プライムゼータ関数

数学において、素数ゼータ関数は、グライシャー (1891) によって研究されたリーマンゼータ関数の類似物です。これは、 に対して収束する次の無限級数として定義されます。 ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle P(s)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primes} }{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots .}$

リーマンゼータ関数ζ ( s )のオイラー積は、

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n>0}{\frac {P(ns)}{n}}}$

これをメビウス反転する と

${\displaystyle P(s)=\sum _{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}}$

s が1 に近づくと、 となります。これはディリクレ密度の定義で使用されます。 ${\displaystyle P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left({\frac {1}{s-1}}\right)}$

これにより、 P ( s ) の への延長が与えられ 、点sに無限個の対数特異点が存在します。ここで、nsは極 ( n が1 以上の平方数である場合のみns  = 1 )、またはリーマン ゼータ関数ζ ( . ) の零点です。この直線は、特異点がこの直線のすべての点の近くに集まるため、自然な境界です。 ${\displaystyle \Re (s)>0}$${\displaystyle \Re (s)=0}$

シーケンスを定義すると

${\displaystyle a_{n}=\prod _{p^{k}\mid n}{\frac {1}{k}}=\prod _{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{k!}}}$

それから

${\displaystyle P(s)=\log \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

(べき乗により、これは Li の補題 2.7 と同等であることがわかります。)

プライムゼータ関数はアルティン定数と次の式で 関係している。

${\displaystyle \ln C_{\mathrm {Artin} }=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(L_{n}-1)P(n)}{n}}}$

ここでLn_はn番目のルーカス数である。^[1]

具体的な値は次のとおりです。

素ゼータ関数の積分は通常、無限大に固定されます。これは、 の極により、複素平面での分岐カットに関する議論を行わずに、ある有限の整数で適切な下限を定義することが禁止されるためです。 ${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle \int _{s}^{\infty }P(t)\,dt=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}\log p}}}$

注目すべき値は、合計がゆっくりと収束する値です。

一次導関数は

${\displaystyle P'(s)\equiv {\frac {d}{ds}}P(s)=-\sum _{p}{\frac {\log p}{p^{s}}}}$

興味深い値は、合計がゆっくりと収束する値です。

リーマンゼータ関数は整数の逆べき乗の和であり、素数ゼータ関数は素数の逆べき乗の和であるため、-素数（必ずしも異なる素数ではないものの積である整数）は、次のような中間和を定義します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle P_{k}(s)\equiv \sum _{n:\Omega (n)=k}{\frac {1}{n^{s}}}}$

ここで、 は素因数の総数です。 ${\displaystyle \オメガ}$

リーマンゼータ関数の分母の各整数は、 指数 の値によって分類することができ、指数 はリーマンゼータ関数を の無限和に分解します。 ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle k}$${\displaystyle P_{k}}$

${\displaystyle \zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\ldots }P_{k}(s)}$

ディリクレ級数（何らかの形式パラメータuにおいて）は次式を満たす ことが分かっているので、

${\displaystyle P_{\Omega }(u,s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {u^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-up^{-s}\right)^{-1},}$

対称多項式の変形の公式を、右辺型の生成関数とともに使うことができる。つまり、数列が に対応するとき、係数ごとの恒等式が得られる。ここで は素数の特性関数を表す。ニュートンの恒等式を使うと、これらの和の一般的な公式は次のように与えられる。 ${\displaystyle P_{k}(s)=[u^{k}]P_{\Omega }(u,s)=h(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$${\displaystyle x_{j}:=j^{-s}\chi _{\mathbb {P} }(j)}$${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$

${\displaystyle P_{n}(s)=\sum _{{k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n} \atop {k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 0}}\left[\prod _{i=1}^{n}{\frac {P(is)^{k_{i}}}{k_{i}!\cdot i^{k_{i}}}}\right]=-[z^{n}]\log \left(1-\sum _{j\geq 1}{\frac {P(js)z^{j}}{j}}\right).}$

特殊なケースとしては、次の明示的な展開があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(s)&=P(s)\\P_{2}(s)&={\frac {1}{2}}\left(P(s)^{2}+P(2s)\right)\\P_{3}(s)&={\frac {1}{6}}\left(P(s)^{3}+3P(s)P(2s)+2P(3s)\right)\\P_{4}(s)&={\frac {1}{24}}\left(P(s)^{4}+6P(s)^{2}P(2s)+3P(2s)^{2}+8P(s)P(3s)+6P(4s)\right).\end{aligned}}}$

すべての素数ではなく、同じ法クラスにある素数のみの和を構成すると、ディリクレの L 関数の縮小であるさらに別の種類の無限級数が導入されます。

• 素数の逆数の和の発散

• Merrifield, CW (1881). 「素数の逆数とその累乗の和」. Proceedings of the Royal Society . 33 ( 216– 219): 4– 10. doi : 10.1098/rspl.1881.0063 . JSTOR  113877.
• フレーベルク、カール・エリック (1968)。 「素数ゼータ関数について」。ノルディスク ティツクル。情報取り扱い (BIT)。8 (3): 187–202。土井:10.1007/BF01933420。MR  0236123。S2CID 121500209  。
• Glaisher, JWL (1891)。「素数の逆べき乗の和について」。Quart . J. Math . 25 : 347–362。
• Mathar, Richard J. (2008). 「素数ゼータ関数のいくつかの積分の20桁」arXiv : 0811.4739 [math.NT].
• Li, Ji (2008). 「素数グラフと種の指数的構成」.組合せ理論ジャーナル. シリーズ A. 115 (8): 1374– 1401. arXiv : 0705.0038 . doi : 10.1016/j.jcta.2008.02.008 . MR  2455584. S2CID  6234826.
• Mathar, Richard J. (2010). 「小さなモジュラスに対するディリクレ L 級数と素数ゼータ モジュロ関数の表」. arXiv : 1008.2547 [math.NT].

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