三角形

三角形
エッジと頂点	3
シュレーフリ記号	{3} (正三角形)
エリア	さまざまな方法（ 下記参照）

三角形は、3 つの角と 3 つの辺を持つ多角形で、幾何学の基本的な図形の 1 つです。角は頂点とも呼ばれ、0次元の点です。一方、角を結ぶ辺は辺とも呼ばれ、 1 次元の線分です。三角形には 3 つの内角があり、各内角は 1 組の隣接する辺で囲まれています。三角形の角度の合計は常に直角(180 度または π ラジアン) に等しくなります。三角形は平面図形であり、その内部は平面領域です。任意の辺が底辺として選択される場合があり、その場合、反対側の頂点は頂点と呼ばれます。底辺と頂点の間の最短の線分が高さです。三角形の面積は、高さと底辺の長さの積の半分に等しくなります。

ユークリッド幾何学では、任意の 2 点は、一意の直線内に位置する一意の線分を決定し、すべてが同じ直線上にない任意の 3 点は、一意の平面内に位置する一意の三角形を決定します。より一般的には、 3 次元ユークリッド空間内の 4 つの点は、四面体を決定します。

非ユークリッド幾何学では、3 つの「直線」線分 (曲率がゼロ) によって三角形も決まります。たとえば、球面三角形や双曲三角形などです。測地線三角形は、一般的な 2 次元表面の、表面に対して直線である 3 つの辺 (測地線) で囲まれた領域です。曲線三角形は、3 つの曲線の辺を持つ図形ですたとえば、円弧の辺を持つ円三角形などです。特に断りのない限り、この記事ではユークリッド幾何学における直線の辺を持つ三角形について説明します。

三角形は、角度と辺の長さに基づいてさまざまなタイプに分類されます。角度と辺の長さの関係は、三角法の主要な焦点です。特に、正弦関数、余弦関数、正接関数は、直角三角形の辺の長さと角度を関連付けます。

三角形は、3つの線分から成り、それぞれの端点が結ばれた図形です。^[1]これは、3つの辺と3つの角を持つ多角形を形成します。三角形を分類するための用語は2000年以上前にさかのぼり、ユークリッドの『原論』第1巻で定義されました。^[2]現代の分類に使用されている名前は、ユークリッドのギリシャ語の直接の音訳か、ラテン語への翻訳です。

三角形には、辺の長さと角度によって多くの種類があります。すべての辺の長さが同じ三角形は正三角形^[3]、2辺の長さが同じ三角形は二等辺三角形^[4]、^[a]、3辺の長さが異なる三角形は不等辺三角形^[7]です。角度の1つが直角である三角形は直角三角形、すべての角度がその角度より小さい三角形は鋭角三角形、角度の1つがその角度より大きい三角形は鈍角三角形です。^[8]これらの定義は少なくともユークリッドにまで遡ります。^[9]

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  正三角形
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  二等辺三角形
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  不等辺三角形

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  直角三角形
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  鋭角三角形
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  鈍角三角形

あらゆる種類の三角形は、実生活でよく見られます。人工の建造物では、二等辺三角形は切妻屋根やペディメントの形で見られ、正三角形は降伏標識に見られます。^[10]ギザの大ピラミッドの面は正三角形であると考えられることもありますが、より正確な測定では二等辺三角形であることが示されています。^{[11]他には、}セントルシアの国旗やフィリピンの国旗などの紋章にも見られます。^[12]

三角形は三次元の物体にも現れる。多面体は、その境界が面と呼ばれる平らな多角形、頂点と呼ばれる鋭い角、および辺と呼ばれる線分で覆われた立体である。多面体は、面の形状から判断して分類できる場合がある。たとえば、多面体の面がすべて正三角形である場合、それらはデルタ面体として知られている。^[13] 反角錐は、側面に三角形が交互に並んでいる。^[14] 角錐と両角錐は、多角形の底辺と三角形の側面を持つ多面体である。直角錐と両角錐の場合、三角形は二等辺三角形である。多面体のクリートープは、元の多面体の各面を角錐に置き換えることによって作成された新しい多面体であり、クリートープの面は三角形になる。^[15]より一般的には、三角形は高次元でも存在し、一般化された三角形の概念は単体として知られ、三角形の面を持つ多面体は単体多面体として知られています。^[16]

各三角形には、その内部、辺、またはその他の関連する特別な点が多数あります。これらの点を構成するには、3 つの辺 (または頂点) に対称的に関連する 3 本の線を見つけ、その 3 本の線が 1 点で交わることを証明します。これらの点の存在を証明するための重要なツールは、チェバの定理です。これは、3 本の線がいつ平行であるかを判断する基準を提供します。 ^{[17]同様に、三角形に関連する線は、対称的に構築された 3 つの点が}同一線上にあることを証明することによって構成されることがよくあります。ここでは、メネラウスの定理が便利な一般的な基準を提供します。^[18]このセクションでは、最も一般的に遭遇する構成のいくつかについて説明します。

三角形の一辺の垂直二等分線は、その辺の中点を通り、その辺に垂直で、その辺と直角を形成する直線である。^{[19] 3本の垂直二等分線は、三角形の}外心という一点で交わる。この点は、3つの頂点すべてを通る円である外接円の中心である。 ^[20] タレスの定理によれば、外心が三角形の辺に位置している場合、その辺と反対側の角度は直角である。^[21]外心が三角形の内側に位置している場合、三角形は鋭角であり、外心が三角形の外側に位置している場合、三角形は鈍角である。^[22]

三角形の頂点は、頂点を通り、反対側の辺に垂直な直線です。この反対側の辺は頂点の底辺と呼ばれ、頂点が底辺（またはその延長線）と交差する点は頂点の足と呼ばれます。^[23]頂点の長さは、底辺と頂点の間の距離です。3つの頂点は、三角形の垂心と呼ばれる1つの点で交差します。 ^[24]垂心は、三角形が鋭角である場合にのみ、三角形の内側にあります。^[25]

三角形の角の二等分線は、頂点を通り、対応する角を半分に切る直線です。3つの角の二等分線は1点、つまり内心で交差します。内心は三角形の内接円の中心です。内接円は三角形の内側にあり、3辺すべてに接する円です。その半径は内接半径と呼ばれます。他に3つの重要な円、外接円があります。外接円は三角形の外側にあり、1つの辺と他の2辺の延長線に接しています。内接円と外接円の中心は、垂心系を形成します。^[26] 3辺の中点と3つの高さの足はすべて、三角形の9点円である1つの円上にあります。^{[27]残りの3点は、頂点と}垂心の間の高さ部分の中点であるため、9点円と呼ばれています。9点円の半径は外接円の半径の半分です。内接円（フォイエルバッハ点）と3つの外接円に接しています。垂心（青点）、9点円の中心（赤）、重心（オレンジ）、外心（緑）はすべて、オイラー線（赤線）と呼ばれる1本の線上にあります。9点円の中心は垂心と外心の中間点にあり、重心と外心の間の距離は重心と垂心の間の距離の半分です。^[27]一般に、内接円の中心はオイラー線上にありません。^{[28] [29]}

三角形の中線は、頂点と対辺の中点を通る直線で、三角形を 2 つの等しい面積に分割します。3 つの中線は 1 点で交差し、その点が三角形の重心または幾何学的重心となります。均一な密度の薄いシートから切り出された剛体三角形の重心は、その質量の中心でもあります。つまり、物体は均一な重力場において重心でバランスをとることができます。^[30]重心は、すべての中線を 2:1 の比率で切断します。つまり、頂点と重心の間の距離は、重心と対辺の中点の間の距離の 2 倍です。同じ頂点を通る角の二等分線で中線を反射すると、対称中線が得られます。3 つの対称中線は 1 点で交差し、その点が三角形の対称中線点となります。 ^[31]

ユークリッド空間における三角形の内角の度数の合計は常に180 度です。^[32]この事実はユークリッドの平行線公理に相当します。これにより、2 つの角の度数がわかれば、任意の三角形の 3 番目の角の度数を決定することができます。^[33]三角形の外角は、内角の直線対角 (したがって補角) です。三角形の外角の度数は、それに隣接していない 2 つの内角の度数の合計に等しくなります。これが外角定理です。^[34]任意の三角形の 3 つの外角 (各頂点に 1 つ) の度数の合計は 360 度であり、実際、これは任意の凸多角形に当てはまり、その辺の数に関係なく当てはまります。^[35]

内角と三角形の間の別の関係は、三角関数の新しい概念を生み出します。主要な三角関数は、他の関数と同様に正弦と余弦です。これらは、直角三角形の任意の2辺の比として定義できます。^[36]不等辺三角形では、三角関数を使用して、辺または内角の未知の値を求めることができます。これを行うには、正弦定理と余弦定理を使用します。^[37]

3 つの角度を足すと 180° になるものは、三角形の内角になることができます。三角形の角度を指定しても大きさは決まらないため、同じ角度を持つ三角形は無数にあります。(頂点が一直線上にある退化した三角形の内角は 0° と 180° です。このような形状を三角形と見なすかどうかは慣例の問題です。^[要出典] ) 0° から 180° までの間の 3 つの角度 、 、 が三角形の角度となる条件は、三角関数を使用して記述することもできます。たとえば、角度、、 を持つ三角形が存在するのは、^[38]${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \gamma}$ $${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )= 1.}$$

2つの三角形は、一方の三角形のすべての角度がもう一方の三角形の対応する角度と同じ大きさである場合に相似であると言われます。相似三角形の対応する辺の長さは同じ比率であり、この性質も相似性を証明するのに十分です。^[39]

相似三角形に関する いくつかの基本的な定理は次のとおりです。

• 2つの三角形の内角の1組が互いに同じ大きさを持ち、もう1組も互いに同じ大きさを持つ場合にのみ、それらの三角形は相似である。 ^[40]
• 2つの三角形の対応する辺の1組が、対応するもう1組の辺と同じ比率であり、それらの内角が同じ大きさである場合に限り、それらの三角形は相似です。^[41]（多角形の任意の2辺の内角は、その2辺間の内角です。）
• 2つの三角形の対応する3組の辺がすべて同じ比率である場合に限り、それらの三角形は相似です。^[b]

合同な2つの三角形は、大きさと形がまったく同じです。合同な三角形のペアはすべて相似ですが、相似な三角形のペアがすべて合同であるわけではありません。合同な2つの三角形がある場合、対応する内角のペアはすべて大きさが等しく、対応する辺のペアはすべて長さが同じです。これは合計6つの等式ですが、合同を証明するには3つで十分な場合がよくあります。^[42]

三角形のペアが合同となるための必要十分条件は以下の通りである。 ^[43]

• SAS 公理: 三角形の 2 辺の長さは他の三角形の 2 辺の長さと同じで、内角の大きさも同じです。
• ASA: 三角形の 2 つの内角とそれらの間の辺は、それぞれ他の三角形のそれらと同じ大きさと長さを持ちます。(これが三角測量の基礎です。)
• SSS: 三角形の各辺の長さは、他の三角形の対応する辺の長さと同じです。
• AAS: 三角形の 2 つの角度と対応する (内接しない) 辺は、それぞれ他の三角形のそれらと同じ大きさと長さを持ちます。 (これはAAcorrSと呼ばれることもあり、その場合は上記の ASA が含まれます。)

ユークリッド平面では、面積は、面積が 1 である辺の長さ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$の正方形との比較によって定義されます。任意の三角形の面積を計算する方法はいくつかあります。最も古くて単純な方法の 1 つは、1 つの辺⁠ ⁠${\displaystyle b}$ (底辺)の長さと対応する高さ⁠ ⁠${\displaystyle h}$の積の半分を取ることです。^[44] $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh.}$$

この公式は、三角形とそのコピーを切り分け、底辺⁠ ⁠${\displaystyle b}$と高さ⁠ ⁠${\displaystyle h}$の長方形の形に再配置することで証明できます。

2 辺⁠ ⁠${\displaystyle a}$と⁠ ⁠${\displaystyle b}$およびその夾角がわかっている場合、三角法を使用して高さを計算できます。したがって、三角形の面積は次のようになります 。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle h=a\sin(\gamma )}$$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$$

ヘロンの公式は、アレクサンドリアのヘロンにちなんで名付けられ、三角形の面積を辺の長さ、、から求める公式である。半周をと すれば、^[45]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ $${\displaystyle T={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.}$$

同一平面上の図形の面積比はアフィン変換によって保存されるため、任意のアフィン平面上の三角形の相対面積は、距離や平方の概念を参照せずに定義できます。任意のアフィン空間（ユークリッド平面を含む）では、同じ底辺と向き付けられた面積を持つすべての三角形の頂点（3番目の頂点）は底辺に平行な線上にあり、それらの共通面積は、反対側が平行線上にある同じ底辺を持つ平行四辺形の面積の半分です。このアフィンアプローチは、ユークリッドの原論の第1巻で開発されました。^[46]

三角形の頂点にアフィン座標（直交座標など）⁠ ⁠${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$、⁠ ⁠${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$、⁠ ⁠${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$が与えられている場合、その相対的な面積は靴ひもの公式を使用して計算できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_ {C}\\1&1&1\end{vmatrix}}={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}\\y_{A}&y_{B}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\ begin{vmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{C}&x_{A}\\y_{C}&y_{A}\end{vmatrix}}\\&={\tfrac {1}{2} }(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}+x_{C}y_{A}-x_{A }y_{C})、\end{aligned}}}$$

ここで は行列式である。^[47]${\displaystyle |\cdot |}$

三角不等式は、三角形の任意の2辺の長さの合計は、3番目の辺の長さ以上でなければならないことを述べています。^[48]逆に、3つの正の辺の長さが与えられた三角形が存在するのは、それらの辺の長さが三角不等式を満たす場合のみです。^[49] 2辺の長さの合計が3番目の辺の長さに等しくなるのは、頂点が同一線上にある 退化した三角形の場合のみです。

長方形は、頂点の1つに圧力がかかると平行四辺形に崩れることがあります。 ^[50]三角形は、3辺の長さを指定することで角度が決まることから頑丈です。^[51]したがって、三角形は、辺が曲げられたり、伸びたり、折れたり、接合部が壊れたりしない限り、形が変わることはありません。つまり、3辺のそれぞれが他の2辺を支えているのです。対照的に、長方形は構造上、接合部の強度に大きく依存しています。

三角形は剛性の点では強いが、モザイク状に詰め込まれた三角形は圧縮に対して六角形ほど強くない（そのため、自然界では六角形が一般的である）。しかし、モザイク状に詰め込まれた三角形は片持ち梁に対して優れた強度を維持するため、工学では四面体トラスが使用される。^[要出典]

三角分割とは、平面オブジェクトを三角形の集合に分割することを意味します。たとえば、多角形の三角分割では、多角形は複数の三角形に分割され、それらの三角形は辺と辺が接し、その頂点は多角形の頂点の集合と一致するという性質を持ちます。^[52]辺を持つ単純な多角形の場合、対角線で区切られた三角形があります。単純な多角形の三角分割は、耳、つまり 2 つの頂点によって接続され、その間の対角線が完全に多角形内に存在する頂点と関係があります。2つの耳の定理は、それ自体が三角形ではないすべての単純な多角形には、少なくとも 2 つの耳があると述べています。^[53]${\displaystyle n}$${\displaystyle n-2}$${\displaystyle n-3}$

三角形内（または三角形外）の点の位置を特定する一つの方法は、三角形をデカルト平面上の任意の位置と方向に置き、デカルト座標を使用することである。この方法は多くの目的に便利であるが、すべての点の座標値が平面上の任意の配置に依存するという欠点がある。^[54]

2つのシステムではその特徴を回避しており、三角形を移動したり、回転させたり、鏡のように反射させたりしても点の座標は影響を受けません。いずれの場合も合同な三角形になり、相似三角形に再スケーリングしても点の座標は影響を受けません。^[55]

• 三線座標は、点から辺までの相対距離を指定します。つまり、座標は、点から最初の辺までの距離と、点から 2 番目の辺までの距離の比率が であることを示します。${\displaystyle x:y:z}$${\displaystyle x:y}$
• 形式の重心座標は、指定された点上の無重力三角形のバランスをとるために 3 つの頂点にかける必要がある相対的な重みによって点の位置を指定します。${\displaystyle \alpha:\beta:\gamma}$

上で述べたように、すべての三角形には、三角形の内側にあり、3 辺すべてに接する一意の内接円 (内接円) があります。すべての三角形には、三角形の内側にあり、辺の中点で接する一意のシュタイナー内楕円があります。マーデンの定理は、この楕円 の焦点を見つける方法を示しています。^[56]この楕円は、三角形の 3 辺すべてに接する楕円の中で最大の面積を持ちます。三角形のマンダート内楕円は、三角形に内接し、外円の接点で辺に接する楕円です。三角形 に内接する任意の楕円について、焦点を と とすると、次のようになります。^[57]${\displaystyle ABC}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\ overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}=1.}$$

基準三角形の内点から、3辺上の最も近い点は、その点のペダル三角形の頂点として機能します。内点が基準三角形の外心である場合、ペダル三角形の頂点は基準三角形の辺の中点であるため、ペダル三角形は中点三角形または中点三角形と呼ばれます。中点三角形は、基準三角形を、基準三角形に相似な4つの合同な三角形に分割します。^[58]

基準三角形の内接三角形の頂点は、基準三角形の辺とその内接円の3つの接点にあります。^{[59]基準三角形の}外接三角形の頂点は、基準三角形の外接円とその辺（延長されていない）の接点にあります。^[60]

すべての鋭角三角形には、3 つの内接正方形 (その内部にある正方形で、正方形の 4 つの頂点すべてが三角形の 1 つの辺に位置し、そのうち 2 つが同じ辺に位置し、したがって正方形の 1 つの辺が三角形の 1 つの辺の一部と一致する正方形) があります。直角三角形では、2 つの正方形が一致し、三角形の直角に頂点があるため、直角三角形には 2 つの異なる内接正方形しかありません。鈍角三角形には、1 つの内接正方形のみがあり、その 1 つの辺は三角形の最長辺の一部と一致します。特定の三角形内では、より長い共通辺は、より小さい内接正方形に関連付けられます。内接正方形の一辺が長さ で、三角形の一辺が長さ で、その一辺の一部が正方形の一辺と一致する場合、 、、辺、三角形の面積は、 ^[61]に従って関係付けられます。内接正方形の面積と三角形の面積の比が最大となるのは 1/2 で、これは、、および三角形の底辺の長さが に等しいときに生じます。同じ鈍角でない三角形において、ある内接正方形の一辺と別の内接正方形の一辺の比が最小となるのは です。^[62]これらの極端なケースは両方とも直角二等辺三角形で発生します。^[要出典]${\displaystyle q_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle h_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$$${\displaystyle a^{2}=2T}$${\displaystyle q=a/2}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3}$

ルモワーヌ六角形は、三角形の辺と、その辺に平行で対称点を通る 3 本の線との 6 つの交点によって頂点が決まる環状六角形です。単純形式または自己交差形式のいずれの場合も、ルモワーヌ六角形は三角形の内部にあり、三角形の各辺に 2 つの頂点があります。^{[引用が必要]}

面積を持つすべての凸多角形は、面積が最大で に等しい三角形に内接することができます。等式は多角形が平行四辺形である場合にのみ成立します。^[63]${\displaystyle T}$${\displaystyle 2T}$

基準三角形（直角三角形以外）の接線三角形とは、その頂点における基準三角形の外接円の接線上に辺がある三角形のことである。 ^[64]

前述のように、すべての三角形には、3つの頂点をすべて通り、三角形の辺の垂直二等分線の交点を中心とする円である一意の外接円があります。さらに、すべての三角形には、三角形の頂点を通り、三角形の重心を中心とする一意のシュタイナー外接楕円があります。三角形の頂点を通るすべての楕円の中で、面積が最小です。^[65]

キーパート双曲線は三角形の3つの頂点、重心、外心を通る唯一の円錐曲線である。 ^[66]

与えられた凸多角形に含まれるすべての三角形のうち、面積が最大となる三角形を線形時間で見つけることができる。その頂点は、与えられた多角形の頂点のうちの3つとして選択することができる。^[67]

円三角形は、円弧状の辺を持つ三角形である。円三角形の辺は凸状（外側に曲がっている）または凹状（内側に曲がっている）のいずれかである。^[c] 3つの円板の交差により、すべての辺が凸状の円三角形が形成される。3つの凸状の辺を持つ円三角形の例としては、ルーローの三角形があり、これは同じ大きさの3つの円を交差させることで作図できる。モール・マスケローニの定理により、定規を必要とせずコンパスだけで作図できる。あるいは、正三角形の辺を丸めて作図することもできる。^[68]

凹円三角形の特殊なケースは、擬似三角形に見られます。^[69]擬似三角形は、互いに接する 3 つの凸領域の間にある平面の単連結部分集合です。これらの辺は、尖点と呼ばれる端点を結ぶ 3 つの滑らかな曲線です。任意の擬似三角形は、凸円板と二重接線を境界とする多数の擬似三角形に分割することができ、この処理は擬似三角形分割として知られています。擬似三角形内の円板の場合、分割によって擬似三角形と二重接線が得られます。^{[70]任意の擬似}三角形の凸包は三角形です。^[71]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n-2}$${\displaystyle 3n-3}$

非平面三角形はユークリッド空間、つまり大まかに言えば平面空間に含まれない三角形である。これは、三角形が双曲空間や球面幾何学のように、いくつかの空間でも発見される可能性があることを意味する。双曲空間の三角形は双曲三角形と呼ばれ、鞍面などの負の曲面上に描くことで得られる。同様に、球面幾何学の三角形は球面三角形と呼ばれ、球などの正の曲面上に描くことで得られる。^[72]

両空間の三角形は、ユークリッド空間の三角形とは異なる特性を持っています。例えば、前述のように、ユークリッド空間の三角形の内角の合計は常に 180° になります。しかし、双曲三角形の内角の合計は 180° 未満であり、球面三角形の場合、合計は 180° を超えます。^[72]特に、球面上に三角形を描き、その各内角の度合いが 90° に等しくなるようにして、合計を 270° にすることができます。ジラールの定理により、球面上の三角形の角度の合計は で、 は三角形で囲まれた球面の面積の割合です。^{[73] [74]}${\displaystyle 180^{\circ }\times (1+4f)}$${\displaystyle f}$

より一般的な空間では、空間内の三角形の性質を、双曲空間や楕円空間などのモデル空間内の対応する三角形の性質に関連付ける比較定理が存在します。 ^[75]たとえば、CAT(k)空間はそのような比較によって特徴付けられます。^[76]

三角形をベースにしたフラクタル形状には、シェルピンスキーのガスケットやコッホのスノーフレークなどがある。^[77]

ウィキメディア・コモンズには、三角形に関連するメディアがあります。

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• Ivanov, AB (2001) [1994]. 「三角形」.数学百科事典. EMS Press .
• Clark Kimberling: 三角形の中心の百科事典。あらゆる三角形に関連する約 5200 個の興味深い点をリストします。