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物理学において、同時性の相対性とは、遠隔同時性、すなわち空間的に離れた2つの事象が同時に発生するかどうかは絶対的なものではなく、観測者の基準系に依存するという概念である。この可能性は1900年に数学者アンリ・ポアンカレによって提起され、その後、特殊相対性理論の中心的な考え方となった。
アルベルト・アインシュタインが提唱した特殊相対性理論によれば、空間的に離れた2つの異なる事象が同時に発生したと断言することは不可能である。ある基準系が空間上の異なる地点にある2つの事象に全く同じ時刻を割り当てたとしても、その基準系に対して相対的に運動している基準系は、一般的に2つの事象に異なる時刻を割り当てる（ただし、運動方向が両事象の位置を結ぶ線に完全に垂直である場合は例外である）。
同時性の相対性は、時間の膨張と長さの収縮が導き出される概念的な基礎である。
1892年と1895年に、ヘンドリック・ローレンツは負のエーテルドリフト実験を説明するために「ローカルタイム」 t ′ = t − v x / c 2と呼ばれる数学的方法を使用しました。 [ 1 ]しかし、ローレンツはこの効果の物理的な説明を与えませんでした。これは、1898年に同時性の慣習的な性質をすでに強調し、あらゆる方向で光速が一定であると仮定するのが便利であると主張したアンリ・ポアンカレによって行われました。しかし、この論文には、ローレンツの理論や、異なる運動状態にある観測者に対する同時性の定義の可能性のある違いについての議論は含まれていませんでした。[ 2 ] [ 3 ] これは、1900年にポアンカレがエーテル内で光速が不変であると仮定してローカルタイムを導出したときに行われました。 「相対運動の原理」により、エーテル内の運動する観測者も、自分が静止しており、光速がすべての方向で一定であると仮定します（v/cの一次のオーダーでのみ）。したがって、光信号を使用して時計を同期する場合、信号の通過時間のみを考慮し、エーテルに対する自分の運動は考慮しません。そのため、運動する時計は同期しておらず、「真の」時間を示しません。ポアンカレはこの同期誤差がローレンツの地方時間に対応すると計算しました。[ 4 ] [ 5 ] 1904年、ポアンカレは相対性原理、「地方時間」、および光速不変性の間の関連性を強調しましたが、その論文での推論は定性的かつ推測的な方法で提示されました。[ 6 ] [ 7 ]
アルベルト・アインシュタインは1905年に同様の方法を用いて、 v/cのすべての次数に対する時間変換、すなわち完全なローレンツ変換を導出した。ポアンカレは1905年より前に完全な変換を得ていたが、その年の論文では同期手順については言及していなかった。この導出は完全に光速不変性と相対性原理に基づいていたため、アインシュタインは運動する物体の電気力学においてはエーテルは不要であると指摘した。したがって、ローレンツとポアンカレの「真の」時間と「局所的な」時間の分離は消滅し、すべての時間が等しく有効であるため、長さと時間の相対性は自然な帰結となる。[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]
1908年、ヘルマン・ミンコフスキーは、ミンコフスキー空間と呼ばれる宇宙モデルにおいて、粒子の世界線[ 11 ]の概念を導入した。ミンコフスキーの見解では、素朴に考えられていた速度の概念はラピディティに置き換えられ、同時性の通常の意味は、ラピディティに関連付けられた世界線に対する空間方向の双曲直交性に依存するようになる。すると、すべての慣性系はラピディティと同時超平面を持つことになる。
1987年、ロバート・ゴールドブラットは『直交性と時空幾何学』を出版し、ミンコフスキーが同時性のために構築した構造を直接的に取り上げた。[ 12 ] 2006年、マックス・ジャマーはプロジェクトMUSEを通じて『同時性の概念：古代からアインシュタイン、そしてその先へ』を出版した。この本は第6章「同時性の相対論的概念への移行」で最高潮に達する。ジャマーは、エルンスト・マッハがニュートン物理学の絶対時間を脱神話化したと指摘している。
当然ながら、数学的概念が物理的解釈に先行した。例えば、共役双曲線の共役直径は空間と時間に関連付けられる。相対性原理は、平面上で空間と時間を表すためにどのペアを取るかの任意性として表現できる。[ 13 ]
アインシュタインの1905年の論文（「運動する物体の電気力学について」）[ 8 ]は、おなじみの列車と土手の思考実験を通して同時性の相対性を提示したわけではない。代わりに、彼は時間がどのように測定されるか、また特定の慣性系内で遠く離れた時計がどのように定義され同期されるかを綿密に調べることから、それを操作的に導き出した。
ニュートンは、絶対時間を宇宙全体で均一に進行する一種の流れとして信じていました。しかし、ニュートンは絶対時間は本質的に知覚できないものであることを認めていました。[ 14 ] 対照的に、アインシュタインは、時間とは、私たちが「時計」と呼ぶ人工物を使用して、基準系内で合意された手順に従ってイベントに割り当てるものであると指摘しました。
「ローカル時間」は「座標時間」と区別されなければならない。独立した時計は、直接遭遇したイベントにのみタイムスタンプを適用できる。ローカル時間とは、これらのローカルタイムスタンプを指す。座標時間とは、他の場所で発生したイベントに適用されるラベルを指す。遠く離れたイベントに時間を割り当てるには、観測者は常に、遠く離れたイベントをローカルクロックの読み取り値に関連付ける何らかの規則を適用しなければならない。[ 15 ]
遠隔地の出来事に時刻を割り当てるためのあらゆる手順は、遠隔地の出来事と現地の時計との間の信号交換に依拠しなければならない。
実際には、光、より一般的には電磁放射が、観測されている中で最も速い伝搬速度を持つため、タイミング関係を確立するために使用されます。この伝搬速度は、慣性系間で不変であることが経験的に観測されています。[ 16 ]
時計の同期は運用上のタスクです。1905年にアインシュタインは同期を実行するための具体的な手順を提案しました。[ 8 ] [ 17 ]
たとえ時計が局所的に完璧であっても、同期は遠隔地の物理に関する仮定に依存しており、それは局所的な測定だけでは検証できません。特に、アインシュタイン同期の妥当性は[ 18 ]に依存します。
したがって、時計の同期は「慣習」の問題であり、物理世界に関する人間の直感と一致するため採用された、証明されていない要素を含む手順である。[ 19 ] [ 20 ]
アインシュタインは、まず自身の2つの公準を用いてローレンツ変換を導出した後、代数的に同時性の相対性を証明しました。ここではその証明は行いません。代わりに、 ローレンツ変換をグラフィカルに表現した時空図を用いて、同時性の相対性を説明します。
アインシュタインの分離した時計を同期させる手順は、同時性が絶対的なものではないという観察にすぐにつながります。図 4a では、A と B は基準系 S で静止している 2 人の観測者であり、X はx 軸に沿って 2 人の観測者の中間に位置する光源です。この図は、 ct が垂直軸を構成する座標系を示しています。ここで、光速cは時間の距離が空間の距離と同じスケールになるようにするスケーリング係数です。3 本の垂直線は「世界線」と呼ばれ、A、X、B の位置を時間の関数として示しています。A、X、B はこの基準系で静止しているため、世界線は垂直です。X がct = 0 で信号を発信するとします。信号は、 x軸に沿って速度cで前後に移動します。信号は、 x軸に対して ±45° の傾きを持つ 2 本の破線で表されます。信号が観測者AとBの位置に到達するのは同時である。なぜなら、信号と観測者AおよびBとの交点はctの値が同じだからである。[ 21 ]： 74-76
しかし、ここでA、X、BがすべてSに対して一定速度vでx方向に移動していると仮定します。図4bに示すように、これらの世界線は傾いており、このフレームにおける等速運動を反映しています。光速は不変であるため、Xから放出される信号は引き続き±45°の傾きを持つ破線で表されます。フレームSで測定すると、信号とAおよびBとの交点は明らかに同時ではありません。特に、Aは入射光パルスに向かって移動し、Bは光パルスから遠ざかっているため、信号はBに到達する前にAに到達します。しかし、A、X、Bと共に移動する観測者はこの結論に同意しません。彼らは自身の静止フレームでアインシュタインの手順を用いて時計を同期させているため、Xからの信号はAとBに同時に到達する必要があります。したがって、図 4bでは、この移動フレームで同時であるすべてのイベントの集合には、AとBでの2つの受信イベントが含まれなければなりません。これらのイベントを結ぶ直線（線AB）は、移動する観測者にとっての「等時間」を表します。[ 21 ]： 74-76
同時性の相対性は、アインシュタインの列車の思考実験を用いることで、時空図を用いなくても理解することができる。
アインシュタインの実験[ 22 ]では、1人の観測者が高速で走行する列車の車両の中央に座り、もう1人の観測者が列車が通過する際にプラットフォームに立っていると想定した。立っている観測者から測定すると、列車は同時に2つの雷に打たれるが、列車の移動軸に沿った異なる位置（列車の前後）で落雷を受ける。立っている観測者の慣性系では、空間的にずれているが同時に発生する3つの事象がある。それは、立っている観測者が移動中の観測者（つまり列車の中心）に向いていること、列車の前方に落雷があること、そして列車の後方にも落雷があることである。
事象は列車の進行方向に沿って発生するため、それらの時間座標は、走行中の列車の慣性座標系において異なる時間座標に投影されます。列車の進行方向と同じ空間座標で発生した事象は、進行方向と反対方向の座標で発生した事象よりも早く発生します。走行中の列車の慣性座標系では、これは、2人の観測者が互いに向き合う前に、雷が列車の車両の前面に落ちることを意味します。
この考え方を理解するための一般的な図は、1910年にダニエル・フロスト・コムストックが提案したものと同様の思考実験によって提供されています。 [ 23 ]この思考実験も、高速で走る列車の車両の中央にいる観察者と、列車が通過する際にプラットフォームに立っている別の観察者で構成されています。
二人の観察者がすれ違うまさにその時、列車の中央で閃光が放たれる。列車に乗っている観察者にとって、列車の前方と後方は光源から一定の距離にあるため、この観察者によれば、光は列車の前方と後方に同時に到達する。
一方、プラットフォームに立っている観測者から見ると、列車の後部は閃光が発せられた地点に向かって移動（追いつき）しており、前部はそこから遠ざかっている。特殊相対性理論の第二公準によれば、光の速度はあらゆる方向においてすべての観測者にとって同じであるため、列車の後部に向かう光は前部に向かう光よりも進む距離が短くなる。したがって、閃光は列車の両端に異なるタイミングで到達することになる。
この状況を時空図を用いて視覚化すると理解しやすいかもしれません。ある観測者に対して、t軸は空間座標xの原点によって時間的に描かれた点として定義され、垂直に描かれます。x軸は時刻t =0における空間内のすべての点の集合として定義され、水平に描かれます。光の速度はすべての観測者にとって同じであるという記述は、光源の速度と観測者の速度の相対的な関係に関わらず、光線を45°の直線として描くことで表されます。
図8では、列車の両端は灰色の線で描かれています。列車に乗っている観測者から見ると列車の両端は静止しているため、これらの線は単なる垂直線であり、時間的な動きは示していますが、空間的な動きは示していません。光の閃光は、45°の赤い線で示されています。2つの光の閃光が列車の両端に当たる点は、図上で同じ高さにあります。これは、これらの事象が同時に発生したことを意味します。
図9では、右方向に移動する列車の両端が平行線で示されています。光の閃光は列車の両端のちょうど中間地点で発せられ、再び2本の45°の直線を形成し、光速の不変性を表しています。しかし、この図では、光の閃光が列車の両端に当たる点は同じ高さではなく、同時ではありません。
同時性の相対性は、ローレンツ変換を用いて実証することができる。ローレンツ変換は、ある観測者が使用する座標と、その観測者に対して等速相対運動をしている別の観測者が使用する座標との関係を表す。
最初の観測者はt、x、y、zという座標を使用し、2 番目の観測者はt ′、x ′、y ′、y ′という座標を使用すると仮定します。ここで、最初の観測者は、2 番目の観測者がx方向に速度vで移動していると見ています。また、観測者の座標軸は平行で、原点が同じであると仮定します。このとき、ローレンツ変換は、座標の関係を次のように表します。 ここでcは光速です。最初の観測者のフレームで 2 つのイベントが同時に発生する場合、それらのt座標の値は同じになります。しかし、 x座標の値が異なる場合( x方向の位置が異なる場合)、 t ′座標の値が異なるため、そのフレームでは異なる時間に発生します。絶対同時性の失敗を説明する項はvx / c 2です。
方程式t ′ = constant は、 ( x ′ , t ′ )座標系において、2 番目の (移動) 観測者に対する「同時線」を定義します。同様に、方程式t = constantは、 ( x , t )座標系において、1 番目の (静止) 観測者に対する「同時線」を定義します。上記のローレンツ変換の式から、 t ′が定数となるのは、 t − vx / c 2 = constantの場合のみであることがわかります。したがって、 t を定数にする点の集合は、t ′ を定数にする点の集合とは異なります。つまり、同時とみなされる事象の集合は、比較を行うために使用される参照系に依存します。
グラフィカルには、同時とみなされる点の集合をプロットすると、観測者に依存する線が生成されるという事実によって、時空図上にこれを表現できます。時空図では、破線は、光速の4分の1の速度vで移動する観測者によって原点と同時にみなされる点の集合を表します。点線の水平線は、静止している観測者によって原点と同時にみなされる点の集合を表します。この図は、静止している観測者の( x、t )座標を使用して描画され、光速が 1 になるように、つまり光線がx軸から 45° の角度を持つ線で表されるようにスケーリングされています。以前の分析から、v = 0.25およびc = 1の場合、同時性の破線の方程式はt − 0.25 x = 0であり、 v = 0の場合、同時性の点線の方程式はt = 0です。
一般に、2番目の観測者は、t = x / vで表される最初の観測者の時空において世界線を描き、2番目の観測者（原点）にとっての同時事象の集合は、直線t = vxで表されます。双曲直交性の原理に従い、世界線と同時事象の傾きの間には乗法的な逆関係があることに注意してください。
上記のローレンツ変換の計算では、共動または「接線自由浮動フレーム」定義と呼ばれる拡張同時性（つまり、自分がその場にいなかったときにイベントがいつどこで発生するか）の定義を使用しています。この定義は、（加速フレームの接線自由浮動フレーム定義とは異なり）あらゆるイベントに一意の時間と位置を割り当てるレーダー時間/距離定義を使用することで、重力によって曲がった時空でのイベントや加速する観測者にも自然に拡張されます。[ 24 ]
レーダー時間による拡張同時性の定義は、重力を持つ物体が存在しない状況下で、加速が旅行者の時空をどのように歪めるかを視覚化するのにさらに役立ちます。これは右の図に示されており、一定の固有加速で往復する旅行者（赤い軌跡）が経験する、平坦な時空における事象のレーダー時間／位置等高線を表しています。このアプローチの注意点の1つは、遠方の事象の時間と場所は、その事象からの光が旅行者に到達するまで完全には定義されないということです。
ウィキブックスの特殊相対性理論
