表面のコンピュータ表現

コンピュータ支援設計やコンピュータ支援製造などの3D コンピュータ グラフィックス( CAx )の技術アプリケーションでは、サーフェスはオブジェクトを表現する 1 つの方法です。他の方法は、ワイヤフレーム(直線と曲線) とソリッドです。 ポイント クラウドは、ポイントを使用して 3 つの永続的な表現の 1 つ以上を作成することを目的として、オブジェクトを表現する一時的な方法として使用されることも時々あります。

表面の ローカルパラメータ化を考えると、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (u,v),}$

この場合、v を固定したままu を変化させることで得られる曲線は座標線であり、u フロー ラインと呼ばれることもあります。uを固定したままv を変化させることで得られる曲線はvフロー ラインと呼ばれます。これらは、平面座標系のxおよびyデカルト座標線、および球面座標系の子午線と緯度円を一般化したものです。

開いた表面はどちらの方向にも閉じていません。つまり、表面に沿ってどの方向に移動しても、観察者は表面の端にぶつかることになります。車のボンネットの上部は、両方向に開いた表面の例です。

一方向に閉じた面には、円柱、円錐、半球などがあります。移動方向に応じて、面上の観測者は、そのような面の境界にぶつかったり、永遠に移動したりすることがあります。

両方向に閉じた面には、球とトーラスが含まれます。このような面上で任意の方向に移動すると、観察者はエッジにぶつかることなく永遠に移動します。

2 つの境界が重なる場所 (1 点を除く) を継ぎ目と呼びます。たとえば、1 枚の紙を丸めて端をテープで留めた円筒を想像すると、テープで留められた境界が継ぎ目と呼ばれます。

開いた表面や一方向に閉じた表面は、表面を変形させることなく平面に平らにすることができます。たとえば、円筒は、表面フィーチャ間の表面距離を歪ませることなく長方形の領域に平らにすることができます (円筒を開くことによってできる分割間の距離を除く)。円錐も同様に平らにすることができます。このような表面は、一方向には直線で、他の方向には曲がっています (両方向に直線の表面は、もともと平らでした)。平らなパターンを持つ板金表面は、平らなバージョンを打ち抜いてから、ローラーなどを使用して適切な形状に曲げることで製造できます。これは比較的安価なプロセスです。

その他の開いた表面、一方向に閉じた表面、および両方向に閉じたすべての表面は、変形せずに平らにすることはできません。たとえば、半球や球は平らにできません。このような表面は両方向に湾曲しています。地球の地図が歪んでいるのはそのためです。地図が表す領域が大きいほど、歪みが大きくなります。平らなパターンのない板金表面は、3D ダイを使用してスタンピングで製造する必要があります (場合によっては、異なるドロー深度やドロー方向を持つ複数のダイが必要になります)。これは、より高価になる傾向があります。

サーフェスは 1 つ以上のパッチで構成され、各パッチには独自の UV 座標系があります。これらのサーフェス パッチは、スプラインを作成するために使用される複数の多項式アークに似ています。これにより、複雑なサーフェスを、1 つの複雑な方程式セットではなく、比較的単純な方程式セットのシリーズで表現できます。したがって、サーフェスの交差などの操作の複雑さは、一連のパッチ交差にまで軽減されます。

1 方向または 2 方向に閉じたサーフェスは、ソフトウェアによって 2 つ以上のサーフェス パッチに分割される必要が生じることがよくあります。

サーフェスとサーフェス パッチは、U および V フロー ラインでのみトリムできます。この厳しい制限を克服するために、サーフェス面を使用すると、境界が集合的に閉じている限り、任意の方向でサーフェスに投影された一連の境界にサーフェスを制限できます。たとえば、円柱を斜めにトリムするには、このようなサーフェス面が必要です。

単一のサーフェス面は、単一のサーフェス上の複数のサーフェス パッチにまたがることはできますが、複数のサーフェスにまたがることはできません。

平面は表面の面に似ていますが、表面ではなく無限平面に投影された集合的に閉じた一連の境界によって制限されます。

サーフェスと同様に、1 方向または 2 方向に閉じたサーフェス面も、ソフトウェアによって 2 つ以上のサーフェス面に分割されることがよくあります。これらを 1 つのエンティティに再び結合するには、スキンまたはボリュームを作成します。スキンは面の開いた集合であり、ボリュームは閉じた集合です。構成面は、同じサポート サーフェスまたは面を持つことも、異なるサポートを持つこともできます。

ボリュームを埋めてソリッド モデルを構築できます(内部から他のボリュームを減算することもできます)。スキンと面をオフセットして、均一な厚さのソリッドを作成することもできます。

サーフェスのパッチとそのサーフェス上に構築された面は、通常、点の連続性 (ギャップなし) と接線の連続性 (鋭角なし) を備えています。曲率の連続性 (急激な半径の変化なし) は維持される場合と維持されない場合があります。

ただし、スキンとボリュームには通常、ポイントの連続性しかありません。異なるサポート (平面またはサーフェス) 上に構築された面間の鋭角は一般的です。

サーフェスはさまざまな方法で表示できます。

• ワイヤーフレーム モード。 この表現では、サーフェスは、隠線処理なしで、一連の直線と曲線として描画されます。境界とフロー ライン (アイソパラメトリック曲線) は、それぞれ実線または破線で表示できます。この表現の利点は、グラフィックス処理の遅延なしに、大量のジオメトリを画面上に表示および回転できることです。

• 
  ワイヤーフレームの
  隠れたエッジ
• 
  ワイヤーフレーム
  UV 等値線

• ファセット モード。 このモードでは、各サーフェスは一連の平面領域 (通常は長方形) として描画されます。このような表現では、通常、隠線処理が使用されます。静的隠線処理では、回転中にどの線が隠されるかは更新されず、画面が更新されたときにのみ更新されます。動的隠線処理では、回転中にどの曲線が隠されるかが継続的に更新されます。

• 
  ファセットワイヤーフレーム
• 
  ファセットシェーディング

• シェーディング モード。 ファセットにシェーディングを追加し、領域間のブレンドを行ってよりスムーズに表示することができます。シェーディングは静的または動的にすることもできます。通常、動的シェーディングには低品質のシェーディングが使用されますが、複数の光源、テクスチャなどを使用した高品質のシェーディングでは、レンダリングに遅延が必要になります。

• 
  陰影のある
• 
  反射線
• 
  反射像

CAD / CAMシステムでは、主に 2 種類のサーフェスが使用されます。

• 規則的な（または標準的な）面には、円柱、円錐、球、トーラスなどの回転面や、押し出し面などの線織面（一方向に直線）が含まれます。
• 自由曲面（通常はNURBS ）では、より複雑な形状を自由曲面モデリングで表現することができます。^[1]

ファセットやボクセルなどの他の表面形式も、いくつかの特定のアプリケーションで使用されます。

コンピュータ支援エンジニアリングおよび有限要素解析では、オブジェクトは、三角形または四辺形で接続されたノード ポイントのサーフェス メッシュ(ポリゴン メッシュ) で表されます。ソリッド メッシュを使用すると、より正確になりますが、CPU の負荷も大幅に増加します。メッシュを作成するプロセスは、 テッセレーションと呼ばれます。テッセレーションされたメッシュは、シミュレートされた応力、歪み、温度差などにさらされ、それらの変化がメッシュ全体のノード ポイントからノード ポイントにどのように伝わるかを確認できます。

バーチャル リアリティやコンピュータ アニメーションでは、オブジェクトは、三角形または四辺形で接続されたノード ポイントのサーフェス メッシュで表現されることもあります。オブジェクトの可視部分のみを表現すること (オブジェクトの変化を表示しないこと) が目的の場合、このアプリケーションではソリッド メッシュは役に立ちません。三角形または四辺形は、光源やビューアに対する方向に応じて、それぞれ異なるシェーディングを施すことができます。これにより、かなりファセットのある外観になるため、隣接する領域のシェーディングをブレンドして滑らかなシェーディングを実現する追加の手順が頻繁に追加されます。このブレンドを実行するには、いくつかの方法があります。

• アニメーション
• 境界表現
• デジタル表面
• デジタル表面モデル
• メッシュ生成

• 3D-XplorMath: ワイヤーフレーム、パッチ、アナグリフ モードでさまざまな種類のサーフェスを視覚化するプログラム。