暗黙の表面

表面点${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$は、勾配が ​​${\displaystyle F}$で${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ゼロベクトルではない${\displaystyle (0,0,0)}$、 意味

${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}$。

表面の点${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$は規則的ではなく、単数形と呼ばれます。

正則点における接平面の方程式${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$は

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,}$

法線ベクトルは

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.}$

式をシンプルに保つために引数は${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$省略されています:

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}}$

は、単位接線方向における正則点における曲面の法線曲率である。${\displaystyle \mathbf {v} }$。${\displaystyle H_{F}}$はヘッセ行列です${\displaystyle F}$（2階微分行列）

この公式の証明は、（陰関数曲線の場合と同様に）陰関数定理とパラメトリック曲面の法線曲率の公式に基づいています。

点電荷の電位 ${\displaystyle q_{i}}$地点で${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$地点で生成${\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}$（物理定数を省略した）

${\displaystyle F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.}$

電位値の等電位面${\displaystyle c}$暗黙の曲面 ${\displaystyle F_{i}(x,y,z)-c=0}$これは、点を中心とする球体です。${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$。

潜在力${\displaystyle 4}$点電荷は次のように表されます。

${\displaystyle F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.}$

図では、4つの電荷は1に等しく、以下の点に位置しています。 ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$表示されている面は等電位面（陰関数面）です。${\displaystyle F(x,y,z)-2.8=0}$。

カッシーニの楕円は、与えられた2点までの距離の積が一定となる点の集合として定義できる（対照的に、楕円の場合は距離の和が一定となる）。同様に、陰関数曲面は、複数の固定点までの距離の積が一定となることで定義できる。

図の変形において、左上の表面はこの規則によって生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\quad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}\end{aligned}}}$

一定距離積面 ${\displaystyle F(x,y,z)-1.1=0}$表示されます。

新しい陰関数曲面を生成するもう一つの簡単な方法は、陰関数曲面の変形またはホモトピーと呼ばれる。

2つの陰関数曲面の場合${\displaystyle F_{0}(x,y,z)=0,F_{1}(x,y,z)=0}$（図中：一定距離積曲面とトーラス）設計パラメータを使用して新しい曲面を定義する${\displaystyle \mu \in [0,1]}$:

${\displaystyle F_{\mu }(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )\,F_{0}(x,y,z)=0}$

図では、設計パラメータは順次${\displaystyle \mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1}$。

${\displaystyle \Pi }$-surfaces ^[1] can be used to approximate any given smooth and bounded object in ${\displaystyle R^{3}}$ whose surface is defined by a single polynomial as a product of subsidiary polynomials. In other words, we can design any smooth object with a single algebraic surface. Let us denote the defining polynomials as ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)}$. Then, the approximating object is defined by the polynomial

${\displaystyle F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r}$^[1]

where ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ stands for the blending parameter that controls the approximating error.

Analogously to the smooth approximation with implicit curves, the equation

${\displaystyle F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0}$

represents for suitable parameters ${\displaystyle c}$ smooth approximations of three intersecting tori with equations

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}}$

(In the diagram the parameters are ${\displaystyle R=1,\,a=0.2,\,r=0.01.}$)