイクロイドであることを幾何学的に証明しました。

軸が垂線上に立てられ、頂点が底部に位置するサイクロイドでは、物体がサイクロイド上の任意の点から出発した後、頂点の最低点に到達する降下時間は互いに等しい... ^[1]

サイクロイドは、円が軸に沿って回転するときに、半径の円上の点が曲線を描くことで表されます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta -\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta ),\end{aligned}}}$$

ホイヘンスは、下降時間は、物体がサイクロイドを生成する円の直径と同じ距離を垂直に落下するのにかかる時間に を掛けたものに等しいことも証明しました。現代の言葉で言えば、これは、下降時間が、 はサイクロイドを生成する円の半径、 は地球の重力、より正確には地球の重力加速度 であることを意味します。${\displaystyle \pi /2}$${\textstyle \pi {\sqrt {r/g}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g}$

この解法は後に最速降下曲線の問題を解くために使われました。 ヨハン・ベルヌーイは論文 ( Acta Eruditorum、1697) でこの問題を解きました。

トートクロン問題は、円形の軌道をたどる振り子は等時性がなく、そのため振り子時計は振り子の振れ方によって異なる時間を記録することに気付いたホイヘンスによってさらに詳しく研究されました。正しい軌道を決定した後、クリスティアーン ホイヘンスは、振り子を吊るす紐と、紐の上部近くの縁を曲げてトートクロン曲線への軌道を変更する振り子時計を作ろうとしました。これらの試みは、いくつかの理由で役に立ちませんでした。まず、紐が曲がると摩擦が生じ、タイミングが変わります。次に、タイミング エラーのはるかに重大な原因があり、トートクロン曲線上を移動することで得られる理論的な改善を圧倒しました。最後に、振り子の「円形誤差」は振りの長さが短くなるにつれて減少するため、時計の脱進機を改良すれば、この不正確さの原因を大幅に削減できます。

その後、数学者のジョゼフ・ルイ・ラグランジュとレオンハルト・オイラーがこの問題の解析的解を提示しました。

静止状態から解放された単純な調和振動子の場合、初期変位に関係なく、最低の位置エネルギー点に到達するのにかかる時間は常に周期の 4 分の 1 であり、振幅とは無関係です。したがって、単純な調和振動子のラグランジアンは等時性です。

トートクローン問題では、粒子の位置が最低点からの弧長 s ( t )によってパラメータ化される場合、運動エネルギーは に比例し、位置エネルギーは高さh ( s )に比例します。トートクローン問題の曲線が等時線になる 1 つの方法は、ラグランジアンが単純な調和振動子と数学的に同等である場合です。つまり、曲線の高さは弧長の 2 乗に比例する必要があります。 ${\displaystyle {\dot {s}}^{2}}$

${\displaystyle h(s)=s^{2}/(8r),}$

ここで比例定数は です。単純な調和振動子のラグランジアンと比較すると、等価バネ定数は、下降時間は です。ただし、曲線の正確な解析方程式を決定するまで、定数の物理的な意味は明らかではありません。 ${\displaystyle 1/(8r)}$${\displaystyle k=mg/(4r)}$${\displaystyle T/4={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {m}{k}}}=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$${\displaystyle r}$

曲線の解析方程式を解くには、上記の関係の微分形が次のようになることに注意する。

${\displaystyle {\begin{aligned}dh&=s\,ds/(4r),\\dh^{2}&=s^{2}\,ds^{2}/(16r^{2})=h\left(dx^{2}+dh^{2}\right)/(2r),\\\left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}&={\frac {2r}{h}}-1\end{aligned}}}$

これによりs が消去され、dxとdhの微分方程式が残ります。これは、垂直座標h が尖点ではなく頂点 (水平接線を持つ点) から数えられた場合のサイクロイドの微分方程式です。

解を求めるには、x をhについて積分します。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dh}}&=-{\frac {\sqrt {2r-h}}{\sqrt {h}}},\\x&=-4r\int {\sqrt {1-u^{2}}}\,du,\end{aligned}}}$

ここで、高さは粒子が前方に移動するにつれて減少します。この積分は円の下の面積であり、別の代入を行うと次の式が得られます。 ${\displaystyle u={\sqrt {h/(2r)}}}$${\displaystyle dx/dh<0}$${\displaystyle u=\cos(t/2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t),\\h&=r(1+\cos t).\end{aligned}}}$

これは、のサイクロイドの標準的なパラメータ化です。弧の長さの二乗は、高さの差に弧の全長を掛けたものに等しいことに注目してください。 ${\displaystyle h=2r-y}$${\displaystyle 8r}$

トートクローン問題の最も簡単な解決法は、傾斜角と傾斜上の粒子が感じる重力との間の直接的な関係に注目することです。90° の垂直傾斜上の粒子は完全な重力加速度 を受けますが、水平面上の粒子はゼロの重力加速度 を受けます。中間の角度では、粒子による「仮想重力」による加速度は です。 は曲線の接線と水平の間で測定され、水平より上の角度は正の角度として扱われることに注意してください。したがって、は からまで変化します。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g\sin \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle -\pi /2}$${\displaystyle \pi /2}$

トートクローン曲線に沿って測定された質量の位置は、次の微分方程式に従わなければなりません。 ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}=-\omega ^{2}s}$

これは、初期条件およびとともに、解を持ちます。 ${\displaystyle s(0)=s_{0}}$${\displaystyle s'(0)=0}$

${\displaystyle s(t)=s_{0}\cos \omega t}$

この解が微分方程式を解くことと、粒子が任意の開始位置から時間 に到達することは簡単に検証できます。問題は、質量が上記の動きに従う曲線を作成することです。ニュートンの第 2 法則は、重力と質量の加速度が次のように関係していることを示しています。 ${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \pi /2\omega }$${\displaystyle s_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-g\sin \theta &={\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}\\&=-\omega ^{2}s\,\end{aligned}}}$

距離 を明示的に示すのは面倒ですが、微分することでより扱いやすい形を得ることができます。 ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g\cos \theta \,d\theta &=\omega ^{2}\,ds\\\Longrightarrow ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \end{aligned}}}$

この式は、曲線の角度の変化と曲線に沿った距離の変化を関連付けます。ここで、三角法を使用して、角度と微分長さ、およびを関連付けます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle ds}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds={\frac {dx}{\cos \theta }}\\ds={\frac {dy}{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

上記の式でを に置き換えると、 についてを解くことができます。 ${\displaystyle ds}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dx}{\cos \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dx&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\left(\cos 2\theta +1\right)d\theta \\x&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\left(\sin 2\theta +2\theta \right)+C_{x}\end{aligned}}}$

同様に、を で表し、を で解くこともできます。 ${\displaystyle ds}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dy}{\sin \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dy&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\sin \theta \cos \theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\sin 2\theta \,d\theta \\y&=-{\frac {g}{4\omega ^{2}}}\cos 2\theta +C_{y}\end{aligned}}}$

および を代入すると、 およびに関するこれらのパラメトリック方程式は、水平線に沿って転がる半径 の円（サイクロイド）上の点の方程式であり、円の中心は座標 にあることがわかります。 ${\displaystyle \phi =2\theta }$${\textstyle r={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (C_{x}+r\phi ,C_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\sin \phi +\phi \right)+C_{x}\\y&=-r\cos \phi +C_{y}\end{aligned}}}$

の範囲は であることに注意してください。通常は、曲線の最低点が原点と一致するように とを設定します。したがって、${\displaystyle \phi }$${\displaystyle -\pi \leq \phi \leq \pi }$${\displaystyle C_{x}=0}$${\displaystyle C_{y}=r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\phi +\sin \phi \right)\\y&=r\left(1-\cos \phi \right)\\\end{aligned}}}$

を解いて、が降下に必要な時間であり、全周期の 4 分の 1 であることを覚えておくと、半径 に関して降下時間を求めることができます。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle T={\frac {\pi }{2\omega }}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\\\omega &={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{r}}}\\T&=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}\\\end{aligned}}}$

（Proctor、135～139ページを基に作成）

ニールス・ヘンリク・アーベルは、トートクローン問題 (アーベルの力学的問題)の一般化されたバージョンに取り組みました。つまり、与えられた開始高度での下降の合計時間を指定する関数が与えられた場合、この結果をもたらす曲線の方程式を見つけるというものです。トートクローン問題は、が定数である 場合のアーベルの力学的問題の特殊なケースです。${\displaystyle T(y)}$${\displaystyle T(y)}$

アベルの解法はエネルギー保存則から始まります。粒子は摩擦がなく、熱によるエネルギー損失がないため、どの点でもその運動エネルギーは開始点からの重力による位置エネルギーの差と正確に等しくなります。運動エネルギーは で、粒子は曲線に沿って動くように制約されているため、その速度は単に で、 は曲線に沿って測定された距離です。同様に、最初の高さからある高さまで落下するときに得られる重力による位置エネルギーはです。したがって、 ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$${\displaystyle {d\ell }/{dt}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle mg(y_{0}-y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}m\left({\frac {d\ell }{dt}}\right)^{2}&=mg(y_{0}-y)\\{\frac {d\ell }{dt}}&=\pm {\sqrt {2g(y_{0}-y)}}\\dt&=\pm {\frac {d\ell }{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\\dt&=-{\frac {1}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy\end{aligned}}}$

最後の方程式では、曲線に沿った残りの距離を高さの関数 ( ) として表すことを予想し、残りの距離は時間が増加するにつれて減少する必要があることを認識し (したがってマイナス記号)、連鎖律を の形式で使用しました。 ${\displaystyle \ell (y))}$${\textstyle d\ell ={\frac {d\ell }{dy}}dy}$

ここで、からまでを積分して、粒子が落下するのに必要な合計時間を取得します。 ${\displaystyle y=y_{0}}$${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle T(y_{0})=\int _{y=y_{0}}^{y=0}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {y_{0}-y}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy}$

これはアーベルの積分方程式と呼ばれ、与えられた曲線に沿って粒子が落下するのに必要な合計時間を計算できます（曲線の計算は簡単です）。しかし、アーベルの力学問題では逆が必要です。 が与えられている場合、 を見つけたいのですが、そこから曲線の方程式が簡単に得られます。先に進むには、右側の積分はとの畳み込みであることに注意し、したがって両辺を変数 に関してラプラス変換します。 ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$${\displaystyle T(y_{0})\,}$${\displaystyle f(y)={d\ell }/{dy}}$${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$${\displaystyle {1}/{\sqrt {y}}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={\frac {1}{\sqrt {2g}}}{\mathcal {L}}\left[{\frac {1}{\sqrt {y}}}\right]F(s)}$

ここで である。 なので、のラプラス変換を のラプラス変換で表す式が得られる。 ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}{\left[{d\ell }/{dy}\right]}}$${\textstyle {\mathcal {L}}{\left[{1}/{\sqrt {y}}\right]}={\sqrt {{\pi }/{s}}}}$${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$${\displaystyle T(y_{0})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T(y_{0})]}$

を指定せずにできることはここまでです。 がわかれば、そのラプラス変換を計算し、 のラプラス変換を計算し、逆変換を行って（または試して） を見つけます。 ${\displaystyle T(y_{0})}$${\displaystyle T(y_{0})}$${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$

トートクローン問題では、は定数です。 1 のラプラス変換は、つまり なので、形状関数は次のようになります。 ${\displaystyle T(y_{0})=T_{0}\,}$${\displaystyle {1}/{s}}$${\textstyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={T_{0}}/{s}}$${\textstyle f(y)={d\ell }/{dy}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)={\mathcal {L}}{\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]}&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T_{0}]\\&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}T_{0}s^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

上記のラプラス変換を再度利用して、変換を反転すると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\ell }{dy}}=T_{0}{\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {y}}}}$

サイクロイドはこの方程式に従うことが示せます。経路形状の表現を得るには、 について積分するというもう 1 つのステップが必要です。 ${\displaystyle y}$

（シモンズ、第54節）。

• ベルトラミのアイデンティティ
• 最速降下曲線
• 変分法
• カテナリー
• サイクロイド
• 等加速度運動

• シモンズ、ジョージ（1972）。微分方程式とその応用および歴史的注釈。マグロウヒル。ISBN 0-07-057540-1。
• プロクター、リチャード アンソニー (1878)。サイクロイドとあらゆる形のサイクロイド曲線、および惑星、彗星などの運動や太陽から放射される物質の運動を扱う際のそのような曲線の使用に関する論文。

• 数学の世界