数学関数の定数
数学
において 、 リーマンゼータ関数は 複素解析 における関数であり、 数論 でも重要です。 数学者 ベルンハルト・リーマン にちなんで名付けられ、 と表記されることが多い 。 引数が 1 より大きい 実数 の場合 、ゼータ関数は次の式を満たします
。 したがって、 などのさまざまな収束 無限級数
の和を提供できます。 整数引数の場合、 明示的または数値的に効率的な式が に存在し 、そのすべてが実数値を持ち、この例も含まれます。 この記事では、これらの式を値の表とともに示します。 また、導関数と、整数引数の場合のゼータ関数で構成されるいくつかの級数も含まれています。
ζ （ s ）
{\displaystyle \zeta (s)}
s
{\displaystyle s}
ζ （ s ） =
∑
ん = 1
∞
1
ん
s
。
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,.}
ζ （ 2 ） =
1
1
2
+
{\textstyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+}
1
2
2
+
{\textstyle {\frac {1}{2^{2}}}+}
1
3
2
+ … 。
{\textstyle {\frac {1}{3^{2}}}+\ldots \,.}
ζ （ s ）
{\displaystyle \zeta (s)}
が 実部が 1 より大きい 複素数 である 場合にも、上 と同じ式が成り立ち、無限和が依然として収束することが保証されます。ゼータ関数は、 における 単純な極 を除いて、 解析接続 によって 複素平面 全体に拡張できます。 複素導関数は このより一般的な領域に存在するため、ゼータ関数は 有理型関数 に なります。上式は、 のこれらの拡張された値には適用できなくなり 、対応する和は発散します。たとえば、完全なゼータ関数は に存在します (したがって、そこでは有限です) が、対応する級数は になり、 その 部分和は 無限に大きくなります。
s
{\displaystyle s}
s
{\displaystyle s}
s = 1
{\displaystyle s=1}
s
{\displaystyle s}
s = − 1
{\displaystyle s=-1}
1 + 2 + 3 + … 、
{\textstyle 1+2+3+\ldots \,,}
以下に挙げるゼータ関数の値には、 ζ ( s ) = 0 となり 、いわゆる 自明な零点 を構成する、負の偶数 ( s = −2 、 −4 など ) における関数値が含まれます。 リーマンゼータ関数の 記事には、複素平面の連続した長方形領域上で関数がどのように変化するかを示すカラープロットが含まれています。より広い平面における非自明な零点の特徴付けの成功は、リーマン予想 のため、数論において重要です 。
0と1におけるリーマンゼータ関数 ゼロ のとき 、
ζ （ 0 ） =
B
1
−
= −
B
1
+
= −
1 2
{\displaystyle \zeta (0)={B_{1}^{-}}=-{B_{1}^{+}}=-{\tfrac {1}{2}}\!}
1には極 がある ので、 ζ (1)は有限ではないが、左と右の極限は次のようになる。
これは1次の極なので、 複素留数を持つ。
リム
ε →
0
±
ζ （ 1 + ε ） = ± ∞
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{\pm }}\zeta (1+\varepsilon )=\pm \infty }
リム
ε → 0
ε ζ （ 1 + ε ） = 1 。
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \zeta (1+\varepsilon )=1\,.}
正の整数
正の整数でも 偶数の正の整数については、 ベルヌーイ数 との関係があります 。
ん
{\displaystyle n}
B
ん
{\displaystyle B_{n}}
ζ （ ん ） = （ − 1
）
ん 2
+ 1
（ 2 π
）
ん
B
ん
2 （ ん ！ ）
。
{\displaystyle \zeta (n)=(-1)^{{\tfrac {n}{2}}+1}{\frac {(2\pi )^{n}B_{n}}{2(n!)}}\,.}
の計算は バーゼル問題 として知られています 。 の値は、物理学における シュテファン・ボルツマンの法則 と ウィーン近似 に関連しています 。 最初のいくつかの値は次のように与えられます。
ζ
(
2
)
{\displaystyle \zeta (2)}
ζ
(
4
)
{\displaystyle \zeta (4)}
ζ
(
2
)
=
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
=
π
2
6
ζ
(
4
)
=
1
+
1
2
4
+
1
3
4
+
⋯
=
π
4
90
ζ
(
6
)
=
1
+
1
2
6
+
1
3
6
+
⋯
=
π
6
945
ζ
(
8
)
=
1
+
1
2
8
+
1
3
8
+
⋯
=
π
8
9450
ζ
(
10
)
=
1
+
1
2
10
+
1
3
10
+
⋯
=
π
10
93555
ζ
(
12
)
=
1
+
1
2
12
+
1
3
12
+
⋯
=
691
π
12
638512875
ζ
(
14
)
=
1
+
1
2
14
+
1
3
14
+
⋯
=
2
π
14
18243225
ζ
(
16
)
=
1
+
1
2
16
+
1
3
16
+
⋯
=
3617
π
16
325641566250
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[4pt]\zeta (4)&=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\\[4pt]\zeta (6)&=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\\[4pt]\zeta (8)&=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\\[4pt]\zeta (10)&=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\\[4pt]\zeta (12)&=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}\\[4pt]\zeta (14)&=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}\\[4pt]\zeta (16)&=1+{\frac {1}{2^{16}}}+{\frac {1}{3^{16}}}+\cdots ={\frac {3617\pi ^{16}}{325641566250}}\,.\end{aligned}}}
極限をとると 、 が得られます 。
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
ζ
(
∞
)
=
1
{\displaystyle \zeta (\infty )=1}
正の偶数におけるゼータとベルヌーイ数の関係は次のように表される。
A
n
ζ
(
2
n
)
=
π
2
n
B
n
{\displaystyle A_{n}\zeta (2n)=\pi ^{2n}B_{n}}
ここで 、 および は すべての偶数 に対する整数です。これらは、 それぞれ OEIS の 整数列 OEIS :A002432 および OEIS :A046988 で与えられます。これらの値の一部を以下に示します。
A
n
{\displaystyle A_{n}}
B
n
{\displaystyle B_{n}}
n
{\displaystyle n}
を上記
の係数 とすると、
再帰的に次の式が成り立ちます。
η
n
=
B
n
/
A
n
{\displaystyle \eta _{n}=B_{n}/A_{n}}
π
2
n
{\displaystyle \pi ^{2n}}
ζ
(
2
n
)
=
∑
ℓ
=
1
∞
1
ℓ
2
n
=
η
n
π
2
n
{\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{\ell ^{2n}}}=\eta _{n}\pi ^{2n}}
η
1
=
1
/
6
η
n
=
∑
ℓ
=
1
n
−
1
(
−
1
)
ℓ
−
1
η
n
−
ℓ
(
2
ℓ
+
1
)
!
+
(
−
1
)
n
+
1
n
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{1}&=1/6\\\eta _{n}&=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}{\frac {n}{(2n+1)!}}\end{aligned}}}
この再帰関係はベルヌーイ数 の再帰関係から導くことができる 。
また、もう一つの繰り返しがあります:
ζ
(
2
n
)
=
1
n
+
1
2
∑
k
=
1
n
−
1
ζ
(
2
k
)
ζ
(
2
n
−
2
k
)
for
n
>
1
{\displaystyle \zeta (2n)={\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)\quad {\text{ for }}\quad n>1}
これは、
d
d
x
cot
(
x
)
=
−
1
−
cot
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=-1-\cot ^{2}(x)}
非負の偶数におけるゼータ関数の値には 生成関数 が成り立つ。
この式は、 に対しても成り立つことを示して
いる
。
∑
n
=
0
∞
ζ
(
2
n
)
x
2
n
=
−
π
x
2
cot
(
π
x
)
=
−
1
2
+
π
2
6
x
2
+
π
4
90
x
4
+
π
6
945
x
6
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\zeta (2n)x^{2n}=-{\frac {\pi x}{2}}\cot(\pi x)=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}x^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{90}}x^{4}+{\frac {\pi ^{6}}{945}}x^{6}+\cdots }
lim
n
→
∞
ζ
(
2
n
)
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\zeta (2n)=1}
n
∈
N
,
n
→
∞
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n\rightarrow \infty }
|
B
2
n
|
∼
(
2
n
)
!
2
(
2
π
)
2
n
{\displaystyle \left|B_{2n}\right|\sim {\frac {(2n)!\,2}{\;~(2\pi )^{2n}\,}}}
奇数の正の整数 調和級数 の和は 無限大です。
ζ
(
1
)
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
=
∞
{\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty \!}
ζ (3) の 値は アペリーの定数 としても知られ 、電子の磁気回転比に関係しています。ζ (3) の値は プランク の 法則 にも現れます 。これらの値とその他の値は次のとおりです。
ζ (3) は 無理数（ アペリーの定理）であり、 ζ (2 n + 1) : n ∈
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
の無限個が無理数であること が知られている 。 [1]また、リーマンゼータ関数の値が正の奇数の特定の部分集合の要素で無理数であることを示す結果もある。たとえば、 ζ (5)、 ζ (7)、 ζ (9)、または ζ (11) の少なくとも 1 つは 無理数である。 [2]
ゼータ関数の正の奇数は物理学、特に反強磁性 XXXスピン鎖 の 相関関数 に現れる。 [3]
以下に示す恒等式のほとんどは、 Simon Plouffe によって提供されています。これらは、反復ごとにほぼ 3 桁の精度を実現し、非常に急速に収束するという点で注目に値し、高精度の計算に役立ちます。
プルーフは証明なしに以下の同一性を述べた。 [4] 後に他の著者によって証明された。 [5]
ζ （５）
ζ
(
5
)
=
1
294
π
5
−
72
35
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
−
1
)
−
2
35
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
+
1
)
ζ
(
5
)
=
12
∑
n
=
1
∞
1
n
5
sinh
(
π
n
)
−
39
20
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
−
1
)
+
1
20
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (5)&={\frac {1}{294}}\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\\\zeta (5)&=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh(\pi n)}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}-1)}}+{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}(e^{2\pi n}+1)}}\end{aligned}}}
ζ （７）
ζ
(
7
)
=
19
56700
π
7
−
2
∑
n
=
1
∞
1
n
7
(
e
2
π
n
−
1
)
{\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}(e^{2\pi n}-1)}}\!}
合計はランバート級数 の形式になっていることに注意してください 。
ζ （2 ん + 1) 数量を定義することによって
S
±
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
(
e
2
π
n
±
1
)
{\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}(e^{2\pi n}\pm 1)}}}
一連の関係は次の形式で表すことができる。
0
=
A
n
ζ
(
n
)
−
B
n
π
n
+
C
n
S
−
(
n
)
+
D
n
S
+
(
n
)
{\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}+C_{n}S_{-}(n)+D_{n}S_{+}(n)}
ここで、 A n 、 B n 、 C n 、 D n は 正の整数です。Plouffe は値の表を示しています。
これらの整数定数は、以下の (Vepstas, 2006) に示すように、ベルヌーイ数の合計として表現できます。
任意の整数引数に対するリーマンゼータ関数の高速計算アルゴリズムはEA Karatsubaによって与えられている。 [6] [7] [8]
負の整数 一般に、負の整数（ゼロも含む）の場合、
ζ
(
−
n
)
=
(
−
1
)
n
B
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle \zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}
いわゆる「自明なゼロ」は、負の偶数で発生します。
ζ
(
−
2
n
)
=
0
{\displaystyle \zeta (-2n)=0}
（ ラマヌジャン総和 ）
負の奇数の最初のいくつかの値は
ζ
(
−
1
)
=
−
1
12
ζ
(
−
3
)
=
1
120
ζ
(
−
5
)
=
−
1
252
ζ
(
−
7
)
=
1
240
ζ
(
−
9
)
=
−
1
132
ζ
(
−
11
)
=
691
32760
ζ
(
−
13
)
=
−
1
12
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (-1)&=-{\frac {1}{12}}\\[4pt]\zeta (-3)&={\frac {1}{120}}\\[4pt]\zeta (-5)&=-{\frac {1}{252}}\\[4pt]\zeta (-7)&={\frac {1}{240}}\\[4pt]\zeta (-9)&=-{\frac {1}{132}}\\[4pt]\zeta (-11)&={\frac {691}{32760}}\\[4pt]\zeta (-13)&=-{\frac {1}{12}}\end{aligned}}}
しかし、ベルヌーイ数 と同様に 、これらは負の奇数値が大きくなるにつれて小さいままにはなりません。最初の値の詳細については、 1 + 2 + 3 + 4 + · · · を参照してください。
したがって、 ζ ( m )はすべてのベルヌーイ数(指数0と1を含む)の定義として使用できます。
デリバティブ ゼータ関数の負の偶数での導関数は次のように与えられる。
ζ
′
(
−
2
n
)
=
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
(
2
π
)
2
n
ζ
(
2
n
+
1
)
.
{\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2n)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{2(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n+1)\,.}
最初のいくつかの値は
ζ
′
(
−
2
)
=
−
ζ
(
3
)
4
π
2
ζ
′
(
−
4
)
=
3
4
π
4
ζ
(
5
)
ζ
′
(
−
6
)
=
−
45
8
π
6
ζ
(
7
)
ζ
′
(
−
8
)
=
315
4
π
8
ζ
(
9
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(-2)&=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-4)&={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\zeta (5)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-6)&=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-8)&={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9)\,.\end{aligned}}}
また、
ζ
′
(
0
)
=
−
1
2
ln
(
2
π
)
ζ
′
(
−
1
)
=
1
12
−
ln
A
ζ
′
(
2
)
=
1
6
π
2
(
γ
+
ln
2
−
12
ln
A
+
ln
π
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-1)&={\frac {1}{12}}-\ln A\\[4pt]\zeta ^{\prime }(2)&={\frac {1}{6}}\pi ^{2}(\gamma +\ln 2-12\ln A+\ln \pi )\end{aligned}}}
ここで、 Aは グライシャー・キンケリン定数 である 。これらの恒等式の最初のものは、正の整数の逆数の正規化された積が であることを意味し 、したがって面白い「方程式」 となる 。 [9]
1
/
2
π
{\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}
∞
!
=
2
π
{\displaystyle \infty !={\sqrt {2\pi }}}
関数方程式の対数微分から、
2
ζ
′
(
1
/
2
)
ζ
(
1
/
2
)
=
log
(
2
π
)
+
π
cos
(
π
/
4
)
2
sin
(
π
/
4
)
−
Γ
′
(
1
/
2
)
Γ
(
1
/
2
)
=
log
(
2
π
)
+
π
2
+
2
log
2
+
γ
.
{\displaystyle 2{\frac {\zeta '(1/2)}{\zeta (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi \cos(\pi /4)}{2\sin(\pi /4)}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi }{2}}+2\log 2+\gamma \,.}
シリーズ ζ （ ん ） 生成関数から次の和を導くことができます。
ここで、 ψ 0 はディガンマ関数 です 。
∑
k
=
2
∞
ζ
(
k
)
x
k
−
1
=
−
ψ
0
(
1
−
x
)
−
γ
{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }\zeta (k)x^{k-1}=-\psi _{0}(1-x)-\gamma }
∑
k
=
2
∞
(
ζ
(
k
)
−
1
)
=
1
∑
k
=
1
∞
(
ζ
(
2
k
)
−
1
)
=
3
4
∑
k
=
1
∞
(
ζ
(
2
k
+
1
)
−
1
)
=
1
4
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
(
ζ
(
k
)
−
1
)
=
1
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)&=1\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k)-1)&={\frac {3}{4}}\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k+1)-1)&={\frac {1}{4}}\\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}(\zeta (k)-1)&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}
オイラー・マスケロニ定数（ γ で表記 ）
に関連する級数は
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
ζ
(
k
)
k
=
γ
∑
k
=
2
∞
ζ
(
k
)
−
1
k
=
1
−
γ
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
ζ
(
k
)
−
1
k
=
ln
2
+
γ
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=1-\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2+\gamma -1\end{aligned}}}
そして、もちろん1の値にのみ影響する
主値を使用すると
、これらの式は次のように表される。
ζ
(
k
)
=
lim
ε
→
0
ζ
(
k
+
ε
)
+
ζ
(
k
−
ε
)
2
{\displaystyle \zeta (k)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (k+\varepsilon )+\zeta (k-\varepsilon )}{2}}}
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
ζ
(
k
)
k
=
0
∑
k
=
1
∞
ζ
(
k
)
−
1
k
=
0
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
ζ
(
k
)
−
1
k
=
ln
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2\end{aligned}}}
そして、それらがζ (1) = γ の主値に依存することを示す 。
非自明なゼロ リーマンゼータの零点は負の偶数を除いて「非自明零点」と呼ばれる。 リーマン予想 によれば、すべての非自明零点の実部は 1 / 2 。言い換えれば、リーマンゼータの既知の非自明な零点はすべて z = の形をしている。 1 / 2 + y i （y は 実数）次の表は、Im( z )の最初のいくつかの非自明なゼロの10進展開を示しています。
アンドリュー・オドリツコは、 最初の200万個の非自明なゼロを4 × 10以内の精度で計算した。 −9 で、最初の100個のゼロは小数点以下1000桁以内の精度です。表と参考文献についてはウェブサイトをご覧ください。 [10] [11]高精度（±2 -102 ≈±2·10 -31 ）
の約1030億個のゼロの表は、 LMFDB を介して対話型アクセスとダウンロード（ただし非常に不便な圧縮形式）で利用できます 。 [12]
比率 ゼータ関数の特定の値を評価することは困難であるが、 ガンマ関数の特定の値を 関数方程式に
代入することで、特定の比率を見つけることができることが多い。
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}
半整数引数については単純な関係がある
ζ
(
3
/
2
)
ζ
(
−
1
/
2
)
=
−
4
π
ζ
(
5
/
2
)
ζ
(
−
3
/
2
)
=
−
16
π
2
3
ζ
(
7
/
2
)
ζ
(
−
5
/
2
)
=
64
π
3
15
ζ
(
9
/
2
)
ζ
(
−
7
/
2
)
=
256
π
4
105
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\zeta (3/2)}{\zeta (-1/2)}}&=-4\pi \\{\frac {\zeta (5/2)}{\zeta (-3/2)}}&=-{\frac {16\pi ^{2}}{3}}\\{\frac {\zeta (7/2)}{\zeta (-5/2)}}&={\frac {64\pi ^{3}}{15}}\\{\frac {\zeta (9/2)}{\zeta (-7/2)}}&={\frac {256\pi ^{4}}{105}}\end{aligned}}}
ガンマ関数のより複雑な評価と関係については、他の例も参照してください。例えば、関係
Γ
(
3
4
)
=
(
π
2
)
1
4
AGM
(
2
,
1
)
1
2
{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}
ゼータ比の関係である
ζ
(
3
/
4
)
ζ
(
1
/
4
)
=
2
π
(
2
−
2
)
AGM
(
2
,
1
)
{\displaystyle {\frac {\zeta (3/4)}{\zeta (1/4)}}=2{\sqrt {\frac {\pi }{(2-{\sqrt {2}})\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}}
ここで、AGMは 算術幾何平均 である。同様に、次のような根号関係を形成することも可能である。
Γ
(
1
5
)
2
Γ
(
1
10
)
Γ
(
3
10
)
=
1
+
5
2
7
10
5
4
{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}
類似のゼータ関係は
ζ
(
1
/
5
)
2
ζ
(
7
/
10
)
ζ
(
9
/
10
)
ζ
(
1
/
10
)
ζ
(
3
/
10
)
ζ
(
4
/
5
)
2
=
(
5
−
5
)
(
10
+
5
+
5
)
10
⋅
2
3
10
{\displaystyle {\frac {\zeta (1/5)^{2}\zeta (7/10)\zeta (9/10)}{\zeta (1/10)\zeta (3/10)\zeta (4/5)^{2}}}={\frac {(5-{\sqrt {5}})\left({\sqrt {10}}+{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}{10\cdot 2^{\tfrac {3}{10}}}}}
参考文献
^ Rivoal、T. (2000)。 「リーマンの機能は、不利益をもたらす無限の価値をもたらします。」 Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I 。 331 (4): 267–270。 arXiv : math/0008051 。 ビブコード :2000CRASM.331..267R。 土居 ：10.1016/S0764-4442(00)01624-4。 S2CID 119678120。 ^ W. ズディリン (2001)。 「数字 ξ (5)、 ξ (7)、 ξ (9)、 ξ (11) のいずれかが無理数です。」 ラス。数学。生き残る 。 56 (4): 774–776。 Bibcode :2001RuMaS..56..774Z。 土井 ：10.1070/rm2001v056n04abeh000427。 S2CID 250734661。 ^ Boos, HE; Korepin, VE; Nishiyama, Y.; Shiroishi, M. (2002). 「量子相関と数論」. J. Phys. A . 35 (20): 4443–4452. arXiv : cond-mat/0202346 . Bibcode :2002JPhA...35.4443B. doi :10.1088/0305-4470/35/20/305. S2CID 119143600. 。 ^ 「ゼータ(2*n+1)の恒等式」。 ^ 「奇数のゼータ値と円周率の累乗の公式」。 ^ Karatsuba, EA (1995). 「引数sの整数値に対するリーマンゼータ関数ζ(s)の高速計算」. Probl. Perdachi Inf . 31 (4): 69–80. MR 1367927. ^ EA Karatsuba: 整数引数に対するリーマンゼータ関数の高速計算。Dokl. Math. Vol.54, No.1, p. 626 (1996). ^ EA からつば: ζ (3) の高速評価。 問題。情報トランスミット。 Vol.29、No.1、58–62 ページ (1993 年)。 ^ Muñoz García, E.; Pérez Marco, R. (2008)、「すべての素数の積は 」、 Commun. Math. Phys. (277): 69–81
4
π
2
{\displaystyle 4\pi ^{2}}
。 ^ Odlyzko, Andrew. 「リーマンゼータ関数の零点表」 。 2022年 9月7日 閲覧 。 ^ Odlyzko, Andrew. 「リーマンゼータ関数のゼロ点と関連トピックに関する論文」 。 2022年 9月7日 閲覧。 ^ LMFDB: ζ(s) の零点
さらに読む チャウリ、オスカー。ナバス、ルイス M.ルイス、フランシスコ J.ヴァローナ、フアン L. (2015 年 5 月)。 「 ξ (2 k )の簡単な計算 」。 アメリカ数学月刊誌 。 122 (5): 444–451。 土井 ：10.4169/amer.math.monthly.122.5.444。 JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.444。 S2CID 207521195。 Simon Plouffe 、「ラマヌジャンのノートブックからインスピレーションを得たアイデンティティ、 Wayback Machine に 2009-01-30 にアーカイブ」、(1998)。 Simon Plouffe 、「ラマヌジャンのノートブックにインスパイアされたアイデンティティ パート 2 PDF、 Wayback Machine で 2011-09-26 にアーカイブ」(2006 年)。 Vepstas, Linas (2006). 「Plouffe の Ramanujan 恒等式について」 (PDF) . The Ramanujan Journal . 27 (3): 387–408. arXiv : math.NT/0609775 . doi :10.1007/s11139-011-9335-9. S2CID 8789411. ズディリン、ワディム (2001)。 「数字 ξ (5)、 ξ (7)、 ξ (9)、 ξ (11) のいずれかは無理数です。」 ロシアの数学的調査 。 56 (4): 774–776。 Bibcode :2001RuMaS..56..774Z。 土井 ：10.1070/RM2001v056n04ABEH000427。 MR 1861452。S2CID 250734661 。 PDF PDF ロシア語 PS ロシア語 Andrew Odlyzko による非自明なゼロのリファレンス :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[4pt]\ゼータ (4)&=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\\[4pt]\zeta (6)&=1+{\frac {1} {2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}\\[4pt]\zeta (8)&=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\\[4pt]\zeta (10)&=1+{\frac {1} {2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}\\[4pt]\zeta ( 12)&=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12} }{638512875}}\\[4pt]\zeta (14)&=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\ cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}\\[4pt]\zeta (16)&=1+{\frac {1}{2^{16}}}+{\frac {1}{3^{16} }}+\cdots ={\frac {3617\pi ^{16}}{325641566250}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b4f0484ed43a9fa21c35d835c2ce8ef87939cc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (-1)&=-{\frac {1}{12}}\\[4pt]\zeta (-3)&={\frac {1}{120} }\\[4pt]\ゼータ (-5)&=-{\frac {1}{252}}\\[4pt]\ゼータ (-7)&={\frac {1}{240}}\\[4pt]\ゼータ (-9)&=-{\frac {1}{132}}\\[4pt]\ゼータ (-11)&={\frac {691} {32760}}\\[4pt]\ゼータ (-13)&=-{\frac {1}{12}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4a2858bf5436ce8cadf3a5906f64b006d648de)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(-2)&=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\[4pt]\zeta ^{\プライム }(-4)&={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\ゼータ (5)\\[4pt]\ゼータ ^{\プライム}(-6)&=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-8)&={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9)\,.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4734f2991ac4b8d15765ec1637a6a93df4841992)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-1)&={\frac {1}{12}}-\ln A\\[4pt]\zeta ^{\prime }(2)&={\frac {1}{6}}\pi ^{2}(\gamma +\ln 2-12\ln A+\ln \pi )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83b15faa8cfb04ca281721bb4a3069c6a41da27)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)&=1\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k)-1)&={\frac {3}{4}}\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k+1)-1)&={\frac {1}{4}}\\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}(\zeta (k)-1)&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c161575e1ebb9fcf86ff81945618c698e7c8a0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=\gamma \\ [4pt]\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=1-\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2+\gamma -1\end{aligned} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8fce86fde721036a8ddf8cd1061cbcbe8b164bb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=0\\[ 4pt]\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a812f5dc324ba048e1a08c9cd90253ada721735f)
![{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c849db6b4d10213e21b6f070927b56d2e7148e)
