時空図

1 次元運動学の研究では、位置対時間グラフ (略して xt グラフと呼ばれる) は、運動を記述するのに役立つ手段を提供する。物体の位置以外の運動学的特徴は、線の傾きと形状によって確認できる。^{[ 1 ]}図 1-1 では、プロットされた物体は、原点から 6 秒間正の一定速度 (1.66 m/s) で移動し、5 秒間停止した後、7 秒間かけて非一定速度 (ただし負の速度) で原点に戻る。

時空図は、最も基本的なレベルでは、通常のptグラフの軸の方向を入れ替えた時間と位置のグラフにすぎません。つまり、縦軸は時間座標、横軸は空間座標の値を表します。特に特殊相対性理論（SR）で使用される場合、時空図の時間軸は光速cでスケーリングされることが多く、そのためctと表記されることがよくあります。これにより、対象となる物理量の次元が<時間>から<長さ>に変わり、空間軸（多くの場合xと表記される）に関連付けられた次元と一致させます。

異なる基準系にいる観測者によって測定された時空座標が互いにどのように比較されるかを容易に理解するために、設定を標準化して単純化することが有効です。2つの ガリレオ基準系（すなわち、従来の3次元空間系）SとS′（「Sプライム」と発音）は、それぞれ観測者OとO′がそれぞれの基準系で静止しているが、他方の基準系を速度± v で運動していると測定する場合、以下の条件を満たすときに標準構成にあると言われます。

• フレームSのx 、y、z軸は、フレームS′のそれぞれのプライム付き軸と平行になるように配置されている。
• フレームSとS′の原点は、フレームSでは時刻t = 0で、フレームS′では時刻t ′ = 0で一致する。 ^{[ 2 ]： 107}
• フレームS′は、フレームSで測定された速度vで、フレームSのx方向に移動する。

この空間設定は図 1-2に示されており、時間座標はそれぞれtとt'という量として注釈されています。

さらに簡略化すると、観測された運動の方向だけを考慮し、他の2つの空間成分を無視すれば十分な場合が多く、上記で紹介したように、 xとctを2次元時空図にプロットすることができる。

図1-3のx軸とct軸で示された黒色の軸は、静止し ている観測者（x = 0の位置にいる）の座標系を表しています。この観測者の世界線は、ct時間軸と一致します。この軸に平行な各線は、静止しているものの別の位置にある物体に対応します。青色の線は、右方向に一定速度vで移動する物体（例えば、移動する観測者）を表しています。

ct ′とラベル付けされたこの青い線は、2番目の観測者の時間軸と解釈できます。両方の観測者にとって同じであるx軸と合わせて、これは彼らの座標系を表します。基準フレームは標準構成であるため、両方の観測者は座標系の原点の位置について一致しています。移動する観測者の軸は互いに垂直ではなく、時間軸の目盛りは引き伸ばされています。特定のイベントの座標を決定するには、2つの軸のいずれかにそれぞれ平行な2本の線をイベントを通って引いて、軸との交点を読み取る必要があります。

図の例としてイベント A の位置と時間を決定すると、予想どおり、両方の観測者で同じ時間になります。位置については、移動する観測者がt = 0からイベント A の位置に近づいているため、異なる値になります。一般的に、 x軸に平行な線上のすべてのイベントは、両方の観測者で同時に発生します。共通の位置軸の存在をモデル化した普遍的な時間t = t ′が 1 つだけ存在します。一方、2 つの異なる時間軸のため、観測者は通常、同じイベントに対して異なる座標を測定します。このxとtからx ′とt ′への、またその逆のグラフィカルな変換は、いわゆるガリレオ変換によって数学的に記述されます。

ミンコフスキー図という用語は、特殊相対性理論でよく用いられる特定の形式の時空図を指します。ミンコフスキー図は、ミンコフスキー空間の一部を2次元でグラフィカルに表現したもので、通常は空間が1次元に縮小されています。これらの図の測定単位は、ある事象における光円錐が、その事象を通る傾きがプラスマイナス1の線で構成されるように取られます。^{[ 3 ]}水平線は、原点に静止している観測者にとっての同時事象の通常の概念に対応します。

ミンコフスキー図は、ローレンツ変換の結果を示しています。ローレンツ変換は、イベント(0, 0)に静止している観測者がx軸に沿って速度を変える2 つの慣性参照系を関連付けます。図 2-1 に示すように、観測者の新しい時間軸は、以前の時間軸と角度αをなします ( α < π / 4 )。新しい参照系では、同時発生イベントは、以前の同時発生線に対して α だけ傾いた線に平行になります。これが新しいx軸です。元の軸セットとプライム付きの軸セットの両方は、ミンコフスキー内積または相対論的ドット積に関して直交するという性質を持っています。時間軸 (ct) 上の元の位置は、(t) がゼロである相互時間軸 (x) 上の元の位置 A に垂直です。時間軸が合流するこの時間軸は、2 つの異なる位置があっても同じ時間軸上に配置されます。 2 つの位置は、A の元の位置上の 45 度のイベント ライン上にあります。したがって、イベント ライン上の位置 A と位置 A' で (t)=0 の場合、A' を位置 A に戻します。 

αの大きさがどうであれ、図2-2に示すように、直線ct = xは普遍二等分線を形成します。 

ミンコフスキー図では、測定時間の単位が係数cでスケーリングされ、 xの 1 単位がtの 1 単位に等しくなるような図をよく見かけます。このような図の単位は、

• 長さ約30センチメートル、ナノ秒
• 天文単位、約8分19秒（499秒）間隔
• 光年と年
• ライトセカンドとセカンド

したがって、光路は、軸間の二等分線に平行な線で表されます。

x軸とx ′軸の間の角度αは、時間軸ctとct ′の間の角度と同一になります。これは、光速は観測者の相対運動に関係なくすべての観測者にとって同じであるという特殊相対性理論の第二公準から導かれます（下記参照）。角度αは^{[ 4 ]}で与えられます。

$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {v}{c}}=\beta .}$$

xとtからx ′とt ′への対応するブースト、およびその逆は、ローレンツ変換によって数学的に記述され、次のように書くことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma (ct-\beta x),\\x'&=\gamma (x-\beta ct)\\\end{aligned}}}$$

どこ$\gamma = (1 - \beta ^ 2)^ 1/2 \textstyle$はローレンツ因子です。ローレンツ変換を適用すると、ブーストされたフレームで得られる時空軸は常に 一対の共役双曲線の共役直径に対応します。

図2-3に示すように 、ブーストされた時空軸とブーストされていない時空軸は、一般に単位長さが異なります。Uがそれぞれct軸とx軸上の単位長さである場合、 ct ′軸とx ′軸上の単位長さは次のようになります。^{[ 5 ]}

$${\displaystyle U'=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}\,.}$$

ct軸はSに静止している時計の世界線を表し、Uはこの世界線上で発生する2つのイベント間の時間間隔、すなわちこれらのイベント間の固有時間を表します。x軸上の長さUは、 Sに静止している棒の静止長、すなわち固有長を表します。同様の解釈は、S ′に静止している時計と棒のct ′軸およびx ′軸上の距離U ′にも適用できます。

アルベルト・アインシュタインは1905年に特殊相対性理論を発表し^{[ 6 ]} 、ヘルマン・ミンコフスキーは1908年にその図解を提供した^{[ 7 ]。}

ミンコフスキーの1908年の論文には3つの図があり、最初はローレンツ変換、次に光円錐による平面の分割、そして最後に世界線の図解を示した。^{[ 7 ]}最初の図では単位双曲線の枝が用いられた。$t^2-x^2=1$速度に応じて固有時間の単位の軌跡を示すことで、時間の遅れを説明する。 2 番目の図は、空間を較正するための共役双曲線を示しており、同様の伸縮がフィッツジェラルド収縮の印象を与える。 1914 年に、ルドヴィク・シルベルシュタイン^{[ 8 ]}は「ミンコフスキーによるローレンツ変換の表現」の図を含めた。 この図には、単位双曲線、その共役、および一対の共役直径が含まれていた。 1960 年代以降、このより完全な構成のバージョンはミンコフスキー図と呼ばれ、特殊相対性理論の変換幾何学の標準的な図として使用されている。 ET ウィテカーは、相対性原理は、ミンコフスキー図で時間に対してどの双曲線半径が選択されるかの恣意性に等しいと指摘している。 1912年、ギルバート・N・ルイスとエドウィン・B・ウィルソンは、合成幾何学の手法を用いて、ミンコフスキー図を持つ非ユークリッド平面の性質を開発した。^{[ 9 ] [ 10 ]}

テイラーとウィーラーが『時空物理学』（1966年）を執筆した際、彼らは時空幾何学にミンコフスキー図という用語を使用しなかった。その代わりに、1908年のミンコフスキーの革新全体による哲学への貢献を認めた。^{[ 11 ]}

図3-1：中央フレームからの視点

図3-2：対称図

複数の著者が、静止状態と運動状態の間に対称性が明らかになる参照系（「中央フレーム」）が存在することを示した。^{[ 12 ]}このフレームでは、他の2つのフレームは同じ速度で反対方向に移動している。このような座標を使用すると、両方の軸の長さと時間の単位が同じになる。β = ⁠ v / c ⁠の場合、$\gamma = (1 - \beta ^ 2)^ 1/2 \textstyle$の間に与えられる${\displaystyle S}$そして$\displaystyle S^{\prime }}$すると、これらの式は、その中央フレームS ₀の値と次のように関連付けられます。^{[ 12 ] [ 13 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(1)&\beta &={\frac {2\beta _{0}}{1+{\beta _{0}}^{2}}},\\[3pt]&(2)&\beta _{0}&={\frac {\gamma -1}{\beta \gamma }}.\end{aligned}}}$$

例えば、β = 0.5の場合${\textstyle S}$そして$\textstyle S^{\prime }}$すると、(2)により、それらはそれぞれの中央フレームS ₀で約±0.268cずつ反対方向に移動している。一方、S ₀でβ ₀ = 0.5の場合、(1)により、間の相対速度は${\displaystyle S}$そして$\displaystyle S^{\prime }}$自身の静止系では0.8 cです。${\textstyle S}$そして$\textstyle S^{\prime }}$これは、中央フレームの直交軸に関してtan α = β ₀を使用する通常の方法に従って行われます(図 3-1)。

しかし、このような対称図を描く場合、中央フレームとβ ₀に全く言及しなくても、図の関係を導き出すことができることが判明しました。代わりに、相対速度β = ⁠ v / c ⁠ は${\textstyle S}$そして$\textstyle S^{\prime }}$以下の構成で直接使用でき、同じ結果が得られます。^{[ 14 ]}

φ がct ′とctの軸間の角度(またはxとx ′の間の角度) であり、θ がx ′とct ′の軸間の角度である場合、次のように与えられます。^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi =\cos \theta &=\beta ,\\\cos \varphi =\sin \theta &={\frac {1}{\gamma }},\\\tan \varphi =\cot \theta &=\beta \gamma .\end{aligned}}}$$

図3-2から、2つの作図方法が明らかです。1つは、x軸をct ′軸に垂直に描き、 x ′軸とct軸を角度φで追加する方法、もう1つは、x ′軸をct ′軸に対して角度θで描き、x軸をct ′軸に垂直に、ct軸をx ′軸に垂直に追加する方法です。

ミンコフスキー図では、ミンコフスキー図の軸の単位長さ間の歪み係数のため、ページ上の長さを直接比較することはできません。特に、${\textstyle U}$そして$\textstyle U^{\prime }}$ミンコフスキー図において、それぞれ静止座標系の軸と運動座標系の軸の単位長さを とすると、2 つの単位長さは、次の式によって互いに相対的に歪められる。

$${\displaystyle U^{\prime }=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}$$

対照的に、対称的なローデル図では、${\textstyle S}$そして$\textstyle S^{\prime }}$フレーム軸は中央フレームに対して同じ係数で歪められているため、単位長さは同一です。これは、ローデル時空図の場合、ページ上に表示される異なるフレーム間の時空長さを直接比較できることを意味します。ローデル図の対称性により、フレーム間の単位長さのスケーリングや変換は不要です。

• マックス・ボルン（1920）は、 2本の棒と2つの時計が反対方向に動く対称的な場合における長さの収縮と時間の膨張を示すために、ct ′軸をx軸にほぼ垂直に、 ct軸をx ′軸に垂直に配置してミンコフスキー図を描いた。^{[ 18 ]}
• ドミトリー・ミリマノフ（1921）は、2つの相対的に動くフレームに対して常に中央フレームが存在することを示し、ローレンツ変換からそれらの間の関係を導き出した。しかし、彼は図によるグラフィカルな表現は示さなかった。^{[ 12 ]}
• 対称図は、1921 年にPaul GrunerがJosef Sauter と共同で 2 つの論文で体系的に開発しました。長さの収縮や時間の膨張などの相対論的効果、および共変ベクトルと反変ベクトルとのいくつかの関係が彼らによって実証されました。 ^{[ 15 ] [ 16 ]} Gruner は、その後の論文 (1922 ～ 1924 年) でこの方法を拡張し、Mirimanoff の扱いにも功績を認めました。^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}
• 対称ミンコフスキー図の構成は、後に複数の著者によって独立して再発見されました。たとえば、1948 年以降、エンリケ・ロエデル・パルンボは、スペイン語で一連の論文を発表し、そのようなアプローチの詳細を示しました。^{[ 25 ] [ 26 ]} 1955 年、アンリ・アマールもそのような関係を示す論文を発表し、1957 年の次の論文でロエデルに功績を認めました。^{[ 27 ] [ 28 ]}教科書の著者の中には、対称ミンコフスキー図をロエデル図と表記する人もいます。^{[ 14 ] [ 17 ]}

相対論的時間の遅れとは、観測者に対して相対的に運動する時計（静止系における固有時間 を示す）が、観測者よりも遅く進むという事実を指します。この状況は、図4-1の対称的なローデル図に示されています。ローデル図は対称的な性質を持つため、ページ上の時空の長さを直接比較できることに注意してください。

図 4-2では、黒軸で示される基準系を持つ観測者は、原点OからAに向かって移動すると仮定します。移動する時計は青軸で示される基準系を持ち、OからBに向かって移動します。黒軸の観測者にとって、Aで発生する事象と同時に起こるすべての事象は、その空間軸に平行な直線上にあります。この直線はAとBを通るため、黒軸の観測者の基準系ではAとBは同時です。しかし、黒軸の観測者に対して相対的に移動する時計は、青軸に沿って時間を刻みます。これはOからBまでの距離で表されます。したがって、黒軸のAにいる観測者は、自分の時計がOからAまでの距離を読み取っていることに気づき、自分に対して相対的に移動する時計がOからBまでの距離を読み取っていることに気づきます。OからBまでの距離はOからAまでの距離よりも小さいため、自分に対して相対的に移動する時計で経過した時間は、自分の時計で経過した時間よりも小さいと結論付けます。

時計と共にOからBへと移動した別の観測者は、黒軸の時計はまだCに到達したばかりであり、したがって進行速度が遅いと主張するだろう。こうした一見矛盾する主張の理由は、異なる場所で同時に起こっている事象の捉え方が異なるためである。相対性原理によれば、どちらが正しいかという問いには答えがなく、そもそも意味をなさない。

相対論的長さ収縮とは、観測者に対して相対的に運動する定規（静止系における固有長 を示す）が収縮／短縮して見える現象を指します。この状況は、図4-3の対称的なローデル図で示されています。ローデル図は対称的な性質を持つため、ページ上の時空の長さを直接比較できることに注意してください。

図4-4では、観測者は再びct軸に沿って移動すると仮定します。観測者に対して相対的に移動する物体の端点の世界線は、ct ′軸とAとBを通る平行線に沿って移動すると仮定します。この観測者にとって、 t = 0における物体の端点はOとAです。物体と共に移動する2番目の観測者にとっては、物体は静止しているため、t ′ = 0における物体の固有長はOBです。OA < OBであるため、最初の観測者にとって物体は収縮しています。

2番目の観察者は、1番目の観察者が物体の端点をそれぞれOとAで評価したため、異なる時点で評価したことになり、その間の自身の運動によって誤った結果が生じたと主張するだろう。2番目の観察者が、端点がct軸に沿って移動し、CとDを通る平行線を持つ別の物体の長さを調べたとしても、同様にこの物体はODからOCまで縮んだと結論づけるだろう。それぞれの観察者は、他の観察者と共に移動する物体が縮んだと推定する。この一見矛盾した状況は、ミンコフスキー図による分析で示されるように、同時性の相対性の結果である。

これらの考察すべてにおいて、両方の観測者は、それぞれの視点から見た事象の実際の発生時刻を決定するために、光の速度と観測対象までの距離を考慮に入れるものと仮定した。

特殊相対性理論のもう一つの公準は、光速不変性です。これは、慣性系にいる観測者が、自身に対する真空中の光速を測定すると、自身の運動や光源の運動に関係なく、常に同じ値が得られるというものです。この記述は一見矛盾しているように見えますが、これを導き出す微分方程式から直ちに導かれ、ミンコフスキー図もこれと一致します。また、相対性理論が発見される以前は、光子は検出不可能な媒質を通過する波であると考えられていたため、謎とされていたマイケルソン・モーリー実験の結果も説明できます。

原点を異なる方向へ通過する光子の世界線については、x = ctとx = − ctが成り立ちます。つまり、このような世界線上の任意の位置は、x軸とct軸上の絶対値が等しいステップに対応します。軸が傾いた座標系で座標を読み取る規則から、2 つの世界線はx軸とct軸の角の二等分線であることがわかります。図 4-5 に示すように、ミンコフスキー図では、これらがx′軸とct ′軸の角の二等分線でもあることが示されています。つまり、両方の観測者は、両方の光子に対して同じ速度cを測定します。

任意の速度を持つ観測者に対応する座標系を、このミンコフスキー図に追加することができます。これらのすべてのシステムにおいて、両方の光子世界線は軸の角度二等分線を表します。相対速度が光速に近づくほど、軸は対応する角度二等分線に近づきます。${\textstyle x}$光子世界線よりも、時間軸は常に平坦で、時間軸はより急勾配である。両軸の目盛りは常に同一であるが、通常は他の座標系の目盛りとは異なる。

原点を通る直線で、両方の光子の世界線よりも傾斜が急なものは、光速よりも遅い速度で移動する物体に対応します。このことが物体に当てはまる場合、これらの光子の世界線は任意の慣性系における角度の二等分線であるため、すべての観測者の視点から当てはまります。したがって、原点より上で両方の光子の世界線の間にある任意の点は、光速よりも遅い速度で到達でき、原点と因果関係を持つことができます。この領域は絶対的な未来であり、観測者に関係なく、原点によって表される出来事よりも後にそこで起こる出来事は、図 4-6のミンコフスキー図から明らかです。

同様の議論に従えば、原点より下、光子世界線の間の領域は、原点に対する絶対的な過去である。そこで起こる出来事はすべて間違いなく過去に属し、原点での結果の原因となり得る。

このような事象のペア間の関係は、すべての観測者にとって時間距離がゼロより大きいことから、時間的関係と呼ばれます。これら2つの事象を結ぶ直線は、常に、同じ場所で事象が発生する可能性のある観測者の時間軸となります。光速のみで結び付けられる2つの事象は、光的関係と呼ばれます。

原理的には、ミンコフスキー図に空間の次元をさらに加えることで、三次元表現が可能となる。この場合、未来と過去の領域は、原点で頂点が接する円錐となる。これらは光円錐と呼ばれる。

同様の議論に従えば、原点を通り、光子の世界線よりも水平に近いすべての直線は、観測者の速度に関係なく、光速よりも速く移動する物体または信号に対応することになる。したがって、光円錐の外側の事象は、光信号であっても、光速よりも遅く移動する物体や信号であっても、原点から到達することはできない。このような事象のペアは、すべての観測者にとってゼロとは異なる有限の空間距離を持つため、空間的と呼ばれる。一方、このような事象を結ぶ直線は、それらが同時に発生する可能性のある観測者の空間座標軸に常に一致する。この座標系の速度を両方向にわずかに変化させることで、観測者がこれらの事象の時系列順序が異なると推定する2つの慣性参照系を常に見つけることができる。

図4-7のOからAへ光速よりも速く移動する物体があるとすると、 OからAへ移動する物体を観測する任意の観測者に対して、別の観測者（最初の観測者に対して光速よりも遅い速度で移動する観測者）が存在し、その観測者にとっては物体はAからOへ移動するように見える。どちらの観測者が正しいかという問いには唯一の答えはなく、したがって物理的に意味をなさない。このような移動する物体や信号は、因果律に反する。

また、光速よりも速く信号を送る一般的な技術的手段があれば、発信者自身の過去に情報を送ることも可能になります。図では、x - ct系における観測者 O が、光速よりも速く移動するメッセージを A に送信します。A では、x′-ct′ 系に移動している別の観測者がそれを受信し、再び光速よりも速く送信して B に到達させます。しかし、B は O に対して過去にあります。このプロセスの不条理さは、両方の観測者が後にメッセージを全く受信していないことを確認した際に明らかになりますが、ミンコフスキー図に図示されているように、すべてのメッセージはもう一方の観測者に向けて送信されていました。さらに、観測者を光速まで加速させることが可能であれば、その観測者の空間軸と時間軸は角度の二等分線と一致します。時間の遅れにより、観測者にとって時間が事実上停止するという事実と一致して、座標系は崩壊します。

これらの考察から、光速という限界は時空の性質の結果であり、技術的に不完全な宇宙船などの物体の性質の結果ではないことがわかる。したがって、光速を超える運動の禁止は、電磁波や光とは特に関係がなく、時空の構造の結果として生じるのである。