エンゲル拡張

正の実数xのエンゲル展開は、次の式で表さ れる正の整数の唯一の非減少列である。 ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots )}$

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots ={\frac {1}{a_{1}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

例えば、オイラー数eはエンゲル展開^{[1]を持つ。}

1、1、2、3、4、5、6、7、8、...

無限級数に対応する

${\displaystyle e={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots }$

有理数は有限のエンゲル展開を持ち、無理数は無限のエンゲル展開を持ちます。xが有理数の場合、そのエンゲル展開はxをエジプト分数として表します。エンゲル展開は、1913 年に研究したフリードリヒ エンゲルにちなんで名付けられました。

交代項が負になるエンゲル展開に類似した展開は、ピアス展開と呼ばれます。

Kraaikamp & Wu (2004) は、エンゲル展開は連分数の昇順の変形として表すこともできると指摘している。

${\displaystyle x={\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}.}$

このような上昇連分数は、フィボナッチの算盤(1202)の頃から研究されてきたと彼らは主張しています。この主張は、分子と分母が同じ分数線を共有する連続が上昇連分数を表すフィボナッチの複合分数表記法を指しているようです。

${\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\cfrac {c+{\cfrac {b+{\cfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.}$

このような表記法で分子がすべて 0 または 1 である場合 ( Liber Abaciのいくつかの例で見られるように)、結果はエンゲル展開になります。ただし、一般的な手法としてのエンゲル展開は、フィボナッチでは説明されていないようです。

xのエンゲル展開を求めるには、

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil \!,}$

そして

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

ここで、 は天井関数（ r以上の最小の整数） です。${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$

いずれかのiの場合、アルゴリズムを停止します。 ${\displaystyle u_{i}=0}$

もう一つの同等の方法は、マップ^[2]を考えることである。

${\displaystyle g(x)=x\!\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

そして設定

${\displaystyle u_{k}=1+\left\lfloor {\frac {1}{g^{(n-1)}(x)}}\right\rfloor }$

どこ

${\displaystyle g^{(n)}(x)=g(g^{(n-1)}(x))}$そして${\displaystyle g^{(0)}(x)=x.}$

さらに別の同等の方法として、修正エンゲル展開と呼ばれる計算方法がある。

${\displaystyle h(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor g(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor \!\left(x\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +x-1\right)}$

そして

${\displaystyle u_{k}={\begin{cases}1+\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor &n=1\\\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-2)}(x)}}\right\rfloor \!\left(1+\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-1)}(x)}}\right\rfloor \right)&n\geq 2\end{cases}}}$

エンゲル写像のフロベニウス・ペロン転送作用素は、 ${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{g}f](x)=\sum _{y:g(y)=x}{\frac {f(y)}{\left|{\frac {d}{dz}}g(z)\right|_{z=y}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f\left({\frac {x+1}{n+1}}\right)}{n+1}}}$

以来

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[x(n+1)-1]=n+1}$n番目の要素の逆数はであり、を解くことで求められます。${\displaystyle {\frac {x+1}{n+1}}}$${\displaystyle x(n+1)-1=y}$${\displaystyle x}$

この写像のメリン変換は、リーマンゼータ関数と次の式で 関係している。${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[5pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[5pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}.}$

1.175 のエンゲル展開を求めるには、次の手順を実行します。

${\displaystyle u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1;}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0}$

シリーズはここで終わります。

${\displaystyle 1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}$

1.175のエンゲル展開は(1, 6, 20)である。

正の有理数にはそれぞれ固有の有限エンゲル展開がある。エンゲル展開のアルゴリズムでは、u _{i が}有理数x / yであれば、u _{i  + 1} = (− y mod x )/ yとなる。したがって、各ステップで、残りの分数u _iの分子は減少し、エンゲル展開を構築するプロセスは有限数のステップで終了する。また、すべての有理数には固有の無限エンゲル展開があり、次の恒等式を使用して、

${\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.}$

有限エンゲル展開の最後の桁nは、その値を変えずに（ n + 1）の無限列に置き換えることができる 。例えば、

${\displaystyle 1.175=(1,6,20)=(1,6,21,21,21,\dots ).}$

これは、有限の10 進数表現を持つ任意の有理数が無限の 10 進数表現も持つという事実に似ています( 0.999...を参照)。すべての項が等しい無限エンゲル展開は、等比級数です。

エルデシュ、レーニ、シュスは有理数x / yの有限エンゲル展開の長さの非自明な境界を求めた。この問題はエルデシュとシャリット によって解決され、彼らは展開の項の数は任意のε > 0に対してO( y ^{1/3 + ε} )であることを証明した。 ^[3]

次の合計を考慮してください:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha +i\beta )}}={\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )}}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )}}+\cdots ,}$

ここで、およびである。したがって、一般に ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} }$${\displaystyle 0<\alpha \leq \beta }$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\beta }}\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}e^{\frac {1}{\beta }}\gamma \left({\frac {\alpha }{\beta }},{\frac {1}{\beta }}\right)=\{{\alpha },\alpha (\alpha +\beta ),\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta ),\dots \}\;}$、

ここで、下側の不完全ガンマ関数を表します。 ${\displaystyle \gamma }$

具体的には、 ${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle e^{1/\beta }-1=\{1\beta ,2\beta ,3\beta ,4\beta ,5\beta ,6\beta ,\dots \}\;}$。

q アナログのガウス恒等式は次のように記述できます。

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-{\frac {1}{q^{2n}}}}{1-{\frac {1}{q^{2n-1}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{q^{\frac {n(n+1)}{2}}}},\quad q\in \mathbb {N} .}$

この恒等式を使用して、 のべき乗のエンゲル展開を次のように表すことができます。 ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{n}}}\right)^{(-1)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}q^{i}}}.}$

さらに、この式は閉じた形式で次のように記述できます。

${\displaystyle {\frac {q^{1/8}\vartheta _{2}\left({\frac {1}{\sqrt {q}}}\right)}{2}}=\{1,q,q^{3},q^{6},q^{10},\ldots \}}$

ここで は2 番目のTheta 関数です。 ${\displaystyle \vartheta _{2}}$

${\displaystyle \pi }$= (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...) ( OEISのシーケンスA006784 )

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$= (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...) ( OEISのシーケンスA028254 )

${\displaystyle e}$= (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...) ( OEISのシーケンスA028310 )

定数のその他のエンゲル展開については、ここを参照してください。

エンゲル展開の係数a i は典型的には指数関数的増加を示す。より_正確に は、区間(0,1]内のほぼすべての数に対して極限が存在し、 eに等しい。しかし、これに当てはまらない区間のサブセットでも、ハウスドルフ次元が1になるほど十分大きい。^[4] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}}$

同じ典型的な成長率は、エジプト分数の貪欲アルゴリズムによって生成される展開の項にも当てはまります。ただし、エンゲル展開が貪欲展開と一致する区間 (0,1] 内の実数集合は測度がゼロで、ハウスドルフ次元が 1/2 です。^[5]

• オイラーの連分数公式

• ワイスタイン、エリックW. 「エンゲル拡張」。 MathWorld – Wolfram Webリソース。