相対論的ドップラー効果

相対論的ドップラー効果とは^、特殊相対性理論で説明される効果を考慮した場合、光源と観測者の相対運動（古典的なドップラー効果の場合と同様に）によって引き起こされる光の周波数、波長、振幅[1]の変化である。

相対論的ドップラー効果は、方程式に特殊相対論の時間の遅れ効果が含まれており、参照点として伝播媒体を含まないため、非相対論的ドップラー効果とは異なります。これらは、観測された周波数の全体的な差を記述し、必要なローレンツ対称性を備えています。

天文学者は、赤方偏移/青方偏移の原因として、ドップラーシフト、重力赤方偏移(重力場から出る光による)、宇宙膨張(空間自体が伸びる)の 3 つを知っています。この記事では、ドップラーシフトについてのみ説明します。

次の表では、受信機と送信機が互いに遠ざかっており、相対速度が 、光速が であると仮定しています。 ${\displaystyle \beta =v/c>0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c}$${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

音源と受信機が互いに直接近づいたり遠ざかったりする縦方向の相対論的ドップラーシフトは、古典的な現象であるかのように導出されることが多いが、時間の遅れの項を追加することで修正される。^{[2] [3]これは、ファインマン[4]やモーリン[5]}などの初年度の物理学や力学の教科書で採用されているアプローチである。

相対論的縦ドップラー効果を導くこのアプローチに従うと、受信機と音源が、受信機または音源の観測者によって測定された相対速度で互いに遠ざかっていると仮定します (ここで採用されている符号規則は、受信機と音源が互いに 近づいている場合はが負になるというものです)。${\displaystyle v\,}$${\displaystyle v\,}$

ソースの 参照フレーム内の問題を検討します。

1 つの波面が受信機に到達したとします。次の波面は受信機から の距離にあります (ここでは波長、は光源が発する波の周波数、 は光速です) 。 ${\displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s}\,}$${\displaystyle \lambda _{s}\,}$${\displaystyle f_{s}\,}$${\displaystyle c\,}$

波面は速度 で移動しますが、同時に受信機は時間 の速度 で遠ざかります。これは、光源のフレームで観測されるように、受信機に当たる光波の周期です。したがって、は光速で表した受信機の速度です。対応する、つまり、光源のフレームで波面が受信機に当たる の周波数は、次のようになります。${\displaystyle c\,}$${\displaystyle v}$${\displaystyle t_{r,s}}$$${\displaystyle \lambda _{s}+vt_{r,s}=ct_{r,s}\Longleftrightarrow \lambda _{s}=ct_{r,s}(1-v/c)\Longleftrightarrow t_{r,s}={\frac {1}{f_{s}(1-\beta )}},}$$${\displaystyle \beta =v/c\,}$${\displaystyle f_{r,s}}$$${\displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).}$$

これまでのところ、方程式は、静止した音源と移動する受信機による古典的なドップラー効果の方程式と同一でした。

しかし、相対論的効果により、受信機の時計は発信源の時計に比べて遅れて時間が生じます。ここで、はローレンツ因子です。どの時間が遅れているかを知るには、発信源が静止しているフレームの時間であることを思い出してください。受信機は受信した周波数を次のように測定します。 ${\displaystyle t_{r}=t_{r,s}/\gamma }$${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$${\displaystyle t_{r,s}}$

式1:    ${\displaystyle f_{r}=f_{r,s}\gamma }$ ${\displaystyle ={\frac {1-\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}f_{s}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{s}.}$

比率

${\displaystyle {\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}$

は、受信機に対する発信源のドップラー係数と呼ばれます。(この用語は、特に天体物理学の分野でよく使用されます。相対論的ビーミングを参照してください。)

対応する波長は次のように関係している。

式2:    ${\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}},}$

相対論的ドップラーシフトの同一の式は、移動する音源を持つ受信機の基準フレームで解析を実行すると得られる。これは、結果がどの物体が静止していると見なされるかに依存しないことを規定する相対性原理の予想と一致している。対照的に、古典的な非相対論的ドップラー効果は、媒体に対して静止しているのが音源か受信機かに依存する。[ ^{4] [5]}

発信源と受信機が衝突しない経路に沿って等慣性運動で互いに近づいていると仮定します。横方向ドップラー効果(TDE) は、(a)発信源と受信機が最接近点にあるときに発生する特殊相対性理論で予測される名目上の青方偏移、または (b)受信機が発信源が最も接近していると見なす場合に発生する特殊相対性理論で予測される名目上の赤方偏移を指します。 ^[5]横方向ドップラー効果は、特殊相対性理論の主要な新しい予測の 1 つです。

科学レポートで TDE を赤方偏移と表現するか青方偏移と表現するかは、関連する実験計画の詳細によって異なります。たとえば、1907 年にアインシュタインが最初に TDE について説明したときは、実験者が「カナル光線」 (特定の種類のガス放電管によって生成される陽イオンのビーム) の中心 (最も近い点) を見ていると説明されていました。特殊相対性理論によれば、移動するイオンの放出周波数はローレンツ係数によって減少するため、受信周波数も同じ係数によって減少 (赤方偏移) します。^{[p 1] [note 1]}

一方、クンディッヒ（1963）は、メスバウアー吸収体が中央のメスバウアー放射体の周りを高速で円軌道を描くように回転する実験について説明しました。 ^{[p 3]}以下に説明するように、この実験配置により、クンディッヒは青方偏移を測定しました。

このシナリオでは、最接近点はフレームに依存せず、距離と時間に変化がない瞬間を表します。図2は、このシナリオの分析の容易さが、分析されるフレームに依存することを示しています。^[5]

• 図 2a. 受信機のフレームでシナリオを分析すると、分析が本来よりも複雑であることがわかります。天体の見かけの位置は、光が観測者に到達するまでの時間中の天体の運動により、実際の位置 (または幾何学的位置) からずれます。光源は受信機に対して時間的に遅れますが、この時間遅れによって暗示される赤方偏移は、受信機と光源の見かけの位置との間の相対運動の経度成分による青方偏移によって相殺されます。
• 図 2b。代わりに、光源のフレームからシナリオを分析すると、はるかに簡単になります。光源にいる観測者は、問題文から、受信機が自分に最も近い位置にあることを知っています。つまり、受信機には分析を複雑にする縦方向の運動成分がありません。(つまり、dr/dt = 0、r は受信機と光源の間の距離) 受信機の時計は光源に対して時間的に遅れているため、受信機が受信する光はガンマ係数だけ青方偏移します。言い換えると、

式3:    ${\displaystyle f_{r}=\gamma f_{s}}$

このシナリオは、受信機が光源の進路に対して直角に向いているのと同等である。このシナリオの分析は、受信機のフレームから行うのが最も効果的である。図3は、光源が移動したにもかかわらず、受信機が光源が受信機に最も近かったときの光で照らされている様子を示している。^[5]光源の時計は受信機のフレームで測定すると時間的に遅れており、その動きには縦方向の成分がないため、この最も近い点から放射される光源からの光は、周波数とともに赤方偏移している。

式4:    ${\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}}$

文献では、横方向ドップラーシフトに関するほとんどの報告では、受信機をソースの経路に対して直角に向けることで、ソースが最も近い地点にあるとみなし、赤方偏移を観測するという観点から効果を分析しています。

慣性で移動するソースと受信機が幾何学的に最も接近している場合、受信機は青方偏移を観測しますが、ソースが受信機の最接近点にあると受信機が考える場合、受信機は赤方偏移を観測するため、青方偏移が赤方偏移に変わる点が存在することは明らかです。図 2 では、信号は受信機のパスに対して垂直に移動し、青方偏移します。図 3 では、信号はソースのパスに対して垂直に移動し、赤方偏移します。

図4に示すように、ソースから受信機まで最短距離を移動するパルスではヌル周波数シフトが発生します。ソースと受信機が同じ速度を持つフレームで見ると、このパルスはソースのパスに対して垂直に放射され、受信機のパスに対して垂直に受信されます。パルスは最接近点の少し前に放射され、少し後に受信されます。^[6]

図5は、このシナリオの2つのバリエーションを示しています。両方のバリエーションは、単純な時間の遅れの議論を使用して分析できます。^[5]図5aは、図2bで説明したシナリオと本質的に同等であり、受信機は、光源からの光を係数で青方偏移したものとして観測します。図5bは、図3で説明したシナリオと本質的に同等であり、光は赤方偏移しています。 ${\displaystyle \gamma }$

唯一の複雑な点は、軌道を周回する物体が加速運動をしていることである。加速粒子は、常に静止している慣性系を持たない。しかし、粒子と瞬間的に共動する慣性系は常に存在する。この系、瞬間共動参照系(MCRF)により、加速粒子の解析に特殊相対論を適用することができる。慣性観測者が加速する時計を見る場合、時間の遅れを計算する際に重要になるのは時計の瞬間速度のみである。^[7]

しかし、その逆は真実ではありません。両方の物体が加速運動しているシナリオの分析には、もう少し高度な分析が必要です。この点を理解していないことが、混乱や誤解を招いています。

図 6 に示すように、回転するローターの反対側の端にソースとレシーバーが配置されているとします。運動学的な議論 (特殊相対性理論) と、ローターの擬似重力場におけるソースとレシーバーの電位に差がないことに着目した議論 (一般相対性理論) はどちらも、ソースとレシーバーの間にドップラーシフトはないはずだという結論に至ります。

1961年、シャンペニーとムーンはまさにこのシナリオをテストするメスバウアー回転子実験を行い 、メスバウアー吸収プロセスは回転の影響を受けないことを発見しました。^{[p 4]}彼らは、その発見が特殊相対性理論を支持すると結論付けました。

この結論は論争を巻き起こした。相対性理論の根強い批評家^{[誰? ] は}、この実験は一般相対性理論と一致しているが特殊相対性理論を否定していると主張した。彼の論点は、放射体と吸収体が等速相対運動をしているので特殊相対性理論ではドップラーシフトが観測される必要があるという点であった。この批評家の議論の誤りは、周波数シフトゼロのポイントのセクションで実証されているように、等速相対運動をしている 2 つのフレーム間でドップラーシフトが常に観測されるはずというのはまったく真実ではないということであった。^[8]さらに、ソースとレシーバーは最も接近するポイントのセクションで実証されているように、相対論的シナリオの分析の難しさは、基準フレームの選択に依存することが多い。レシーバーのフレームでシナリオを分析しようとすると、非常に面倒な代数が必要になる。実験室のフレームで放射体と吸収体の間にドップラーシフトがないことを立証するのははるかに簡単で、ほとんど自明である。^[8]

しかし、実際のところ、シャンペニーとムーンの実験は、特殊相対性理論について賛否両論を何も語っていません。実験の対称性のため、等慣性運動中のフレーム間のドップラーシフトに関する考えられるあらゆる理論は、この実験ではゼロの結果をもたらすに違いありません。^[8]

中心から等距離にあるのではなく、放射体と吸収体がローターの中心から異なる距離にあると仮定します。放射体が半径にあり、吸収体がローター上の任意の半径にある場合、放射体の周波数と吸収体の周波数の比は次のように表されます。 ${\displaystyle R'}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f',}$${\displaystyle f,}$

式5:    ${\displaystyle {\frac {f'}{f}}=\left({\frac {c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}{c^{2}-R'^{2}\omega ^{2}}}\right)^{1/2}}$

ここで、はローターの角速度である。光源とエミッターは180°離れている必要はなく、中心に対して任意の角度にすることができる。^{[p 5] [9]}${\displaystyle \omega }$

相対論的縦方向ドップラー効果のセクションで使用した解析は、音源と受信機の慣性運動が任意の指定された角度にある場合のドップラーシフトを計算するために簡単に拡張できます。^{[3] [10]}図7は、受信機のフレームからのシナリオを示しており、音源は受信機のフレームで測定された角度で 速度で移動しています。視線に沿った音源の動きの半径方向成分は、${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta _{r}}$${\displaystyle v\cos {\theta _{r}}.}$

以下の式は、ローレンツ因子によって修正された静止および移動源の古典的なドップラーシフトとして解釈できる。${\displaystyle \gamma :}$

式6:    ${\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}.}$

の場合には、横方向ドップラー効果が得られます。 ${\displaystyle \theta _{r}=90^{\circ }}$

${\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.\,}$

1905年の特殊相対性理論の論文^{[p 2]}で、アインシュタインはドップラーシフト方程式のやや異なる式を得ました。アインシュタインの式の変数名をここで使用されているものと一致するように変更すると、彼の式は次のようになります。

式7:    ${\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)f_{s}.}$

これらの違いは、アインシュタインが受信側の静止フレームではなく送信側の静止フレームに関して角度を評価したという事実から生じます。 は、相対論的収差の影響により と等しくありません。 相対論的収差方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle \theta _{s}}$${\displaystyle \theta _{s}}$${\displaystyle \theta _{r}}$

式8:    ${\displaystyle \cos \theta _{r}={\frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}}\,}$

相対論的収差方程式式8を式6に 代入すると式7が得られ 、ドップラーシフトに対するこれらの代替方程式の一貫性が証明される。^[10]

式6または式7に設定すると、相対論的縦ドップラーシフトを表す式1が得られます。 ${\displaystyle \theta _{r}=0}$${\displaystyle \theta _{s}=0}$

これらの結果を導き出すための4ベクトルアプローチについては、LandauとLifshitz（2005）を参照のこと。^[11]

電磁波では、電界と磁界の振幅EとBは周波数と同様に変化する。^[12]

${\displaystyle E_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)E_{s}}$

${\displaystyle B_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)B_{s}.}$

図 8 は、相対論的ドップラー効果と相対論的光行差が、非相対論的ドップラー効果と非相対論的光行差とどのように異なるかを大まかに定性的に理解するのに役立ちます。観測者が、570 nm の単色光を発する黄色い星に全方向から均一に囲まれていると仮定します。各図の矢印は、周囲に対する観測者の速度ベクトルを表し、大きさは 0.89  cです。

• 相対論的な場合、観測者の前方の光は遠紫外線の 137 nm の波長に青方偏移し、観測者の後方の光は短波長赤外線の 2400 nm に赤方偏移します。光の相対論的収差により、観測者に対して直角であった物体は 63° 前方にずれて見えます。
• 非相対論的なケースでは、観測者の前方の光は中紫外線の 300 nm の波長に青方偏移し、観測者の後方の光は中赤外線の 5200 nm に赤方偏移します。光の収差により、観測者に対して直角であった物体は 42° 前方にずれて見えます。
• どちらの場合も、観測者の前方と後方の単色星は、目に見えない波長の方向にドップラーシフトしています。しかし、観測者が紫外線と赤外線を見ることができる目を持っていれば、前方の星は後方の星よりも明るく密集しているように見えますが、相対論的な場合には星ははるかに明るく、はるかに密集していることになります。^[13]

実際の星は単色ではなく、黒体分布に近い波長範囲を放射します。観測者の前方にある星が必ずしも青い色を呈するとは限りません。これは、スペクトルエネルギー分布全体がシフトするためです。可視光が目に見えない紫外線波長に青方偏移すると同時に、赤外線は可視範囲に青方偏移します。色がどのように変化するかは、人間の目の生理機能と観測される光源のスペクトル特性に依存します。^{[14] [15]}

ドップラー効果（任意の方向）も、知覚される音源の強度を変更します。これは、音源の強度を周波数の3乗で割った値がローレンツ不変であるという事実によって簡潔に表現できます^{[p 6] [注 2]} これは、総放射強度（すべての周波数を合計したもの）が周波数のドップラー係数の4乗で乗算されることを意味します。

結果として、プランクの法則は、黒体放射は周波数におけるスペクトル強度が(ここでは、源の温度と周波数)に比例すると説明しているため、ドップラーシフト (任意の方向) を通して見た黒体スペクトルは、依然として、周波数と同じドップラー係数を乗じた温度を持つ黒体スペクトルであるという結論を導き出すことができます。 ${\displaystyle {\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$

この結果は、ビッグバン理論と宇宙の赤方偏移を説明するために提案された他の理論を区別する証拠の一つとなる。^[16]

横方向ドップラー効果は特殊相対性理論の主要な新しい予測の 1 つであるため、この効果の検出と正確な定量化は、特殊相対性理論を検証しようとする実験の重要な目標となっています。

アインシュタイン (1907) は当初、ビームに対して直角に「キャナル光線」のビームを観測することによって TDE を測定できるのではないかと示唆していました。 ^{[p 1]}この方式に従って TDE を測定する試みは、当時利用可能な粒子ビームの最大速度が光速のわずか数千分の 1 であったため、非現実的であることが判明しました。

図 9 は、キャナル線 (H1+、H2+、H3+ イオンの混合物) のビームがキャナル線管に充填する希薄水素ガスから剥ぎ取られた電子と再結合する際に放出される 4861 オングストロームの線を測定しようとした結果を示しています。ここで、TDE の予測結果は 4861.06 オングストロームの線です。左側では、縦方向のドップラー シフトにより、放出線が広がり、TDE を観察できません。中央の図は、視野をビームの正確な中心に狭めても、ビームが正確な直角からわずかにずれると、予測された効果に匹敵するシフトが生じることを示しています。

Ives と Stilwell (1938) は、 TDE を直接測定する代わりに、凹面鏡を使用して、ほぼ縦方向の直接ビーム (青) とその反射像 (赤) を同時に観察しました。分光学的には、変位していない輝線、青方偏移した線、赤方偏移した線の 3 つの線が観察されます。赤方偏移した線と青方偏移した線の平均が、変位していない輝線の波長と比較されます。Ives と Stilwell が測定した差は、実験的限界内で、特殊相対性理論によって予測された効果と一致しました。^{[p 7]}

アイブスとスティルウェルの実験のその後の繰り返しでは、青方偏移および赤方偏移した粒子ビーム放射の平均を測定するために別の戦略が採用されました。最近の実験のいくつかでは、現代の加速器技術を使用して、2 つの反対方向に回転する粒子ビームを観測できるようにしました。他の繰り返しでは、高速で移動する粒子ビームから放出されるガンマ線のエネルギーが、粒子ビームの方向に対して反対の角度で測定されました。これらの実験では、粒子ビームの波長をビームに対して直角に測定するわけではないため、一部の著者は、測定している効果を TDE ではなく「2 次ドップラー シフト」と呼ぶことを好みました。^{[p 8] [p 9]}

粒子加速器技術の出現により、アイブスとスティルウェルが利用できたものよりはるかに高いエネルギーの粒子ビームを生成できるようになった。これにより、アインシュタインが当初思い描いた通り、すなわち粒子ビームを 90 度の角度で直接観察することによって、横方向ドップラー効果のテストを設計することが可能になった。たとえば、ハッセルカンプら (1979) は、 2.53×10 ⁸  cm/s から 9.28×10 ⁸ cm/sの速度で移動する水素原子から放出されるH α 線を観測し 、相対論的近似における第 2 次項の係数が 0.52±0.03 であることを発見した。これは理論値 1/2 と非常によく一致している。^{[p 10]}

回転プラットフォーム上でのTDEの直接的なテストは、核ガンマ線の放出と吸収のための非常に狭い共鳴線の生成を可能にするメスバウアー効果の発見によって可能になりました。 ^[17]メスバウアー効果の実験では、2×10 ⁴  cm/sのオーダーの放出体と吸収体の相対速度を使用してTDEを簡単に検出できることが証明されています。これらの実験には、Hay et al. (1960)、^{[p 11]} Champeney et al. (1965)、^{[p 12]}、Kündig (1963) ^{[p 3]によって行われた実験が含まれます。}

横方向ドップラー効果と特殊相対性理論の運動学的時間の遅れは密接に関連しています。TDE の検証はすべて運動学的時間の遅れの検証を表し、運動学的時間の遅れの検証のほとんどは TDE の検証も表しています。オンライン リソース「特殊相対性理論の実験的根拠とは何か?」には、長年にわたって特殊相対性理論のさまざまな側面を検証するために使用されてきた多くのテストが、簡単な解説とともに文書化されています。^[18] Kaivola ら (1985) ^{[p 13]}と McGowan ら (1993) ^{[p 14]}は、このリソースで時間の遅れの実験として分類されている実験の例です。これら 2 つは TDE のテストでもあります。これらの実験では、2 つのレーザーの周波数を比較しました。1 つは高速ビームのネオン原子遷移の周波数にロックされ、もう 1 つは熱ネオンの同じ遷移にロックされました。 1993 年版の実験では、時間の遅れ、つまり TDE が 2.3×10 ⁻⁶の精度で検証されました。

初年度の物理学の教科書では、音のドップラー効果はニュートン力学の観点から分析され、光や電磁気現象のドップラー効果は相対論的運動学の観点から分析されることがほとんどです。これにより、音響現象は光や電波とは異なる分析が必要であるという誤った印象を与えます。

音のドップラー効果に関する従来の分析は、正確な相対論的分析の低速近似を表しています。音の完全な相対論的分析は、実際には音と電磁気現象の両方に等しく適用できます。

図 10 の時空図について考えてみましょう。音叉 ​​(音源) と受信機の世界線の両方がこの図に示されています。音叉と受信機は O から始まり、その時点で音叉は振動し始め、波を発して負の x 軸に沿って移動し、受信機は正の x 軸に沿って移動し始めます。音叉は A に到達するまで動き続け、その時点で波の発散を停止します。つまり、波束が生成され、波束内のすべての波が受信機によって受信され、最後の波が B に到達します。音叉の参照フレームにおける波束の持続時間の固有時間は OA の長さであり、受信機の参照フレームにおける波束の持続時間の固有時間は OB の長さです。波が発せられた場合、 であり、 であり、ABの逆勾配はイベントBへの信号伝播速度 (つまり音速) を表します。したがって、次のように書くことができます。^[10]${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{s}={\frac {n}{|OA|}}}$${\displaystyle f_{r}={\frac {n}{|OB|}}}$

${\displaystyle c_{s}={\frac {x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}}}}$（音速）

${\displaystyle v_{s}=-{\frac {x_{A}}{t_{A}}}}$        ${\displaystyle v_{r}={\frac {x_{B}}{t_{B}}}}$      （送信機と受信機の速度）

${\displaystyle |OA|={\sqrt {t_{A}^{2}-(x_{A}/c)^{2}}}}$

${\displaystyle |OB|={\sqrt {t_{B}^{2}-(x_{B}/c)^{2}}}}$

${\displaystyle v_{s}}$より小さいと仮定します。そうでないと、媒体を通過する際に衝撃波が発生し、計算が無効になります。いくつかの定型的な代数により、周波数の比率が与えられます。 ${\displaystyle v_{r}}$${\displaystyle c_{s},}$

式9:    ${\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {|OA|}{|OB|}}}$ ${\displaystyle ={\frac {1-v_{r}/c_{s}}{1+v_{s}/c_{s}}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c)^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}}$

およびが に比べて小さい場合、上記の式は音に対する古典的なドップラー公式に簡約されます。 ${\displaystyle v_{r}}$${\displaystyle v_{s}}$${\displaystyle c}$

信号伝播速度が に近づくと、発信源と受信機の絶対速度と が、固定媒体への参照とは無関係に単一の相対速度に融合することが示されます。実際、相対論的縦ドップラーシフトの式である式1が得られます。 ^[10]${\displaystyle c_{s}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle v_{s}}$${\displaystyle v_{r}}$

図 10 の時空図を分析すると、発信元と受信機が視線に沿って直接移動する、つまり共線的に移動する一般的な式が得られます。

図11は2次元のシナリオを示しています。発信源は速度を持って移動します（発信時）。発信源は速度を持って受信機に向かって移動する信号を発信し、受信機は受信時に速度で移動しています。解析は、信号の速度が方向に依存しない座標系で実行されます。^[6]${\displaystyle \mathbf {v_{s}} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {v_{r}} }$${\displaystyle |\mathbf {C} |}$

発信器と受信器の適切な周波数の比率は

式10:    ${\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {1-{\frac {|\mathbf {v_{r}} |}{\mathbf {|C|} }}\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{r}} })}{1-{\frac {|\mathbf {v_{s}} |}{\mathbf {|C|} }}\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{s}} })}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c)^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}}$

先行比は古典的なドップラー効果の形をしており、平方根項は相対論的補正を表しています。音源のフレームに対する角度を考慮すると、方程式は式 7、アインシュタインの 1905 年のドップラー効果の公式に簡約されます。受信機のフレームに対する角度を考慮すると、方程式は式 6、前述のドップラーシフト方程式の別の形に簡約されます。^[6]${\displaystyle v_{s}=0}$${\displaystyle v_{r}=0}$

• ドップラー効果
• 微分ドップラー効果
• 相対論的ビーミング
• 赤方偏移
• ブルーシフト
• 時間の遅れ
• 重力による時間の遅れ
• 特殊相対性理論

• Moriconi, M (2006 年 11 月 1 日). 「ドップラー効果による特殊相対性理論」. European Journal of Physics . 27 (6): 1409–1423. arXiv : physics/0605204 . Bibcode :2006EJPh...27.1409M. doi :10.1088/0143-0807/27/6/015. S2CID  11347287.

• ワープ特殊相対性シミュレーター 相対論的ドップラー効果を示すコンピュータ プログラム。
• Kraus, Ute; Zahn, Corvin. 「宇宙時間旅行: 相対性理論の視覚化」。SpacetimeTravel.org 。ドイツ、ヒルデスハイム大学物理・天文学教育グループ。 2018年10月17日閲覧。