複雑な時空

複素時空は、物理学における複素数と時空の概念を組み合わせた数学的枠組みです。この枠組みでは、時空の通常の実数値座標が複素数値座標に置き換えられます。これにより、時空の記述に虚数成分を含めることができ、量子場理論や弦理論など、物理学の特定の分野において興味深い意味合いを持つ可能性があります。

この概念は完全に数学的なものであり、物理学的な意味合いは一切含まれていないが、例えばウィック回転に代表されるように、ツールとして捉えるべきである。

時空が4次元を超えるという概念は、数学的に興味深いものです。物理学におけるその出現は、もともとは重力と電磁気力という基本的な相互作用を統一しようとする試みに根ざしています。これらの考えは弦理論やそれ以外の分野でも広く受け入れられています。複素時空の概念はそれほど注目されていませんが、ローレンツ・ディラック方程式やマクスウェル方程式と関連付けて検討されてきました。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}他のアイデアとしては、実時空をSU(2, 2)の複素表現空間にマッピングすることがあり、ツイスター理論を参照してください。^{[ 3 ]}

1919年、テオドール・カルツァは一般相対性理論の5次元拡張をアルベルト・アインシュタインに送りました^{[ 4 ]。}アインシュタインは、カルツァの理論から電磁気学の方程式が導き出されたことに感銘を受けました。1926年、オスカー・クラインは^{[ 5 ]}、カルツァの余剰次元は、空間のあらゆる点の中に円形のトポロジーが隠されているかのように、極めて小さな円に「丸まっている」可能性があると示唆しました。余剰次元は別の空間次元ではなく、 360°回転することで超次元を生み出す角度として考えることができます。この5次元理論はカルツァ＝クライン理論と呼ばれています。

1932年、アーサー・エディントンの指導を受けたMITのHsin P. Sohは、複雑な4次元リーマン幾何学の中で重力と電磁気を統一しようとする理論を発表した。線素ds ²は複素数値であり、実部は質量と重力に対応し、虚部は電荷と電磁気に対応する。通常の空間座標x、y、zと時間t自体は実数であり、時空は複素ではないが、接空間は複素であってもよい。^{[ 6 ]}

アインシュタインは1915年に一般相対性理論を発表してから数十年にわたり、重力と電磁気を統一し、両方の相互作用を説明する統一場理論を構築しようと試みた。第二次世界大戦末期には、アインシュタインは様々な種類の複雑な時空幾何学を考察し始めた。^{[ 7 ]}

1953年、ヴォルフガング・パウリは^{[ 8 ]}カルツァ＝クライン理論を6次元空間に一般化し、（次元削減を用いて） SU(2)ゲージ理論（量子力学では電弱相互作用に適用される）の本質を導き出した 。これはまるでクラインの「丸まった」円が無限小の超球の表面になったかのようである。

1975年、イェジー・プレバンスキーは「複雑なアルベルト・アインシュタイン方程式のいくつかの解」を発表した。^{[ 9 ]}

解析接続によって複素時空におけるアブラハム・ローレンツ力を定式化しようとする試みがなされてきた。^{[ 10 ]}

• 複雑なヌルテトラッドの構築
• 4ベクトル
• ヒルベルト空間
• ツイスタースペース
• 球面基底
• リーマン・ジルバーシュタインベクトル

• Goenner, Hubert FM (2014). 「統一場理論の歴史について パート II (約 1930 年 - 約 1965 年)」 . Living Reviews in Relativity . 17 (5) 5. Bibcode : 2014LRR....17....5G . doi : 10.12942/lrr-2014-5 . PMC 5255905 . PMID 28179849 .  
• カイザー、ジェラルド（2009）。「量子物理学、相対性理論、および複雑な時空：新しい統合に向けて」。arXiv ： 0910.0352 [ math -ph ]。