Summation method for some divergent series
収束 級数と 発散級数 の数学において 、 オイラー和は 和法の一種です。つまり、これは級数に値を割り当てる方法であり、部分和の極限を求める従来の方法とは異なります。級数 Σ a n が 与えられたとき、その オイラー変換が和に収束する場合、その和は元の級数の オイラー和 と呼ばれます 。発散級数の値を定義するために使用されるだけでなく、オイラー和は級数の収束を早めるためにも使用できます。
オイラー和は、(E, q ) で表される方法のファミリーに一般化できます。ここで、 q ≥ 0です。(E, 1) 和は通常のオイラー和です。これらの方法はすべて、 ボレル和 よりも厳密に弱いです 。q > 0 の場合、これらは アーベル和 とは比較になりません 。
意味 ある値 y に対して、特定の形式的な和に対応するオイラー和（その y の値に対して収束する場合）を次のように定義できます。
E
y
∑
j
=
0
∞
a
j
:=
∑
i
=
0
∞
1
(
1
+
y
)
i
+
1
∑
j
=
0
i
(
i
j
)
y
j
+
1
a
j
.
{\displaystyle _{E_{y}}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}a_{j}.}
すべての形式的な和が実際に収束する場合、オイラー和は左辺と等しくなります。ただし、オイラー和を使用すると 収束が加速され ます(これは交代級数に特に役立ちます)。また、発散する和に有用な意味を与えることもあります。
このアプローチを正当化するために、和を入れ替えた場合、オイラーの和は最初の級数に簡約されることに注目してください。
y
j
+
1
∑
i
=
j
∞
(
i
j
)
1
(
1
+
y
)
i
+
1
=
1.
{\displaystyle y^{j+1}\sum _{i=j}^{\infty }{\binom {i}{j}}{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}=1.}
この方法自体は、繰り返し適用しても改善できない。
E
y
1
E
y
2
∑
=
E
y
1
y
2
1
+
y
1
+
y
2
∑
.
{\displaystyle _{E_{y_{1}}}{}_{E_{y_{2}}}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum .}
例 形式的な和に y = 1 を使用すると、 P k が k 次 多項式である 場合に次の式が 得られます。 i > k の場合、内部和はゼロになることに注意してください 。この場合、オイラー和は無限級数を有限和に減らします。
∑
j
=
0
∞
(
−
1
)
j
P
k
(
j
)
{\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)}
∑
i
=
0
k
1
2
i
+
1
∑
j
=
0
i
(
i
j
)
(
−
1
)
j
P
k
(
j
)
,
{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}P_{k}(j),}
この特定の選択により、 （ リーマンゼータ関数 ） であるため、 ベルヌーイ数 の明示的な表現が提供されます。確かに、この場合の形式的な和は k が 正であるため発散しますが、ゼータ関数（または関連する ディリクレエータ関数）にオイラー和を適用すると、 閉じた形式 である（ 大域的に収束する級数 を参照 ）が得られます 。
P
k
(
j
)
:=
(
j
+
1
)
k
{\displaystyle P_{k}(j):=(j+1)^{k}}
B
k
+
1
k
+
1
=
−
ζ
(
−
k
)
{\displaystyle {\frac {B_{k+1}}{k+1}}=-\zeta (-k)}
1
1
−
2
k
+
1
∑
i
=
0
k
1
2
i
+
1
∑
j
=
0
i
(
i
j
)
(
−
1
)
j
(
j
+
1
)
k
{\displaystyle {\frac {1}{1-2^{k+1}}}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{k}}
∑
j
=
0
∞
z
j
=
∑
i
=
0
∞
1
(
1
+
y
)
i
+
1
∑
j
=
0
i
(
i
j
)
y
j
+
1
z
j
=
y
1
+
y
∑
i
=
0
∞
(
1
+
y
z
1
+
y
)
i
{\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }z^{j}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}z^{j}={\frac {y}{1+y}}\sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1+yz}{1+y}}\right)^{i}}
y を適切に選択すると （つまり、− 1 / ず ）この級数は に収束する 1 / 1 − z .
参照
参考文献
コレヴァール、ジェイコブ（2004）。タウバー理論：一世紀の発展。シュプリンガー 。ISBN 3-540-21058-X 。 ショーヤー、ブルース、ワトソン、ブルース (1994)。 ボレルの加算法:理論と応用 。オックスフォード大学出版局 。ISBN 0-19-853585-6 。 アポストル、トム M. (1974)。 数学的解析第 2 版 。アディソン ウェスリー ロングマン 。ISBN 0-201-00288-4 。
