ゼータ関数の正規化

数学と理論物理学において、ゼータ関数の正規化は、発散する和や積に有限の値を割り当てる正規化法または総和可能性法の一種であり、特に、いくつかの自己随伴演算子の行列式とトレースを定義するために使用できます。この手法は現在、物理学の問題によく適用されていますが、その起源は、数論に現れる悪条件の和に正確な意味を与えようとする試みにあります。

発散する可能性のある級数a ₁ + a ₂ + ...の合計を定義するためのゼータ関数正規化と呼ばれるさまざまな合計方法があります。

_{一つの方法は、ζ A} (−1) が定義されている場合、そのゼータ正規化和を定義することである。ここで、ゼータ関数は、大きな Re( s ) に対して次のように定義される。

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots }$

この合計が収束する場合、および他の場所では解析接続によって収束します。

a _n = nの場合、ゼータ関数は通常のリーマンゼータ関数です。この方法は、ラマヌジャンが1 + 2 + 3 + 4 + ... という数列を ζ(−1) = −1/12 に「合計」するために使用しました。

ホーキング (1977) は、ラプラシアンの固有値がわかっている平坦な空間では、分配関数に対応するゼータ関数を明示的に計算できることを示した。温度T  =  β ^{−1の平坦な時空にある体積}Vの大きな箱に含まれるスカラー場φを考える。分配関数は、箱の壁上でゼロで τ 内で周期 β で周期的なτ  =  itを置くことによって得られるユークリッド空間上のすべての場φにわたる経路積分によって定義される。この状況で、ホーキングは分配関数から場φの放射のエネルギー、エントロピー、圧力を計算した 。平坦な空間の場合、物理量に現れる固有値は一般にわかっているが、曲がった空間の場合はわかっていない。この場合には漸近法が必要となる。

別の方法では、発散する可能性のある無限積a ₁ a ₂ .... を exp(−ζ′ _A (0)) と定義します。Ray と Singer (1971) はこれを使用して、固有値a ₁、a _{2 、.... を}持つ正の自己随伴演算子 A (彼らの応用ではリーマン多様体のラプラシアン) の行列式を定義しました。この場合、ゼータ関数は形式的にはA ^{− s}のトレースになります。Minakshisundaram と Pleijel (1949) は、Aがコンパクト リーマン多様体のラプラシアンである場合、 Minakshisundaram–Pleijel ゼータ関数は 収束し、すべての複素数への有理型関数として解析接続を持つことを示しました。また、Seeley (1967) はこれをコンパクト リーマン多様体上の楕円擬微分演算子Aに拡張しました。したがって、このような演算子については、ゼータ関数の正規化を使用して行列式を定義できます。「解析的捩れ」を参照してください。

ホーキング（1977）は、このアイデアを曲がった時空での経路積分を評価するために使用することを提案しました。彼は、熱方程式の核のトレースに対する逆メリン変換の関係を使用して、ブラックホールの地平線やド・ジッター背景などの曲がった背景での熱重力子と物質の量子に対する分配関数を計算するために、ゼータ関数の正規化を研究しました。

ゼータ関数の正規化が利用できる最初の例は、カシミール効果に現れます。これは、3 つの空間次元で量子場の大部分の寄与がある平坦な空間です。この場合、-3 におけるリーマン ゼータ関数の値を計算する必要がありますが、これは明示的に発散します。ただし、s = -3 まで解析的に接続することができ、うまくいけば極がないため、式に有限の値を与えることができます。この正規化の詳細な例は、カシミール効果の詳細な例に関する記事に記載されています。ここでは、結果として得られる合計が非常に明示的にリーマン ゼータ関数になります(また、一見すると手品のような解析接続によって加法的無限大が除去され、物理的に重要な有限数が残ります)。

ゼータ関数正規化の一例としては、量子場理論における粒子場のエネルギーの真空期待値の計算がある。より一般的には、ゼータ関数アプローチは、平坦な時空と曲がった時空の両方でエネルギー運動量テンソル全体を正規化するために使用できる。^{[1] [2] [3]}

エネルギーの非調整値は、真空のすべての励起モードの ゼロ点エネルギーの合計によって与えられます。

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}}$

ここで、はエネルギー運動量テンソルのゼロ番目の成分であり、その和（積分でもよい）はすべての（正と負の）エネルギーモードに及ぶものと理解される。絶対値は、エネルギーが正であるとみなされることを思い起こさせる。この和は、通常、無限大である（は通常、n に関して線形である）。和は、次のように書くことで 正規化できる。${\displaystyle T_{00}}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s}}$

ここで、s は複素数としてとられる何らかのパラメータです。4より大きい実数の s (3 次元空間の場合) の場合、合計は明らかに有限であるため、理論的に評価できる場合がよくあります。

ゼータ正規化は、物理システムのさまざまな対称性が保存されるような方法で使用できることが多いため便利です。ゼータ関数正規化は、共形場理論、繰り込み、および弦理論の臨界時空次元の固定に使用されます。

ゼータ関数正則化は次元正則化と同等である （ ^[4]を参照） 。しかし、ゼータ関数正則化の主な利点は、次元正則化が失敗した場合、例えば計算内に行列やテンソルがある場合に使用できることである。${\displaystyle \epsilon _{i,j,k}}$

ゼータ関数正規化は、算術関数 f ( n ) 上の任意の和に解析構造を与える。このような和はディリクレ級数として知られている。正規化された形式

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

は、和の発散を複素s平面上の単純な極に変換する。数値計算では、ゼータ関数正規化は収束が非常に遅いため不適切である。数値計算の目的のために、より速く収束する和は指数正規化であり、次式で表される。

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.}$

これはfのZ 変換と呼ばれることもあり、z  = exp(− t ) となります。指数正規化とゼータ正規化の解析構造は関連しています。指数和をローラン級数として展開すると

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }$

ゼータ系列は次のような構造を持つことがわかる。

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{s-N}}+\cdots .}$

指数関数とゼータ関数の構造はメリン変換によって関連付けられます。ガンマ関数の積分表現を利用することで、一方を他方に変換できます。

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

それがアイデンティティにつながる

${\displaystyle \Gamma (s){\tilde {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}F(t)\,dt}$

指数関数とゼータ関数の関係を解明し、s 平面の極をローラン級数の発散項に変換します。

合計

${\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}}$

は、熱核または熱核正規化和と呼ばれることがあります。この名前は、が熱核の固有値として理解されることがあるという考えに由来しています。数学では、このような和は一般化ディリクレ級数として知られています。平均化に使用することはアーベル平均として知られています。これは、ラプラス・スティルチェス変換と密接に関連しており、 ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}$

ここで はステップ関数であり、 のステップでとなる。このような級数の収束についてはいくつかの定理が存在する。例えば、ハーディ・リトルウッドのタウバー定理によれば、^[5]${\displaystyle \alpha (t)}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle t=|\omega _{n}|}$

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}}$

の級数は半平面上で収束し、半平面上のあらゆるコンパクト部分集合上で一様収束する。物理学へのほとんどすべての応用において、${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle \Re (s)>L}$${\displaystyle \Re (s)>L}$${\displaystyle L=0}$

熱核とゼータ関数正規化法で正規化された級数の収束と同値性を確立する初期の研究の多くは、1916年にGHハーディとJEリトルウッドによって行われ^{[6] 、}カーン・メリン積分の応用に基づいています。この研究は、数論に現れる様々な定義が曖昧で条件付きで収束する和の値を得るために行われました。

物理的問題における調節子としての応用では、ホーキング（1977）より前に、1976年にJ.スチュアート・ダウカーとレイモンド・クリッチリーが量子物理的問題のためのゼータ関数正則化法を提案した。^[7]エミリオ・エリザルデらも積分に対するゼータ正則化に基づく方法を提案した。ここでは調節子であり、発散積分は極限内の数値に依存する（くりこみを参照）。また、次元正則化や解析正則化などの他の正則化とは異なり、ゼータ正則化には対抗項がなく、有限の結果のみを与える。 ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{m-s}dx}$${\displaystyle x^{-s}}$${\displaystyle \zeta (s-m)}$${\displaystyle s\to 0}$

• 生成関数 – 形式的な冪級数。係数は自然数でインデックス付けされたシーケンスに関する情報をエンコードします。
• ペロンの公式 – 解析的整数論における算術関数の和を計算する公式
• 再正規化 – 無限大を扱うために物理学で使われる方法
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯  – 発散級数
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯  – 発散級数
• 解析的捩れ – ホモトピー同値多様体を区別できる多様体の位相不変量
• ラマヌジャンの和 – 発散する無限級数を合計するための数学的手法
• ミナクシスンダラム – プレイジェルのゼータ関数
• ゼータ関数（演算子）

• ^ Tom M. Apostol、「数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数」、Springer-Verlag New York。（第 8 章を参照。）
• ^ A. Bytsenko、G. Cognola、E. Elizalde、V. Moretti、S. Zerbini、「量子場の分析的側面」、World Scientific Publishing、2003 年、 ISBN  981-238-364-6
• ^ GH Hardy と JE Littlewood、「リーマンゼータ関数の理論と素数分布の理論への貢献」、 Acta Mathematica、 41 (1916) pp. 119–196。 (例えば、定理 2.12 を参照)
• ホーキング、SW (1977)、「曲がった時空における経路積分のゼータ関数正規化」、Communications in Mathematical Physics、55 (2): 133–148、Bibcode :1977CMaPh..55..133H、doi :10.1007/BF01626516、ISSN  0010-3616、MR  0524257、S2CID  121650064
• ^ V. Moretti、「直接Z関数アプローチと曲がった時空における1ループ応力テンソルの再正規化」、 Phys. Rev.D 56、7797（1997）。
• Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949)、「リーマン多様体上のラプラス作用素の固有関数のいくつかの特性」、Canadian Journal of Mathematics、1 (3): 242–256、doi : 10.4153/CJM-1949-021-5、ISSN  0008-414X、MR  0031145
• Ray, DB; Singer, IM (1971)、「R捩れとリーマン多様体上のラプラシアン」、Advances in Mathematics、7 (2): 145–210、doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4、MR  0295381
• 「ゼータ関数法による正規化」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Seeley, RT (1967)、「楕円演算子の複素累乗」、Calderón, Alberto P. (編)、特異積分 (Proc. Sympos. Pure Math.、シカゴ、イリノイ州、1966)、Proceedings of Symposia in Pure Mathematics、第 10 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: Amer. Math. Soc.、pp. 288–307、ISBN 978-0-8218-1410-9、MR  0237943
• ^ Dowker, JS; Critchley, R. (1976)、「ド・シッター空間における有効ラグランジアンおよびエネルギー運動量テンソル」、Physical Review D、13 (12): 3224–3232、Bibcode :1976PhRvD..13.3224D、doi :10.1103/PhysRevD.13.3224
• ^ D. Fermi、 L . Pizzocchero、「局所ゼータ正規化とスカラーカシミール効果。積分カーネルに基づく一般的なアプローチ」、World Scientific Publishing、 ISBN 978-981-3224-99-5 (ハードカバー)、 ISBN 978-981-3225-01-5 (電子書籍)。doi:10.1142/10570 (2017)。