特殊相対性理論における質量

特殊相対性理論において、「質量」という言葉には2つの意味があります。不変質量（静止質量とも呼ばれる）は、すべての基準系におけるすべての観測者に対して同じである不変量であり、一方、相対論的質量は観測者の速度に依存します。質量エネルギー等価性の概念によれば、不変質量は静止エネルギーに等しく、相対論的質量は相対論的エネルギー（全エネルギーとも呼ばれる）に等しくなります。

「相対論的質量」という用語は、素粒子物理学や原子核物理学ではあまり使われず、特殊相対性理論の著者も、物体の相対論的エネルギーに言及する方が好まれるため、この用語を避けることが多い。^{[ 1 ]}対照的に、「不変質量」は通常、静止エネルギーよりも好まれる。ある基準系における物体の測定可能な慣性は、その不変質量だけでなく、相対論的質量によっても決定される。例えば、光子は静止質量がゼロであるが、それらを含むあらゆるシステムの慣性（および重力場における重量）に寄与する。

この概念は、一般相対性理論において質量に関して一般化される。

特殊相対性理論における質量という用語は、通常、物体の静止質量、すなわち物体と共に移動する観測者によって測定されるニュートン質量を指します。不変質量は、単一粒子の静止質量の別名です。より一般的な不変質量（より複雑な式で計算される）は、おおまかに「系」の「静止質量」に対応します。したがって、不変質量は、運動量中心系（COM系）から観測される系に使用される自然な質量の単位です。例えば、高温ガスの入ったボトルなどの閉じた系を計量する場合、系の正味運動量がゼロとなる運動量中心系で測定を行う必要があります。このような状況下では、不変質量は相対論的質量（後述）に等しくなります。相対論的質量は、系の全エネルギーをc²（光速の²乗）で割った値です。

The concept of invariant mass does not require bound systems of particles, however. As such, it may also be applied to systems of unbound particles in high-speed relative motion. Because of this, it is often employed in particle physics for systems which consist of widely separated high-energy particles. If such systems were derived from a single particle, then the calculation of the invariant mass of such systems, which is a never-changing quantity, will provide the rest mass of the parent particle (because it is conserved over time).

It is often convenient in calculation that the invariant mass of a system is the total energy of the system (divided by c²) in the COM frame (where, by definition, the momentum of the system is zero). However, since the invariant mass of any system is also the same quantity in all inertial frames, it is a quantity often calculated from the total energy in the COM frame, then used to calculate system energies and momenta in other frames where the momenta are not zero, and the system total energy will necessarily be a different quantity than in the COM frame. As with energy and momentum, the invariant mass of a system cannot be destroyed or changed, and it is thus conserved, so long as the system is closed to all influences. (The technical term is isolated system meaning that an idealized boundary is drawn around the system, and no mass/energy is allowed across it.)

The relativistic mass is the sum total quantity of energy in a body or system (divided by c²). Thus, the mass in the formula$${\displaystyle E=m_{\text{rel}}c^{2}}$$ is the relativistic mass. For a particle of non-zero rest mass m moving at a speed ${\displaystyle v}$ relative to the observer, one finds $${\displaystyle m_{\text{rel}}={\frac {m}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$$

In the center of momentum frame, ${\displaystyle v=0}$ and the relativistic mass equals the rest mass. In other frames, the relativistic mass (of a body or system of bodies) includes a contribution from the "net" kinetic energy of the body (the kinetic energy of the center of mass of the body), and is larger the faster the body moves. Thus, unlike the invariant mass, the relativistic mass depends on the observer's frame of reference. However, for given single frames of reference and for isolated systems, the relativistic mass is also a conserved quantity. The relativistic mass is also the proportionality factor between velocity and momentum, $${\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{rel}}\mathbf {v} .}$$

Newton's second law remains valid in the form $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}{dt}}.}$$

When a body emits light of frequency ${\displaystyle \nu }$ and wavelength ${\displaystyle \lambda }$ as a photon of energy ${\displaystyle E=h\nu =hc/\lambda }$, the mass of the body decreases by ${\displaystyle E/c^{2}=h/\lambda c}$^{[ 2 ]}これは、一部の研究者^{[ 3 ] [ 4 ]}が放出された光子の相対論的質量と解釈している。なぜなら、これも満たすからである。${\displaystyle p=m_{\text{rel}}c=h/\lambda }$相対論的質量を理論の基本概念として提示する著者もいるが、理論の基本は時空に関係するため、これは誤りであると主張されている。この概念が教育的に有用かどうかについては意見が分かれている。^{[ 5 ] [ 3 ] [ 6 ]}一定の加速度を受ける物体が光速に達することができない理由、および光子を放出するシステムの質量が減少する理由を、単純かつ定量的に説明する。^{[ 3 ]}相対論的量子化学では、相対論的質量は重元素の電子軌道収縮を説明するために用いられる。^{[ 7 ] [ 8 ]} ニュートン力学における物体の性質としての質量の概念は、相対性理論における概念と正確な関係を持たない。^{[ 9 ]} 相対論的質量は原子核物理学や素粒子物理学では参照されておらず、^{[ 1 ]} 2005 年の入門教科書の調査では、24 冊のうち 5 冊しかこの概念を使用していなかったことが示されましたが、^{[ 10 ]}一般向けの解説書では依然として広く使われています。

静止した箱の中に多数の粒子が入っている場合、静止系における箱の重量は、粒子の運動速度が速いほど増加します。箱の中のあらゆるエネルギー（粒子の運動エネルギーを含む）は質量に加算されるため、粒子の相対運動は箱の質量に寄与します。しかし、箱自体が動いている場合（その重心が動いている場合）、全体の運動の運動エネルギーを系の質量に含めるべきかどうかという問題が残ります。不変質量は、系全体の運動エネルギーを除外して計算されます（箱の単一の速度、つまり箱の重心の速度を使用して計算されます）。一方、相対論的質量は、不変質量に加えて、重心の速度から計算される系の運動エネルギーを含めて計算されます。

相対論的質量と静止質量はどちらも物理学における伝統的な概念ですが、相対論的質量は全エネルギーに対応します。相対論的質量は、天秤で測定した場合の系の質量ですが、場合によっては（上の図の箱のように）、この事実は、系が平均的に静止している必要がある（正味の運動量がゼロである必要があり、つまり、測定は運動量中心座標系で行われる）という理由だけで成り立ちます。例えば、サイクロトロン内の電子が相対論的速度で円運動をしている場合、サイクロトロンと電子の系の質量は、電子の静止質量ではなく、電子の相対論的質量によって増加します。しかし、電子が箱の中で高速で跳ね返る場合、電子と箱のような閉じた系でも同じことが言えます。電子の運動エネルギーを「測定」できるのは、系に全運動量がない（系の運動量の合計がゼロになる）ためです。電子が停止して重量を測定された場合、あるいは何らかの方法で天秤が電子の後を追って送られた場合、電子は天秤に対して動いていないため、単一の電子の相対論的質量と静止質量は同じになり（そして小さくなる）、相対論的質量と静止質量は一般に、正味の運動量がゼロで系の重心が静止している場合にのみ等しくなります。それ以外の場合は、両者は異なる可能性があります。

不変質量は、物体全体が静止している基準系（以下で定義する重心による）における全エネルギーの値に比例します。これが、単一粒子の場合、不変質量が静止質量と同じである理由です。しかし、不変質量は、多数の粒子からなる系において重心が静止しているときの測定質量も表します。このようなことが起こる特別な基準系は、運動量中心系とも呼ばれ、物体の重心が静止している慣性系として定義されます（別の言い方をすれば、系の構成要素の運動量の合計がゼロになる基準系です）。複合物体（多数の小さな物体から構成され、その一部が動いている場合もある）や非結合物体の集合（その一部も動いている場合もある）の場合、物体の相対論的質量が静止質量と等しくなるためには、系の重心が静止しているだけで十分です。

いわゆる質量のない粒子（光子や理論上の重力子など）は、あらゆる慣性系において光速で運動します。この場合、粒子を静止させるような変換は存在しません。このような粒子の全エネルギーは、同じ方向に速く移動する慣性系ほど小さくなります。そのため、静止質量は存在しません。なぜなら、静止している慣性系で測定することは決してできないからです。この静止質量がないという性質が、これらの粒子を「質量のない」と呼ぶ所以です。しかし、質量のない粒子であっても、相対論的質量を持ち、それは様々な慣性系で観測されるエネルギーに応じて変化します。

不変質量は、 4元運動量（古典的な運動量の4次元一般化）と4元速度の比である：^{[ 11 ]}$${\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }}$$ また、静止質量が一定の場合の4次元加速度と4次元力の比でもある。ニュートンの第二法則の4次元形式は次のようになる。 $${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu }.}$$

Eとpの相対論的表現は相対論的エネルギー-運動量関係に従う：^{[ 12 ]}$${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}}$$ ここで、mは静止質量、または系における不変質量であり、Eは全エネルギーである。

この方程式は、 m = 0である光子にも有効です。 $${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=0}$$ そのため $${\displaystyle E=pc}$$

光子の運動量はそのエネルギーの関数ですが、速度に比例するわけではありません。速度は常にcです。

静止している物体の場合、運動量pはゼロなので、 $${\displaystyle E=mc^{2}.}$$この式は、運動量がゼロの粒子または系に対してのみ成り立つことに注意してください。

静止質量は、物体の静止系における全エネルギーにのみ比例する。

物体が動いているとき、全エネルギーは次のように表される。 $${\displaystyle E={\sqrt {\left(mc^{2}\right)^{2}+(pc)^{2}}}}$$

運動量とエネルギーを速度の関数として求めるには、4元速度が次の式に比例することに注目すればよい。${\displaystyle \left(c,{\vec {v}}\right)}$は粒子の運動に関連する唯一の4元ベクトルであるため、保存される4元運動量が存在する場合${\displaystyle \left(E,{\vec {p}}c\right)}$、このベクトルに比例しなければならない。これにより、エネルギーと運動量の比を次のように表すことができる。 $${\displaystyle pc=E{\frac {v}{c}},}$$その結果、 Eとv の間には以下の関係が成り立つ。 $${\displaystyle E^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}+E^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}},}$$

その結果、 $${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$ そして $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$$

これらの式は次のように書くことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=mc^{2},\\E&=\gamma mc^{2},\\p&=mv\gamma ,\end{aligned}}}$$ 要因${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$

c = 1 の単位系（自然単位系として知られる）で作業する場合、すべての相対論的方程式は簡略化され、エネルギー、運動量、質量の量は同じ自然次元を持つ: ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle m^{2}=E^{2}-p^{2}.}$$

この方程式は、差分が${\displaystyle E^{2}-p^{2}}$はエネルギー運動量4元ベクトルの相対論的長さであり、システムの静止質量または不変質量に関連付けられる長さです。m > 0かつp = 0の場合、この式は再び質量エネルギー等価性E = mを表します。

複合系の静止質量は、すべての構成要素が静止している場合を除き、構成要素の静止質量の合計とは一致しません。複合系の総質量には、系内の運動エネルギーと場エネルギーが含まれます。

複合システムの全エネルギーEは、その構成要素のエネルギーの合計を足し合わせることによって決定できます。全運動量${\displaystyle {\vec {p}}}$システム全体の運動量（ベクトル量）は、その構成要素すべての運動量を合計することによって計算することもできます。全エネルギーEと全運動量ベクトルの長さ（大きさ）pが与えられれば、${\displaystyle {\vec {p}}}$不変質量は次のように与えられる。 $${\displaystyle m={\frac {\sqrt {E^{2}-(pc)^{2}}}{c^{2}}}}$$

c = 1である自然単位系において、粒子系（束縛されているか否かを問わず）の全系不変質量は、以下のように等価的に与えられる。 $${\displaystyle m^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum {\vec {p}}\ \right\|^{2}}$$

ここでも、粒子の運動量は${\displaystyle {\vec {p}}}$まず、ベクトルとして合計し、その結果得られた合計値（ユークリッドノルム）の二乗を用います。これによりスカラー値が得られ、これを全エネルギーの二乗のスカラー値から差し引きます。

このような系において、運動量の合計がゼロとなる特別な運動量中心座標系では、系の質量（不変質量と呼ばれる）は系の全エネルギーに相当し、 c = 1の単位ではそれと同一となる。系の全エネルギーと全運動量は選択された特定の慣性座標系の関数であり、すべての観測者に対して不変質量が同じになるように慣性座標系間で変化するが、この系の不変質量はどの慣性座標系でも同じ量である。したがって、不変質量は粒子系に対して、単一粒子に対する「静止質量」と同様の役割を果たす。

孤立系（すなわち、質量とエネルギーの両方に関して閉じている系）の不変質量は、観測者や慣性系にも依存せず、化学反応や核反応の間であっても、孤立系と単一の観測者に対しては一定の保存量となることに注意してください。不変質量の概念は、粒子物理学で広く用いられています。なぜなら、粒子の崩壊生成物の不変質量は、その粒子の静止質量に等しいからです。これは、Zボソンやトップクォークなどの粒子の質量を測定するために用いられます。

全エネルギーは、系内および粒子間の反応において（単一の観測者にとっては）加算的に保存される量ですが、静止質量（粒子の静止質量の合計という意味で）は、粒子の静止質量が運動エネルギーなどの他の種類のエネルギーに変換される事象を通じて保存されない可能性があります。個々の粒子の静止質量の合計を求めるには、各粒子の静止慣性系ごとに1人ずつ、複数の観測者が必要となり、これらの観測者は個々の粒子の運動エネルギーを無視します。保存則は、単一の観測者と単一の慣性系を必要とします。

一般に、孤立系および単一の観測者においては、相対論的質量は保存される（各観測者は時間を通じて一定であると認識する）が、不変ではない（つまり、異なる観測者は異なる値を認識する）。しかしながら、不変質量は保存され、かつ不変である（すべての単一の観測者は同じ値を認識し、その値は時間とともに変化しない）。

相対論的質量はエネルギーに対応するため、エネルギー保存則は、任意の観測者と慣性系において相対論的質量が保存されることを意味します。しかし、この量は、粒子の全エネルギーと同様に、不変ではありません。つまり、反応中に任意の観測者に対して保存されるとしても、その絶対値は観測者の慣性系によって、また異なる慣性系における異なる観測者によって変化します。

対照的に、系や粒子の静止質量と不変質量は保存され、かつ不変です。例えば、密閉された気体容器（エネルギー的にも閉じている）は、内部に動いている部品があっても、静止した天秤で重さを量ることができるという意味で、系の「静止質量」を持ちます。この質量は不変質量であり、運動量中心系で測定された場合にのみ、容器の全相対論的エネルギー（気体の運動エネルギーを含む）に等しくなります。単一粒子の場合と同様に、このような気体容器の計算された「静止質量」は、運動しているときには変化しませんが、その「相対論的質量」は変化します。

容器は、全体速度を与える力を受ける場合もあれば、（同等に）全体速度を持つ慣性系（つまり、厳密には、その重心が速度を持つ系）から観測される場合もある。この場合、容器の相対論的質量とエネルギーの総量は増加する。しかし、このような状況では、容器の相対論的エネルギーと運動量の総量は増加するものの、これらのエネルギーと運動量の増加は不変質量の定義において相殺されるため、動いている容器の不変質量は、静止状態で秤で測定した場合と同じ値として計算される。

• 相対論的エネルギーと運動量のテスト

• Silagadze, ZK (2008)、「涙なしの相対性理論」、Acta Physica Polonica B、39 (4): 811–885、arXiv : 0708.0929、Bibcode : 2008AcPPB..39..811S
• Oas, Gary (2005)、「相対論的質量の濫用と利用について」、arXiv : physics/0504110
• Usenet物理学に関するよくある質問
  • 「質量は速度によって変化するのか？」フィリップ・ギブス他著、2002年、2006年8月10日取得
  • 「光子の質量とは何か？」（マット・オースターン他著、1998年、2007年6月27日取得）
• マックス・ジャマー（1997）『古典物理学と現代物理学における質量の概念』 、クーリエ・ドーバー出版、 177-178ページ、ISBN  978-0-486-29998-3
• 質量を変数量として扱う（2015年7月16日にWayback Machineにアーカイブ済み）