メトリック微分

数学において、計量微分は、計量空間内のパラメータ化された経路に適した微分の概念です。これは、「速度」または「絶対速度」の概念を、距離の概念を持つ空間 (つまり計量空間) に一般化しますが、方向の概念は持たない空間 (ベクトル空間など) にも一般化します。

を計量空間とする。に極限点を持つとする。を経路とする。 におけるの計量微分は と表され、次のように定義される。 ${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \gamma :E\to M}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t}$${\displaystyle |\gamma '|(t)}$

${\displaystyle |\gamma '|(t):=\lim _{s\to 0}{\frac {d(\gamma (t+s),\gamma (t))}{|s|}},}$

この制限が存在する場合。

AC ^p ( I ; X )は曲線γ  : I → Xの空間であり、

${\displaystyle d\left(\gamma (s),\gamma (t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau {\mbox{ すべての }}[s,t]\subseteq I に対して}$

L ^p空間L ^p ( I ; R )内の任意のmに対して。γ ∈ AC ^p ( I ; X ) に対して、 γの計量微分はI内のほぼすべての場合においてルベーグに対して存在し、計量微分は上記の不等式が成り立つ 最小のm ∈ L ^p ( I ; R ) です。

ユークリッド空間 が通常のユークリッドノルムを備え、通常のフレシェ微分が時間に関して 備わっている場合、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \|-\|}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}:E\to V^{*}}$

${\displaystyle |\gamma '|(t)=\|{\dot {\gamma }}(t)\|,}$

ここでユークリッド距離です。 ${\displaystyle d(x,y):=\|xy\|}$

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005).計量空間と確率測度の空間における勾配フロー. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. p. 24. ISBN 3-7643-2428-7。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)