多重ゼータ関数

数学において、多重ゼータ関数はリーマンゼータ関数の一般化であり、次のように定義される。

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},\!}$

そして、すべての iに対してRe( s ₁ ) + ... + Re( s _i ) >  iのとき収束する。リーマンゼータ関数と同様に、多重ゼータ関数は有理型関数として解析的に継続することができる（例えば、Zhao (1999)を参照）。s ₁、 ...、s _kがすべて正の整数（s _{1 > 1）のとき、これらの和は}多重ゼータ値（MZV）またはオイラー和 と呼ばれることが多い。これらの値は、多重対数の特別な値とみなすこともできる。^{[1] [2]}

上記の定義におけるkはMZVの「深さ」と呼ばれ、n  =  s ₁  + ... +  s _kは「重み」として知られています。^[3]

複数のゼータ関数を記述するための標準的な省略形は、引数の繰り返し文字列を中括弧で囲み、繰り返し回数を示すために上付き文字を使用することです。たとえば、

${\displaystyle \zeta (2,1,2,1,3)=\zeta (\{2,1\}^{2},3)。}$

多重ゼータ関数は多重対数の特別なケースとして生じる。

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\mu _{1}^{k_{1}}\cdots \mu _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

これらは多重対数関数の一般化である。 がすべて のn^乗根であり、 がすべて非負の整数である場合、多重多重対数の値はレベル の色付き多重ゼータ値と呼ばれる。特に の場合、それらはオイラー和または交互多重ゼータ値と呼ばれ、 の場合は単に多重ゼータ値と呼ばれる。多重ゼータ値は、しばしば と書かれる 。${\displaystyle \mu_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {1}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

そしてオイラー和は次のように書かれる。

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d};\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\varepsilon _{1}^{k_{1}}\cdots \varepsilon ^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

ここで である。著者は に対応する の上に と等しいバーを書くことがある。例えば、 ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \zeta ({\overline {a}},b)=\zeta (a,b;-1,1)}$。

Kontsevichは、色付きの多重ゼータ値（およびその特殊なケース）を特定の多変数積分として表現できることに気付きました。この結果は、反復積分の慣例を使用してよく述べられます。

${\displaystyle \int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{d}(t)dt=\int _{0}^{x}f_{1}(t_{1})\left(\int _{0}^{t_{1}}f_{2}(t_{2})\left(\int _{0}^{t_{2}}\cdots \left(\int _{0}^{t_{d}}f_{d}(t_{d})dt_{d}\right)\right)dt_{2}\right)dt_{1}}$

この規則を用いると、結果は次のように述べられる。^[2]

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\int _{0}^{1}\left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{1}-1}{\frac {dt}{a_{1}-t}}\cdots \left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{d}-1}{\frac {dt}{a_{d}-t}}}$どこのため。${\displaystyle a_{j}=\prod \limits _{i=1}^{j}\mu _{i}^{-1}}$${\displaystyle j=1,2,\ldots ,d}$

この結果は、反復積分の積に関するよく知られた結果、すなわち

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{n}(t)dt\right)\!\left(\int _{0}^{x}f_{n+1}(t)dt\cdots f_{m}(t)dt\right)=\sum \limits _{\sigma \in {\mathfrak {Sh}}_{n,m}}\int _{0}^{x}f_{\sigma (1)}(t)\cdots f_{\sigma (m)}(t)}$ここで、およびは記号上の対称群です。${\displaystyle {\mathfrak {Sh}}_{n,m}=\{\sigma \in S_{m}\mid \sigma (1)<\cdots <\sigma (n),\sigma (n+1)<\cdots <\sigma (m)\}}$${\displaystyle S_{m}}$${\displaystyle m}$

これを多重ゼータ値の文脈で利用するには、を によって生成される自由モノイドとして定義し、を によって生成される自由ベクトル空間として定義します。はシャッフル積を備え、代数に変換できます。次に、多重ゼータ関数は評価マップとして見ることができ、 、 、 を識別し、定義します。 ${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle a={\frac {dt}{t}}}$${\displaystyle b={\frac {dt}{1-t}}}$

${\displaystyle \zeta (\mathbf {w} )=\int _{0}^{1}\mathbf {w} }$いずれの場合も、${\displaystyle \mathbf {w} \in X^{*}}$

これは前述の積分恒等式により、

${\displaystyle \zeta (a^{s_{1}-1}b\cdots a^{s_{d}-1}b)=\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d}).}$

すると積分の恒等式は^{[2]となる。}

${\displaystyle \zeta (w)\zeta (v)=\zeta (w{\text{ ⧢ }}v).}$

パラメータが2つだけの特別なケースでは（s > 1、n、  mは整数）、次の式が得られます。^[4]

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n>m\geq 1}\ {\frac {1}{n^{s}m^{t}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {1}{m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{t}}}}$

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}}$ここで、一般化調和数です。${\displaystyle H_{n,t}}$

多重ゼータ関数は、MZV 双対性と呼ばれる条件を満たすことが知られており、その最も単純なケースは有名なオイラーの恒等式です。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}},\!}$

ここでH _{n は}調和数です。

二重ゼータ関数の特別な値、s  > 0かつ偶数、t  > 1かつ奇数、ただしs + t = 2 N +1（必要に応じてζ (0) = 0をとる）: ^[4]

${\displaystyle \zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}{\Big [}{\tbinom {s+t}{s}}-1{\Big ]}\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}{\Big [}{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}{\Big ]}\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r)}$

既約な関数がある場合、つまりこれらのMZVは の関数としてのみ記述できないことに注意してください。^[5]${\displaystyle s+t=2p+2}$${\displaystyle p/3}$${\displaystyle \zeta (a)}$

パラメータが 3 つだけの特別なケースでは、次のようになります ( a > 1 かつn、j、  i は整数)。

${\displaystyle \zeta (a,b,c)=\sum _{n>j>i\geq 1}\ {\frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(j+1)^{b}}}\sum _{i=1}^{j}{\frac {1}{(i)^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {H_{j,c}}{(j+1)^{b}}}}$

上記の MZV はオイラー反射公式を満たします。

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$のために${\displaystyle a,b>1}$

シャッフル関係を用いると、次のことが簡単に証明できる。^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)}$のために${\displaystyle a,b,c>1}$

この関数は反射公式の一般化として考えることができます。

とし、集合 の分割を とします。また、このようなおよび指数のk組が与えられた場合、 を定義します。 ${\displaystyle S(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$${\displaystyle \Pi =\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{l}\}}$${\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}}$${\displaystyle c(\Pi )=(\left|P_{1}\right|-1)!(\left|P_{2}\right|-1)!\cdots (\left|P_{l}\right|-1)!}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle i=\{i_{1},...,i_{k}\}}$${\displaystyle \prod _{s=1}^{l}\zeta (\sum _{j\in P_{s}}i_{j})}$

との関係は次の通りです 。${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(i_{1},i_{2})=\zeta (i_{1},i_{2})+\zeta (i_{1}+i_{2})}$${\displaystyle S(i_{1},i_{2},i_{3})=\zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3}).}$

任意の実数 に対して、。 ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}>1,}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$

証明。 はすべて異なると仮定します。(極限をとれるので、一般性は失われません。) 左辺は と書きます 。ここで対称について考えてみ ましょう。${\displaystyle i_{j}}$${\displaystyle \sum _{\sigma }\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$

正の整数のk組に作用する群。与えられたk組には等方性群がある。 ${\displaystyle \Sigma _{k}}$${\displaystyle n=(1,\cdots ,k)}$${\displaystyle n=(n_{1},\cdots ,n_{k})}$

${\displaystyle \Sigma _{k}(n)}$およびの関連分割:はによって 与えられる関係の同値類の集合であり、かつ である場合に限ります。ここで、項 はの左側にちょうど回出現します。これは、の精緻化である分割に対応する項に右側に出現します。 が精緻化を表すとすると、 は 回出現します。したがって、任意のk組および関連分割について であれば結論が従います 。これを確認するには、が によって指定される循環型を持つ順列を数えることに注目してください。 の任意の要素はを精緻化する分割によって指定される一意の循環型を持つため、結果は従います。^[6]${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle (1,2,\cdots ,k)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle i\sim j}$${\displaystyle n_{i}=n_{j}}$${\displaystyle \Sigma _{k}(n)=\{\sigma \in \Sigma _{k}:\sigma (i)\sim \forall i\}}$${\displaystyle {\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$${\displaystyle \left|\Sigma _{k}(n)\right|}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \succeq }$${\displaystyle {\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }(\Pi )}$${\displaystyle \left|\Sigma _{k}(n)\right|=\sum _{\Pi \succeq \Lambda }c(\Pi )}$${\displaystyle n=\{n_{1},\cdots ,n_{k}\}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle c(\Pi )}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Sigma _{k}(n)}$${\displaystyle \Lambda }$

に対して、定理は に対して が成り立つことを述べています。これが の主な結果です。^[7]${\displaystyle k=3}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{3}}S(i_{\sigma (1)},i_{\sigma (2)},i_{\sigma (3)})=\zeta (i_{1})\zeta (i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1})\zeta (i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{3})\zeta (i_{2})+2\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})}$${\displaystyle i_{1},i_{2},i_{3}>1}$

とします。 定理1の類似を について述べるには、1ビットの表記が必要です。 分割 ${\displaystyle \zeta (i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$${\displaystyle \zeta 's}$

${\displaystyle \Pi =\{P_{1},\cdots ,P_{l}\}}$の、とします。 ${\displaystyle \{1,2\cdots ,k\}}$${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )=(-1)^{k-l}c(\Pi )}$

任意の実数 に対して、。 ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}>1}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}\zeta (i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}{\tilde {c}}(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$

証明。前の証明と同じ議論を続けます。左辺は となり 、 左辺に項が現れるのは、がすべて異なる場合は が 1 回発生し、それ以外の場合は が発生しないからです。したがって、 (1) を示せば十分です。 ${\displaystyle \sum _{\sigma }\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }{\tilde {c}}(\Pi )={\begin{cases}1,{\text{ if }}\left|\Lambda \right|=k\\0,{\text{ otherwise }}.\end{cases}}}$

これを証明するには、まず、サイクル型の順列が偶数の場合はの符号が正で、奇数の場合は の符号が負であることに注意します。したがって、(1) の左辺は、等方性群 における偶数順列と奇数順列の数の符号付き和です。しかし、そのような等方性群は、それが自明でない限り、つまり関連する分割が で ない限り、偶数順列と奇数順列の数が等しくなります 。^[6]${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Sigma _{k}(n)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \{\{1\},\{2\},\cdots ,\{k\}\}}$

まず、C. Moenによる和予想を述べる。^[8]

和の予想 (ホフマン)。正の整数kとnに対して、 となります。ただし、和は のk組の正の整数に拡張されます。 ${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})=\zeta (n)}$${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}}$${\displaystyle i_{1}>1}$

この予想に関して3つの注意点がある。まず、 が成り立つ 。次に、 の場合、となる。あるいは、とおよびの関係を用いると、定理1となる。${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}S(i_{1},\cdots ,i_{k})={n-1 \choose k-1}\zeta (n)}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \zeta (n-1,1)+\zeta (n-2,2)+\cdots +\zeta (2,n-2)=\zeta (n)}$${\displaystyle \zeta 's}$${\displaystyle S's}$${\displaystyle 2S(n-1,1)=(n+1)\zeta (n)-\sum _{k=2}^{n-2}\zeta (k)\zeta (n-k).}$

^{これはオイラー[9]}によって証明され、特にウィリアムズ^[10]によって何度も再発見されています。最後に、C. モーエン^{[8] は、長いが初歩的な議論によって、} k =3の場合の同じ予想を証明しました。双対性予想では、まず、最初の要素が より大きい正の整数の有限列の集合上の反転を定義します。 を正の整数の 厳密に増加している有限列の集合とし、 を内の列をその部分和の列に送る関数とします。 を 内の列の集合とし、その最後の要素が最大で である場合、と上の2 つの可換な反転がによって定義され 、 = の補数が の昇順で並べられます。 の定義は、の場合です。 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Im }$${\displaystyle \mathrm {T} }$${\displaystyle \Sigma :\Im \rightarrow \mathrm {T} }$${\displaystyle \Im }$${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {T} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$${\displaystyle R_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{l})=(n+1-a_{l},n+1-a_{l-1},\dots ,n+1-a_{1})}$${\displaystyle C_{n}(a_{1},\dots ,a_{l})}$${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{l}\}}$${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau (I)=\Sigma ^{-1}R_{n}C_{n}\Sigma (I)=\Sigma ^{-1}C_{n}R_{n}\Sigma (I)}$${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\in \Im }$${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$

例えば、 シーケンスとシーケンスは互いに双対であるとし、によって固定されたシーケンスを自己双対であると言及します。^[6]${\displaystyle \tau (3,4,1)=\Sigma ^{-1}C_{8}R_{8}(3,7,8)=\Sigma ^{-1}(3,4,5,7,8)=(3,1,1,2,1).}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle \tau (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle \tau }$

双対性予想 (ホフマン)。 がと双対である場合、 となります。 ${\displaystyle (h_{1},\dots ,h_{n-k})}$${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$${\displaystyle \zeta (h_{1},\dots ,h_{n-k})=\zeta (i_{1},\dots ,i_{k})}$

この和の予想は和定理としても知られており、次のように表現される：整数n  ≥ 2のリーマンゼータ値は、長さk、重みn（1 ≤  k  ≤  n − 1）の分割のすべての有効な（すなわちs ₁  > 1）MZVの合計に等しい。 式：^[3]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {s_{1}+\cdots +s_{k}=n}{s_{1}>1}}\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\zeta (n).}$

たとえば、長さk = 2、重みn = 7 の場合:

${\displaystyle \zeta (6,1)+\zeta (5,2)+\zeta (4,3)+\zeta (3,4)+\zeta (2,5)=\zeta (7).}$

符号交代を伴うオイラー和は、非交代オイラー和の研究に登場します。^[5]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},b)}$ は 一般化調和数です。${\displaystyle H_{n}^{(b)}=+1+{\frac {1}{2^{b}}}+{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta (a,{\bar {b}})}$ と${\displaystyle {\bar {H}}_{n}^{(b)}=-1+{\frac {1}{2^{b}}}-{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})}$と${\displaystyle {\bar {H}}_{n}^{(c)}=-1+{\frac {1}{2^{c}}}-{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},b,c)}$と${\displaystyle H_{n}^{(c)}=+1+{\frac {1}{2^{c}}}+{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,{\bar {b}},c)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,b,{\bar {c}})}$

ディリクレ・イータ関数の変形として、次のように定義する。

${\displaystyle \phi (s)={\frac {1-2^{(s-1)}}{2^{(s-1)}}}\zeta (s)}$と${\displaystyle s>1}$

${\displaystyle \phi (1)=-\ln 2}$

反射式は次のように一般化できます。 ${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$

${\displaystyle \zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},a)=\zeta (a)\phi (b)-\phi (a+b)}$

${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},b)+\zeta (b,{\bar {a}})=\zeta (b)\phi (a)-\phi (a+b)}$

${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},{\bar {a}})=\phi (a)\phi (b)-\zeta (a+b)}$

もし私たちが${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},{\bar {a}})={\tfrac {1}{2}}{\Big [}\phi ^{2}(a)-\zeta (2a){\Big ]}}$

級数の定義を使用すると、次のことが簡単に証明できます。

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {a}},b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})={\frac {\zeta (a,b)}{2^{(a+b-2)}}}}$と${\displaystyle a>1}$

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,b,{\bar {c}})+\zeta (a,{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},b,c)+\zeta (a,{\bar {b}},{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},b,{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})={\frac {\zeta (a,b,c)}{2^{(a+b+c-3)}}}}$と${\displaystyle a>1}$

さらに有用な関係は次の通りである: ^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})=\sum _{s>0}(a+b-s-1)!{\Big [}{\frac {Z_{a}(a+b-s,s)}{(a-s)!(b-1)!}}+{\frac {Z_{b}(a+b-s,s)}{(b-s)!(a-1)!}}{\Big ]}}$