微分不変量

数学において、微分不変量とは、空間上の関数のグラフの導関数を含む、リー群の空間への作用に対する不変量である。微分不変量は射影微分幾何学において基本的なものであり、曲率はこの観点から研究されることが多い。^[1]微分不変量は、1880年代初頭にソフス・リーによって特殊なケースで導入され、ジョルジュ・アンリ・ハルフェンによって同時に研究された。リー（1884）は、微分不変量に関する最初の一般的な研究であり、微分不変量、不変微分方程式、および不変微分演算子の関係を確立した。

微分不変量は、幾何学的不変量と対比されます。微分不変量では独立変数 (またはパラメータ化) の明確な選択が伴う場合がありますが、幾何学的不変量ではそうではありません 。エリー・カルタンの移動フレーム法は、リーの微分不変量法ほど汎用性はありませんが、常に幾何学的な種類の不変量を生み出す改良法です。

最も単純なケースは、1つの独立変数xと1つの従属変数yに対する微分不変量である。GをR ²に作用するリー群とする。すると、Gは局所的に、 y  =  ƒ ( x )の形のすべてのグラフの空間にも作用する。大まかに言えば、k次微分不変量は関数である。

${\displaystyle I\left(x,y,{\frac {dy}{dx}},\dots ,{\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\right)}$

yとxに関するその最初のk導関数に依存し、それは群の作用の下で不変です。

群は高階導関数に作用することができ、その際群作用の延長を計算する必要がある。例えば、Gの1次導関数への作用は連鎖律が成立し続けるようなものである。

${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})=g\cdot (x,y),}$

それから

${\displaystyle g\cdot \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right){\stackrel {\text{def}}{=}}\left({\overline {x}},{\overline {y}},{\frac {d{\overline {y}}}{d{\overline {x}}}}\right).}$

同様の考慮が、高次の延長の計算にも適用されます。ただし、延長を計算するこの方法は実用的ではなく、リー代数とG作用に沿ったリー微分レベルで極小的に作業する方がはるかに簡単です。

より一般的には、微分不変量は、直積X × Yに作用するリー群について、任意の滑らかな多様体 Xから別の滑らかな多様体Yへの写像について考えることができます。写像X  →  Yのグラフは、 X上のファイバーに対してどこでも横断的なX × Yの部分多様体です。群Gは、そのようなグラフの空間に局所的に作用し、k次の接触関係を法として各点を通過するグラフで構成されるk番目の延長Y ^{( k )}への作用を誘導します。微分不変量は、群作用の延長に対して不変である Y ^{( k )}上の関数です。

• 同値問題の解決
• 微分不変量は偏微分方程式系の研究に応用できる。特定のグループの作用下で不変な相似解を求めることで問題の次元を減らすことができる（つまり「縮小系」が得られる）。^[2]
• ネーターの定理は、変分問題のすべての微分可能な対称性に対応する微分不変量の存在を意味します。
• コンピュータビジョンを用いたフロー特性^[3]
• 幾何学的積分

• カルタンの等価法

• グッゲンハイマー、ハインリッヒ（1977）、微分幾何学、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-63433-3。
• Lie、Sophus (1884)、「Über Differentialinvarianten」、Gesammelte Adhandlungen、vol. 6、ライプツィヒ: BG Teubner、95–138 ページ; 英語訳: Ackerman, M; Hermann, R (1975), Sophus Lie's 1884 Differential Invariant Paper、マサチューセッツ州ブルックライン: Math Sci Press。
• オルバー、ピーター J. (1993)、リー群の微分方程式への応用(第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94007-6。
• オルバー、ピーター J. (1995)、等価性、不変量、対称性、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-47811-3。
• マンスフィールド、エリザベス・ルイーズ（2010）『不変計算の実践ガイド』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-85701-7

• 不変変量問題