クラウゼン関数

数学において、クラウゼン関数はトーマス・クラウゼン （1832）によって導入された、一変数の超越特殊関数である。定積分、三角級数、その他さまざまな形式で表現できる。多重対数、逆正接積分、多重ガンマ関数、リーマンゼータ関数、ディリクレエータ関数、ディリクレベータ関数と密接に関連している。

2 次のクラウゼン関数(多くのクラスの 1 つに過ぎないにもかかわらず、クラウゼン関数と呼ばれることが多い) は、次の積分で与えられ ます。

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx:}$

この範囲では、絶対値符号内の正弦関数は厳密に正のままであるため、絶対値符号は省略できます。クラウゼン関数には、フーリエ級数表現もあります。 ${\displaystyle 0<\varphi <2\pi \,}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\ sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots }$

クラウゼン関数は、関数のクラスとして、現代の数学研究の多くの分野で、特に定値と不定値の両方の多くのクラスの対数積分と多重対数積分の評価に関連して、広く取り上げられています。また、超幾何級数の和、中心二項係数の逆数を含む和、多重ガンマ関数の和、およびディリクレ L 級数に関する多数の応用もあります。

クラウゼン関数（2次）は、が整数であれば、のすべての（整数）倍で単純なゼロを持つ。${\displaystyle \pi ,\,}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,}$${\displaystyle \sin k\pi =0}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots }$

最大値は${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots }$

そして最小値は${\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots }$

次のプロパティは、シリーズ定義の直接的な結果です。

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

Lu & Perez (1992)を参照。

より一般的には、2 つの一般化されたクラウゼン関数を定義します。

${\displaystyle \operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sink\theta }{k^{z}}}}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}}$

これらはRe z >1の複素zに対して有効である。定義は解析接続を通じて複素平面全体に拡張できる。

z を非負の整数に置き換えると、標準クラウゼン関数は次のフーリエ級数によって定義されます。

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}}$

注: SL 型 Clausen 関数には代替表記法があり、 Glaisher–Clausen 関数( James Whitbread Lee Glaisherにちなんで GL 表記) と呼ばれることもあります。${\displaystyle \operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,}$

SL型クラウゼン関数は の多項式であり、ベルヌーイ多項式と密接に関連しています。この関係は、ベルヌーイ多項式の フーリエ級数表現から明らかです。${\displaystyle \,\theta \,}$

${\displaystyle B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{(2\pi )^{2n-1}}}\,\合計 _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}}.}$

${\displaystyle B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\,\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {\cos 2\pi kx}{k^{2n}}}.}$

上記を 設定し、項を並べ替えると、次の閉じた形式（多項式）式が得られます。${\displaystyle \,x=\theta /2\pi \,}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(-1)^{m-1}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m-1}(\theta )={\frac {(-1)^{m}(2\pi )^{2m-1}}{2(2m-1)!}}B_{2m-1}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}$

ここでベルヌーイ多項式は ベルヌーイ数に関して次の関係 式で定義されます。${\displaystyle \,B_{n}(x)\,}$ ${\displaystyle \,B_{n}\equiv B_{n}(0)\,}$

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}x^{n-j}.}$

上記から導き出される明示的な評価には次のものが含まれます。

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi \theta }{2}}+{\frac {\theta ^{2}}{4}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\theta }{6}}-{\frac {\pi \theta ^{2}}{4}}+{\frac {\theta ^{3}}{12}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}}-{\frac {\pi ^{2}\theta ^{2}}{12}}+{\frac {\pi \theta ^{3}}{12}}-{\frac {\theta ^{4}}{48}}.}$

については、積分定義から直接複製公式が証明できます（結果についてはLu & Perez（1992）も参照してください。ただし、証明は示されていません）。 ${\displaystyle 0<\theta <\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )}$

カタラン定数を と表すと、複製公式の直接的な帰結として次の関係式が挙げられます。 ${\displaystyle K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)={\frac {K}{2}}}$

${\displaystyle 2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}$

高次のクラウゼン関数の場合、複製式は上記の式から得ることができます。単に をダミー変数に置き換え、区間 にわたって積分します。同じプロセスを繰り返し適用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \,\theta \,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \,[0,\theta ].\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl} _{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\theta )-8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl} _{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl} _{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\theta )}$

そしてより一般的には、${\displaystyle \,m,\;m\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}\left[\operatorname {Cl} _{m+1}(\theta )+(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m+1}(\pi -\theta )\right]}$

一般化された複製公式を使用すると、カタラン定数を含む2次のクラウゼン関数の結果を拡張できます。${\displaystyle \,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left[\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right]=\beta (2m)}$

ディリクレベータ関数はどこにありますか。 ${\displaystyle \,\beta (x)\,}$

積分の定義から、

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$

正弦関数の複製公式を適用すると 、${\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|\left(2\sin {\frac {x}{4}}\right)\left(2\cos {\frac {x}{4}}\right)\right|\,dx\\={}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{4}}\right|\,dx-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{4}}\right|\,dx\end{aligned}}}$

両方の積分に 置換を適用します。${\displaystyle x=2y,dx=2\,dy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\end{aligned}}}$

最後の積分では、 を設定し、三角関数の恒等式を使用して次のことを示します。 ${\displaystyle y=\pi -x,\,x=\pi -y,\,dx=-dy}$${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {\pi -y}{2}}\right)=\sin {\frac {y}{2}}\\\Longrightarrow \qquad &\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )+2\int _{\pi }^{\pi -\theta }\log \left|2\sin {\frac {y}{2}}\right|\,dy\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )+2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\pi )=0\,}$

したがって、

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )\,.\,\Box }$

クラウゼン関数のフーリエ級数展開を直接微分すると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )}$

微積分学の第一基本定理を適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left[-\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx\,\right]=-\log \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\right|=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )}$

逆正接積分は区間上で次のように 定義される。${\displaystyle 0<z<1}$

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}}$

これは、クラウゼン関数に関して次の閉じた形式を持ちます。

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log(\tan \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$

逆正接積分の積分定義から、

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx}$

部分積分を実行する

${\displaystyle \int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\tan ^{-1}x\log x\,{\Bigg |}_{0}^{\tan \theta }-\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx}$

置換を適用すると、 ${\displaystyle x=\tan y,\,y=\tan ^{-1}x,\,dy={\frac {dx}{1+x^{2}}}\,}$

${\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\theta }\log(\tan y)\,dy}$

最後の積分には変換を適用します。 ${\displaystyle y=x/2,\,dy=dx/2\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {\sin(x/2)}{\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {2\sin(x/2)}{2\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)\,dx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

最後に、複製公式の証明と同様に、置換により最後の積分は次のように減少する。 ${\displaystyle x=(\pi -y)\,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$

したがって

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )\,.\,\Box }$

実数 に対して、2次のクラウゼン関数は、バーンズG関数と（オイラー）ガンマ関数で表すことができます。 ${\displaystyle 0<z<1}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

あるいは同等に

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

Adamchik (2003)を参照。

クラウゼン関数は、単位円上の多重対数の実部と虚部を表します。

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{2m}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re (\operatorname {Li} _{2m+1}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 0}$

これは多重対数の級数定義を参照すれば簡単にわかります。

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{ik\theta }}{k^{n}}}}$

オイラーの定理により、

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$

そしてド・モアブルの定理（ド・モアブルの公式） による

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}}$

したがって

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

クラウゼン関数はポリガンマ関数と密接に関係しています。実際、クラウゼン関数を正弦関数とポリガンマ関数の線形結合として表すことができます。そのような関係の 1 つを次に示し、以下で証明します。

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right].}$

すぐに得られる帰結は、フルヴィッツのゼータ関数に関する次の同等の式です。

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\zeta \left(2m,{\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\zeta \left(2m,{\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right].}$

一般化されたログサイン積分は次のように定義されます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$

この一般化された表記法では、クラウゼン関数は次の形式で表現できます。

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )}$

エルンスト・クンマーとロジャーズは、

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

有効です。 ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$

ロバチェフスキー関数Λ または Л は、変数を変更した本質的に同じ関数です。

${\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2}$

ただし、「ロバチェフスキー関数」という名前は歴史的に正確ではない。ロバチェフスキーの双曲体積の公式では、わずかに異なる関数が使用されていたためである。

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log |\sec(t)|\,dt=\Lambda (\theta +\pi /2)+\theta \log 2.}$

の有理値（つまり、いくつかの整数pとqに対して）に対して、関数は巡回群の要素の周期軌道を表すと理解でき、したがってフルヴィッツのゼータ関数を含む単純な和として表すことができます。^{[要出典]これにより、特定の}ディリクレL関数間の関係を簡単に計算できます。 ${\displaystyle \theta /\pi }$${\displaystyle \theta /\pi =p/q}$${\displaystyle \sin(n\theta )}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )}$

クラウゼン関数の級数加速は次のように与え られる。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}$

これは に対して成り立つ。ここで、はリーマンゼータ関数である。より急速に収束する形式は次のように与えられる。 ${\displaystyle |\theta |<2\pi }$${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.}$

収束は、 nの値が大きくなると が急速にゼロに近づくという事実によって促進されます。 どちらの形式も、有理ゼータ級数を得るのに使用される再総和手法のタイプによって得られます(Borwein ら、2000)。 ${\displaystyle \zeta (n)-1}$

バーンズG関数、カタラン定数 K、ギーゼキング定数 Vを思い出してください。いくつかの特別な値には以下が含まれます。

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)}$

一般に、バーンズG関数反射公式から、

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

同様に、ガンマ関数のオイラーの反射公式を用いると、

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log {\big (}\Gamma (z)\Gamma (1-z){\big )}}$

高階クラウゼン関数の特別な値には次のようなものがある。

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(0)=\operatorname {Cl} _{2m}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (2m)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\zeta (2m+1)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m+1)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)}$

ここで、はディリクレベータ関数、はディリクレエータ関数（交代ゼータ関数とも呼ばれる）、 はリーマンゼータ関数です。 ${\displaystyle \beta (x)}$${\displaystyle \eta (x)}$${\displaystyle \zeta (x)}$

次の積分はクラウゼン関数の級数表現から簡単に証明できます。

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta (2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta (2m+2)-\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}$

フーリエ解析法は、区間^[1]上の関数の2乗の第一モーメントを求めるのに使用できる。${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(x)}$${\displaystyle [0,\pi ]}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4),}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta ({\overline {5}},1)-2\zeta ({\overline {4}},2),}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left[12\zeta ({\overline {5}},1)+6\zeta ({\overline {4}},2)-{\frac {23}{10080}}\pi ^{6}\right].}$

ここで は多重ゼータ関数を表します。 ${\displaystyle \zeta }$

多数の三角関数および対数三角関数の積分は、クラウゼン関数、 (カタラン定数)、、ゼータ関数の特殊なケースなどのさまざまな一般的な数学定数を 使用して評価できます。${\displaystyle \,K\,}$${\displaystyle \,\log 2\,}$${\displaystyle \,\zeta (2)\,}$${\displaystyle \,\zeta (3)\,}$

以下に挙げる例はクラウゼン関数の積分表現から直接導かれるものであり、証明には基本的な三角法、部分積分、およびクラウゼン関数の フーリエ級数定義の項ごとの積分が時々必要になります。

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\sin x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\cos x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\tan x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1+\cos x)\,dx=2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1-\cos x)\,dx=-2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1+\sin x)\,dx=2K-2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1-\sin x)\,dx=-2K+2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)-\theta \log 2}$

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステグン、アイリーン・アン編 (1983) [1964 年 6 月]。「第 27.8 章」。数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック。応用数学シリーズ。第 55 巻 (第 10 刷の訂正を加えた第 9 刷 (1972 年 12 月)、初版)。ワシントン DC、ニューヨーク: 米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。p. 1005。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN 64-60036。MR 0167642。LCCN  65-12253 。 ​ ​
• トーマス・クラウゼン（1832年）。 「ユーバーダイ関数 sin φ + (1/22) sin 2φ + (1/32) sin 3φ + など」。数学に関するジャーナル。8 : 298–300。ISSN  0075-4102。
• Wood, Van E. (1968). 「クラウゼン積分の効率的な計算」. Math. Comp . 22 (104): 883–884. doi : 10.1090/S0025-5718-1968-0239733-9 . MR  0239733.
• レナード・ルーウィン（編）「多重対数の構造特性」（ 1991年）アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州。ISBN 0-8218-4532-2 
• Lu, Hung Jung; Perez, Christopher A. (1992)。「質量のない 1 ループ スカラー 3 点積分とそれに関連する Clausen、Glaisher、および L 関数」(PDF)。
• Kölbig, Kurt Siegfried (1995). 「クラウゼン関数 Cl2(x) のチェビシェフ係数」. J. Comput. Appl. Math . 64 (3): 295–297. doi : 10.1016/0377-0427(95)00150-6 . MR  1365432.
• Borwein, Jonathan M. ; Bradley, David M.; Crandall, Richard E. (2000). 「リーマンゼータ関数の計算戦略」(PDF) . J. Comput. Appl. Math . 121 (1–2): 247–296. Bibcode :2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 . MR 1780051. 2006-09-25に オリジナル(PDF)からアーカイブ。2005-07-09 に取得。
• Adamchik, Viktor. S. (2003). 「Barnes 関数の理論への貢献」. arXiv : math/0308086v1 .
• Kalmykov, Mikahil Yu.; Sheplyakov, A. (2005). 「LSJK – 一般化対数正弦積分の任意精度数値評価のための C++ ライブラリ」. Comput. Phys. Commun . 172 : 45–59. arXiv : hep-ph/0411100 . Bibcode :2005CoPhC.172...45K. doi :10.1016/j.cpc.2005.04.013.
• Borwein, Jonathan M.; Straub, Armin (2013). 「ニールセンポリログの関係」J. 近似理論. 第 193 巻. pp. 74–88. doi :10.1016/j.jat.2013.07.003.
• Mathar, RJ (2013). 「Clausen 和の C99 実装」. arXiv : 1309.7504 [math.NA].