時空トポロジー

時空トポロジーは時空の位相構造であり、主に一般相対性理論で研究されるテーマです。この物理理論は、重力を4 次元のローレンツ多様体(時空)の曲率としてモデル化しており、そのためトポロジーの概念は時空の局所的側面と全体的側面の分析において重要になります。時空トポロジーの研究は、特に物理宇宙論において重要です。

時空Mのトポロジーには主に 2 つのタイプがあります。

あらゆる多様体と同様に、時空は自然な多様体トポロジーを持ちます。ここで、開集合は内の開集合の像です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

定義: ^{[1]すべての}時間的曲線に対して、多様体位相内に となる集合が存在する場合、その部分集合が開いている位相。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle E\subset M}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle O}$${\displaystyle E\cap c=O\cap c}$

これは時間的曲線と同じ位相を誘導する最も微細な位相である。^[2]${\displaystyle M}$

厳密には多様体位相よりも細かい。したがって、ハウスドルフであり、分離可能だが局所コンパクトではない。

位相の基底は、ある点とある凸正規近傍の形式の集合です。 ${\displaystyle Y^{+}(p,U)\cup Y^{-}(p,U)\cup p}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle U\subset M}$

（時系列の過去と未来を表す）。 ${\displaystyle Y^{\pm}}$

時空上のアレクサンドロフ位相は、と がすべての部分集合に対して開いている最も粗い位相です。 ${\displaystyle Y^{+}(E)}$${\displaystyle Y^{-}(E)}$${\displaystyle E\subset M}$

ここで、位相の開集合の基底は、いくつかの点に対する形の集合です。 ${\displaystyle Y^{+}(x)\cap Y^{-}(y)}$${\displaystyle \,x,y\in M}$

この位相は、多様体が強い因果関係を持つ場合に限り、多様体位相と一致するが、一般にはより粗い。^[3]

数学では、半順序上のアレクサンドロフ位相は通常、上側の集合のみが開集合であることが要求される最も粗い位相であるとみなされることに注意してください。この位相はパベル・アレクサンドロフに遡ります。 ${\displaystyle Y^{+}(E)}$

今日では、時空上のアレクサンドロフ位相（アレクサンドロフ・D・アレクサンドロフに遡る）の正しい数学用語は区間位相であるが、クロンハイマーとペンローズがこの用語を導入した当時は、この命名法の違いはそれほど明確ではなく^[要出典]、物理学ではアレクサンドロフ位相という用語が依然として使用されている。

光でつながったイベントは分離がゼロです。平面内の時空の充満は 4 つの象限に分割され、それぞれの象限は R ²の位相を持ちます。分割線は (0,0) における入射光子と出射光子の軌道です。平面宇宙論の位相的セグメンテーションは、未来が F、過去が P、空間左が L、空間右が D です。F と R ^{2の同相写像は、}分割複素数の極分解に相当します。

${\displaystyle z=\exp(a+jb)=e^{a}(\cosh b+j\sinh b)\to (a,b),}$となることによって

${\displaystyle z\to (a,b)}$は分割複素対数であり、必要な同相写像F → R ²である。bはF における相対運動のラピディティパラメータであることに注意してください。

F は、z → – z、z → j z、 z → – j zの写像の下で P、L、D のそれぞれと全単射対応しているので、それぞれは同じ位相を獲得します。すると、和集合 U = F ∪ P ∪ L ∪ D は、 (0,0) 上のヌル円錐だけを除いて、平面をほぼ覆う位相を持ちます。平面の双曲回転では象限が混ざり合わず、実際、それぞれは単位双曲線群の下で不変集合です。

• 4次元多様体
• クリフォード・クライン形式
• 閉じた時間曲線
• 複雑な時空
• ジオメトロダイナミクス
• 重力特異点
• ハンチェ・ウェント多様体
• 時空の曲率
• ワームホール

• Zeeman, EC (1964). 「因果律はローレンツ群を意味する」.数理物理学ジャーナル. 5 (4): 490–493. Bibcode :1964JMP.....5..490Z. doi :10.1063/1.1704140.
• Hawking, SW; King, AR; McCarthy, PJ (1976). 「因果的、微分的、および共形的構造を組み込んだ曲がった時空のための新しいトポロジー」( PDF)。Journal of Mathematical Physics。17 (2): 174–181。Bibcode :1976JMP....17..174H。doi : 10.1063 /1.522874。