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4次元空間（4D）は、 3次元空間（3D）の概念を数学的に拡張したものです。3次元空間は、日常生活における物体の大きさや位置を表すには、次元と呼ばれる3つの数値だけで十分であるという観察結果を最も単純に抽象化したものです。この日常的な空間概念は、もともと日常生活における空間体験から抽象化されたユークリッド幾何学に対応するため、ユークリッド空間と呼ばれています。
ユークリッド4D空間内の単一の位置は、ベクトルまたは4タプル、つまり( x , y , z , w )のような数値の順序付きリストとして表すことができます。たとえば、長方形の箱の体積は、その長さ、幅、高さ（多くの場合、x、y、zと表記される）を測定して掛け合わせることで求められます。このような位置がより複雑な形状に連結されて初めて、4D空間の豊かさと幾何学的な複雑さが明らかになります。その複雑さの片鱗は、最も単純な正則4Dオブジェクトの1つであるテセラクト（ 3Dキューブに類似）の付属の2Dアニメーションで見ることができます。
時間を第四の次元とする考え方は、 1754年に『百科全書、あるいは科学、芸術、工芸の体系的辞典』に掲載されたジャン・ル・ロン・ダランベールの「次元」から始まった。[ 1 ] [ 2 ]物理力学も時間の中で起こると考えることができるという考えは、1755年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって提唱され、1788年に彼の著書『解析力学』で発表された。[ 3 ]
4D の数学は 19 世紀に始まりました。[ 4 ] 3D の形状を鏡像に回転させることが 4D 空間で可能であることは、1827 年に出版されたDer barycentrische Calcul で August Ferdinand Möbius [ 5 ]によって実現されました。 [ 6 ] 4 つの空間次元の算術である四元数は、1843 年にWilliam Rowan Hamiltonによって定義されました。その後すぐに、テッサリンとコ四元数がR上の他の 4 次元代数として導入されました。高次元の非ユークリッド空間は、 1854 年のBernhard Riemannの論文「 Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen 」によって確固たる基礎が築かれました。この論文で彼は「点」を任意の座標のシーケンス( x 1 , ..., x n )とみなしました。
3 次元を超えるユークリッド空間は、1852 年にルートヴィヒ・シュレーフリが合成的方法と代数的方法の両方を使用して、n次元の空間にユークリッド幾何学を一般化したときに初めて記述されました。彼は、 4 次元空間で見つかった 6 つを含む、任意の次元のユークリッド空間に存在するすべての正多面体 (プラトン立体の高次元版)を発見しました。[ 7 ]シュレーフリの研究は 1901 年に死後出版されただけで、 1947 年にHSM コクセターのRegular Polytopesが出版されるまでほとんど知られていませんでした。その間、他の多くの人々も高次元のユークリッド空間を発見しました。第四次元の最初の人気解説者の一人はチャールズ・ハワード・ヒントンで、1880年にダブリン大学の雑誌に掲載されたエッセイ「第四次元とは何か？ 」から始まり、線、正方形、立方体の特性を段階的に一般化して「四次元立方体」の概念を説明しました。 [ a ] [ 8 ]彼は著書『思考の新時代』でテセラクト、アナ、カタ という用語を作り出し、著書『第四次元』で立方体を使用して第四次元を視覚化する方法を紹介しました。[ 9 ] [ 10 ] 1886年、ヴィクター・シュレーゲルはシュレーゲル図を使用して四次元オブジェクトを視覚化する方法を説明しました。[ 11 ]
ヘルマン・ミンコフスキーの 1908 年の論文[ 12 ]は、時空の第 4 次元として時間の役割を確固たるものにし、アインシュタインの特殊相対性理論と一般相対性理論の幾何学的基礎を提供した。[ 13 ]時空の幾何学は非ユークリッドであるため、シュレーフリが探求しヒントンが普及させたものとは根本的に異なる。ヒントンの考えは、マーティン・ガードナーが 1962 年 1 月のサイエンティフィック・アメリカンの「数学ゲーム」コラムで取り上げた「第 4 次元の教会」についての空想を刺激した。 1967 年、マイケル・J・クロウが「ベクトル解析の歴史」で述べているように、WR ハミルトンの結合代数は 3 次元のベクトル解析の科学の源泉となった。ミンコフスキー空間の研究には、4 次元ユークリッド空間とは全く異なるリーマンの数学が必要であり、そのため全く異なる方向で発展した。この区別は一般の人々の間ではそれほど明確ではなく、小説や哲学作品がその区別を曖昧にしていたため、1973年にHSMコクセターは次のように書かざるを得なかった。
ユークリッド幾何学における第4次元を時間として表現することには、ほとんど、あるいは全く利点がない。実際、H・G・ウェルズが『タイムマシン』で魅力的に展開したこの考え方は、ジョン・ウィリアム・ダン（『時間の実験』）のような著者を相対性理論に関する深刻な誤解へと導いてしまった。ミンコフスキーの時空幾何学はユークリッド幾何学ではないため、本研究とは何の関係もない。
— HSM Coxeter、正多面体[ 14 ]
数学的には、4次元空間とは、その空間内の点を指定するために4つのパラメータを必要とする空間のことです。例えば、一般的な点の位置ベクトルは、次のようになります。
これは、次の4つの標準基底ベクトル（e 1、e 2、e 3、e 4）を用いて記述することができる。
したがって、一般ベクトルaは
ベクトルは、3次元空間と同様に、加算、減算、拡大縮小が可能である。
ユークリッド3次元空間のドット積は4次元に一般化され、
そして、 2 つの非ゼロベクトル間の角度を計算または定義します。
ミンコフスキー時空は、内積とは異なる非退化ペアリングによって定義される幾何学を持つ4次元空間である。
例えば、点(0,0,0,0)と(1,1,1,0)間の距離の二乗は、ユークリッド空間とミンコフスキー空間の両方で3ですが、点(0,0,0,0)と(1,1,1,1)間の距離の二乗は、ユークリッド空間では4、ミンコフスキー空間では2です。bを4に増やすと、距離は小さくなります。これが、相対性理論のよく知られた多くの「パラドックス」につながります。
外積は4次元では定義されていません。代わりに、一部の用途では外積が使用され、次のように定義されます。
これは双ベクトル値であり、4次元の双ベクトルが基底(e12, e13, e14, e23, e24 , e34 )を持つ6次元線形空間を形成します。これらは4次元の回転を生成するために使用できます。
日常生活でおなじみの三次元空間には、通常x、y、zとラベル付けされた 3 つの座標軸があり、それぞれの軸は他の 2 つの軸と直交(つまり垂直) しています。この空間の 6 つの基本方向は、上、下、東、西、北、南と呼ばれます。これらの軸に沿った位置は、高度、経度、緯度と呼ばれます。これらの軸に沿って測定された長さは、高さ、幅、奥行きと呼ばれます。
それに比べて、4次元空間には他の3つの座標軸に直交する追加の座標軸があり、通常はwと表記される。この2つの追加の基本方向を表すために、チャールズ・ハワード・ヒントンは、それぞれギリシャ語で「上方向」と「下方向」を意味する単語から、 anaとkataという用語を作り出した。[ 9 ]： 160
前述の通り、ヘルマン・ミンコフスキーは、光の有限速度を含む宇宙論を論じる際に、4次元の概念を活用しました。3次元空間に時間次元を加えることで、彼は双曲直交性という新たな直交性を定義しました。この概念によって、彼の宇宙における電磁気的関係に適した、修正された同時性が4次元空間にもたらされました。ミンコフスキーの世界は、それまで3次元空間と1次元時間空間で用いられていた、伝統的な絶対空間と時間宇宙論に伴う問題を克服したのです。
4次元空間の幾何学は、自由度が1つ増えるため、3次元空間の幾何学よりもはるかに複雑である。
3次元空間に2次元多角形からなる多面体が存在するのと同様に、4次元空間には多面体からなる多面体が存在する。3次元空間には、プラトン立体として知られる5つの正多面体が存在する。4次元空間には、プラトン立体の類似物である6つの凸正4多面体が存在する。正則性の条件を緩和すると、3次元空間の13個の半正則アルキメデス立体に類似する、さらに58個の凸一様4多面体が得られる。凸性の条件を緩和すると、さらに10個の非凸正4多面体が得られる。
3 次元では、円を押し出すと円柱を形成できます。4 次元では、円柱状の物体はいくつかあります。球を押し出すと球状円柱 (球状の「キャップ」を持つ円柱で、スフェリンダーとして知られています) が得られ、円柱を押し出すと円柱プリズム (キューバインダー) が得られます。[ 15 ] 2 つの円のデカルト積をとると、デュオシリンダーが得られます。これら 3 つはすべて、それぞれ独自の特性を持ちながら、4 次元空間で「転がる」ことができます。
3 次元では、曲線は結び目を形成できますが、曲面はできません (自己交差する場合を除く)。しかし、4 次元では、曲線を使用して作られた結び目は、4 番目の方向に移動させることで簡単に解くことができますが、2 次元の曲面は 4 次元空間で非自明で自己交差しない結び目を形成できます。[ 16 ]これらの曲面は 2 次元であるため、3 次元空間の弦よりもはるかに複雑な結び目を形成できます。クラインの壺は、そのような結び目のある曲面の例です。そのような曲面のもう 1 つは、実射影平面です。
ユークリッド4次元空間において、固定点P₀からの距離が等しい点Rの集合は、3次元球面と呼ばれる超曲面を形成する。この超曲面によって囲まれた空間の超体積は次のようになる。
これは一般相対性理論におけるフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量の一部であり、Rは宇宙の年齢を表す関数 R ( t ) に置き換えられます。時間とともに R が増大または縮小することは、内部の質量密度に応じて宇宙が膨張または収縮することを意味します。[ 17 ]
仮想現実を用いた研究では、人間は三次元の世界に住んでいても、特別な練習をしなくても、線分の長さ（一次元）とそれらの間の角度（二次元）に基づいて、四次元空間に埋め込まれた線分について空間的な判断を下すことができることがわかっています。[ 18 ]研究者らは、「本研究の参加者はこれらのタスクの練習がほとんどなく、四次元仮想環境での知覚経験の増加により、より持続可能で明確かつ豊かな四次元表現を得ることが可能かどうかは未解決の問題である」と述べています。[ 18 ]別の研究では、[ 19 ]人間が二次元、三次元、四次元の迷路で方向を定める能力がテストされました。各迷路は、ランダムな長さの四つの経路セグメントで構成され、直交するランダムな曲がりで接続されていますが、分岐やループはありません（つまり、実際には迷路です）。グラフィカルインターフェースは、ジョン・マッキントッシュの無料四次元迷路ゲームに基づいています。[ 20 ]参加者は経路をたどり、最終的に出発点に戻る直線方向を推定する必要がありました。研究者らは、参加者の一部が4Dでの練習後、経路を頭の中で統合できることを発見しました（低次元のケースは比較のため、また参加者が方法を学習するためでした）。
しかし、2020年のレビューでは、これらの研究は被験者サンプルが少なく、主に大学生で構成されていることが強調されました。また、今後の研究で解決しなければならない他の問題も指摘されています。アーティファクトの除去（これは、例えば、4D表現/4D推論を使用しない要求されたタスクを解決するための戦略や、適応プロセスを加速するために研究者から与えられたフィードバックによって引き起こされる可能性があります）、および被験者間の変動の分析（4D知覚が可能であれば、その獲得は人間のサブセット、特定の臨界期、または人々の注意や動機に限定される可能性があります）。さらに、4次元を投影するより適切な方法があるかどうかは不明です（4次元の投影方法に制限がないため）。研究者らはまた、人間の4D知覚の獲得は脳の視覚野と嗅内皮質の活性化につながる可能性があると仮説を立てました。そうであれば、それは4D空間知覚獲得の強力な指標として使用できる可能性があると彼らは示唆しています。著者らはまた、さまざまなニューラルネットワークアーキテクチャ（異なる事前仮定付き）を使用して、どのアーキテクチャが学習できるか、できないかを理解することを提案した。[ 21 ]
4次元空間の性質を理解するために、次元類推と呼ばれる手法が一般的に用いられます。次元類推とは、( n -1 )次元がn次元とどのように関連しているかを研究し、次にn次元が( n +1 )次元とどのように関連しているかを推論することです。[ 22 ]
次元のアナロジーは、エドウィン・アボット・アボット が著書『フラットランド』で用いたもので、紙の表面のような二次元の世界に住む正方形の物語を描いている。この正方形の視点から見ると、三次元の存在は、金庫を壊さずに（三次元空間を移動させることで）物を取り出す能力、二次元空間では壁に囲まれているものすべてを見ることができる能力、そして三次元空間で数インチ離れた場所に立つことで完全に姿を消すことができる能力など、まるで神のような力を持っているように見える。
次元的な類推を適用することで、四次元の存在も三次元的な観点から見て同様の偉業を成し遂げられると推測できる。ルディ・ラッカーは小説『スペースランド』の中で、主人公がそのような能力を示す四次元の存在に出会う場面を通して、このことを描き出している。
三次元物体が二次元平面を通過する際、その平面上の二次元存在は、その平面内における三次元物体の断面のみを観察することになります。例えば、球が紙を通過すると、紙上の存在はまず一点を見ることになります。円は徐々に大きくなり、球の直径に達すると、再び小さくなり、一点に縮んで消えます。二次元存在は、三次元存在と同じように円を見るのではなく、一次元「網膜」上に投影された円の一次元像を見ることになります。同様に、四次元物体が三次元（超）曲面を通過すると、四次元物体の三次元断面を観察することができます。例えば、超球はまず一点として現れ、次に球が大きくなり（超球の「超直径」に達するまで）、その後球は一点に縮んで消えます。[ 23 ]この第四次元の側面を視覚化する手段は、小説『フラットランド』やチャールズ・ハワード・ヒントンのいくつかの作品でも使用されました。[ 9 ] : 11–14同様に、三次元の存在（2D網膜を持つ人間など）が2D形状のすべての側面と内部を同時に見ることができるのと同様に、4Dの存在は3D網膜で3D形状のすべての面と内部を一度に見ることができます。
次元類推の有用な応用例として、高次元を視覚化する投影があります。投影とは、n次元の物体をn -1次元で表現する方法です。例えば、コンピュータの画面は2次元であり、3次元の人物、場所、物の写真はすべて、物体を平面に投影することで2次元で表現されます。この方法では、画面に直交する次元（奥行き）が除去され、間接的な情報に置き換えられます。目の網膜も受容体の2次元配列ですが、脳は間接的な情報（陰影、遠近法、両眼視など）から推論することで、3次元物体の性質を認識できます。芸術家は、 2次元の絵に3次元の奥行きの錯覚を与えるために、しばしば遠近法を用います。図に示すように、平面上に回転するテセラクトの架空のグリッドモデルによって生じる影も、投影の結果です。
同様に、4次元の物体も数学的に馴染みのある3次元空間に投影することができ、そこでより容易に観察することができる。この場合、4次元の目の「網膜」は、受容体の3次元配列となる。このような目を持つ架空の存在は、網膜に映る3次元画像から間接的に得られる情報から4次元の奥行きを推測することで、4次元物体の性質を認識するだろう。
3次元物体を眼の網膜に投影すると、遠近法による短縮などのアーティファクトが生じ、脳はこれを3次元の奥行きとして解釈する。同様に、4次元からの遠近法による投影でも、同様の遠近法による短縮効果が生じる。次元的な類推を用いることで、これらの効果から4次元の「奥行き」を推測することができる。
この原理を例示するために、以下の画像シーケンスでは、3次元立方体のさまざまな視点と、4次元テセラクトを3次元空間に投影した類似の図を比較しています。
投影と密接に関連する概念として、影を落とす現象がある。
光を三次元物体に当てると、二次元影ができます。次元の類推から考えると、二次元世界にある二次元物体に光を当てると一次元影ができ、一次元世界にある一次元物体に光を当てると零次元影、つまり非光点ができます。逆に、四次元世界にある四次元物体に光を当てると三次元影ができると推測できます。
立方体のワイヤーフレームを上から照らすと、平面の2次元表面にできる影は、対応する角が繋がった正方形の中に正方形が重なった形になります。同様に、テセラクトのワイヤーフレームを「上」（4次元空間）から照らすと、その影は空中に浮かぶ別の3次元立方体の中に3次元立方体が重なった形になります（4次元空間から見ると「平面」に見える）。（厳密に言えば、ここに示した視覚表現は、4次元ワイヤーフレーム図形の3次元の影を2次元で表現したものです。）
次元のアナロジーは、境界領域など、高次元のオブジェクトの基本的な特性を推測するのにも役立ちます。例えば、2次元オブジェクトは1次元の境界で囲まれています。正方形は4つの辺で囲まれています。3次元オブジェクトは2次元の表面で囲まれています。立方体は6つの正方形の面で囲まれています。
次元類推を適用することで、テセラクトと呼ばれる4次元立方体が3次元の体積で囲まれていると推測できます。そして実際、数学的にはテセラクトは8つの立方体で囲まれていることが示されています。このことを知ることが、テセラクトの3次元投影図を解釈する上で重要です。テセラクトの境界は、単なる2次元の表面ではなく、画像内の体積に投影されるのです。
4次元における4次元体積または超体積は、テセラクト（辺の長さがsの場合s 4）や4次元球（半径rの場合）。
馴染みのある低次元からの類推による推論は優れた直感的ガイドとなり得るが、より厳密に検証されていない結果を受け入れないように注意する必要がある。例えば、2次元の円で囲まれた面積の公式を考えてみよう（）と、3次元空間における球によって囲まれた体積（）4次元空間における球が囲む体積は、しかし、正しい音量は[ 14 ]任意の次元nにおけるn球の体積は、次元nと次元n -2を結びつける漸化式から計算できる。
SF作品では、並行宇宙や異次元宇宙、あるいは想像上の別の存在次元について言及する際に、「次元」という概念がよく用いられます。この用法は、並行宇宙や異次元宇宙へ移動するには、通常の次元とは異なる方向／次元へ移動する必要があるという考えに基づいています。実際には、他の宇宙や次元はこの宇宙からほんのわずかな距離にあるのですが、その距離は通常の次元ではなく、第4次元（あるいはそれ以上の次元）の空間的（あるいは非空間的）次元にあるのです。
真の幾何学的次元性を扱ったSF作品の中でも特に高く評価されている作品の一つであり、こうした事柄を研究し始めたばかりの人にとっての出発点としてしばしば推奨されるのが、エドウィン・A・アボットによる1884年の短編小説『フラットランド』である。アイザック・アシモフは、1984年のシグネット・クラシックス版の序文で、『フラットランド』を「次元の知覚方法を知るための最良の入門書」と評している。
他の次元の概念は、初期のSF小説の多くに取り入れられており、例えばマイルズ・J・ブロイアーの『付録と眼鏡』（1928年）やマレー・ラインスターの『第五次元カタパルト』（1931年）に顕著に登場し、1940年代にはSF小説に不定期に登場するようになった。他の次元を扱った古典的な物語としては、ロバート・A・ハインラインの『そして彼は曲がった家を建てた』（1941年）があり、カリフォルニアの建築家がテッセラクトの三次元投影に基づいて家を設計する。また、アラン・E・ナースの『虎の尻尾』と『宇宙の間』（いずれも1951年）、ウォルター・テヴィスの『第五次元』 （1957年）などがある。マデリン・レングルの小説『時のしわ』（1962年）では、第五次元を「宇宙をテッセラクト化」したり、空間を「折り畳んで」素早く移動する方法として用いている。第四次元と第五次元は、ウィリアム・スレーター著『自分を逆転させた少年』（1986年）の重要な構成要素でもある。
イマヌエル・カントは1783年に次のように書いた。「空間（それ自体が別の空間の境界ではないもの）はどこでも3次元を持ち、一般に空間はそれ以上の次元を持つことはできないというのは、1点で3本を超える直線が直角に交わることはできないという命題に基づいている。この命題は概念から示すことは全くできず、直観、しかもアプリオリな純粋直観に直接基づいている。なぜならそれは必然的に（証明可能な）確実だからである。」[ 25 ]
「空間は4次元である」は、ドイツの哲学者で実験心理学者のグスタフ・フェヒナーが「ミーゼス博士」というペンネームで1846年に発表した短編小説である。物語の主人公は、他の影を認識し、コミュニケーションをとることができるが、2次元の平面に閉じ込められている影である。フェヒナーによれば、この「影人間」は3次元目を時間の次元として認識するだろう。[ 26 ]この物語は、プラトンの『国家』（紀元前380年頃）で提示された「洞窟の比喩」と強い類似性がある。
サイモン・ニューカムは1898年にアメリカ数学会報に「ハイパースペースの哲学」というタイトルの記事を執筆した。 [ 27 ]リンダ・ダルリンプル・ヘンダーソンは、 20世紀初頭の芸術における第4次元に関する1983年の論文で、形而上学的なテーマを探求するために高次元を使用する文章を説明するために「ハイパースペース哲学」という用語を作り出した。 [ 28 ]「ハイパースペース哲学者」の例としては、1888年に「テッセラクト」という言葉を初めて使用した作家であるチャールズ・ハワード・ヒントン[ 29 ]や、ロシアの秘教主義者P・D・ウスペンスキーなどが挙げられる。
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