ブラウン運動とリーマンゼータ関数

1987年、マルク・ヨールとフィリップ・ビアンは、ブラウンブリッジの最大値と最小値の差として定義される確率変数が$\displaystyle (b_{s})_{0\leq s\leq 1}}$同じ分布を表します。ブラウンブリッジは一次元ブラウン運動です。$\displaystyle (W_{t})_{0\leq t\leq 1}}$条件付き${\displaystyle W_{0}=W_{1}=0}$^{[ 4 ]}彼らは、

${\displaystyle X={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left(\max \limits _{0\leq s\leq 1}b_{s}-\min \limits _{0\leq s\leq 1}b_{s}\right)}$

モーメント方程式の解

${\displaystyle 2\xi (s)=\mathbb {E} [X^{s}]}$

しかし、この分布に関連するプロセスはこれだけではありません。例えば、ベッセル過程も同じ分布を持つ確率変数を生み出します。

ベッセルプロセス${\displaystyle \operatorname {Bes} (d)}$順序${\displaystyle d}$はユークリッドノルムです${\displaystyle d}$次元ブラウン運動。${\displaystyle \operatorname {Bes} (3)}$プロセスは次のように定義されます

${\displaystyle R_{t}:={\sqrt {\left(W_{t}^{(1)}\right)^{2}+\left(W_{t}^{(2)}\right)^{2}+\left(W_{t}^{(3)}\right)^{2}}}.}$

どこ${\displaystyle W_{t}=(W_{t}^{(1)},W_{t}^{(2)},W_{t}^{(3)})}$は${\displaystyle 3}$次元ブラウン運動。

打撃時間を定義する${\displaystyle T_{1}:=\inf\{t\geq 0\colon R_{t}=1\}}$そして$\displaystyle {\tilde {T_{1}}}}$他の独立した打撃時間${\displaystyle \operatorname {Bes} (3)}$プロセス。確率変数を定義します。

${\displaystyle N={\frac {\pi }{2}}\left(T_{1}+{\tilde {T_{1}}}\right),}$

すると、

${\displaystyle 2\xi (2s)=\mathbb {E} [N^{s}].}$^{[ 5 ] [ 2 ]}

させて${\displaystyle \varphi }$分布のラドン・ニコディム密度を${\displaystyle \mu }$すると密度は方程式^{[ 2 ]を満たす。}

${\displaystyle \varphi (t)=2t\Theta ''(t)+3\Theta '(t)}$

シータ関数^{[ 2 ]の場合}

${\displaystyle \Theta (t)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}t}.}$

代替パラメータ化${\displaystyle G(y):=\シータ (y^{2})}$収量^{[ 5 ]}

${\displaystyle h(y)=2yG'(y)+y^{2}G''(y).}$

明示的な形式で

${\displaystyle h(y)=4y^{2}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\pi (2\pi n^{4}y^{2}-3n^{2})e^{-\pi n^{2}y^{2}}}$

どこ${\displaystyle h(y)=2y\varphi (y^{2})}$そして

${\displaystyle 2\xi (s)=\int _{0}^{\infty }y^{s-1}h(y)dy.}$