実軸を中心とした複素数の角度
図 1. この アルガン図は、 平面 上にある 複素数 を表します 。平面上の各点について、 arg は 角度を返す関数です 。
φ
{\displaystyle \varphi}
数学 (特に 複素解析 )において 、 複素数 zの 偏角は arg( z ) と表記され 、 正の 実 軸 と原点と z を結ぶ線との間の 角度 であり、図 1 に示すように 複素平面上 の点として表されます 。慣例により、正の実軸は右向きに描かれ、正の 虚軸は上向きに描かれ、実部が正の複素数は 反時計 回りの偏角を持ち、符号が正であると見なされます 。
φ
{\displaystyle \varphi}
任意の実数値角度を考えるとき、引数は 非ゼロの 複素数に作用する 多価関数 である。この関数の 主値は 単価であり、通常は区間 (− π 、 π ] 内にある引数の一意の値に選択される。 [1] [2] この記事では、多価関数を arg( z ) 、その主値を Arg( z ) と表記するが、一部の資料ではこれらの記号の大文字と小文字が入れ替わっている。
意味 図2. 議論の2つの選択肢
φ
{\displaystyle \varphi}
非ゼロ複素数 z = x + iy の引数 arg( z ) は 、 2つの同等の方法で定義されます。
幾何学的には、 複素平面 において、正の実軸から z を表すベクトルまでの 2D 極角 として表されます。数値は ラジアン 単位の角度で表され、反時計回りに測定された場合は正になります。
φ
{\displaystyle \varphi}
代数的には、ある正の 実数 r に対してとなる任意の実数として表されます ( オイラーの公式 を参照)。 量 rは zの 絶対値 (または絶対値) であり 、| z | と表記されます。
φ
{\displaystyle \varphi}
ず = r （ コス φ + 私 罪 φ ） = r
e
私 φ
{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}
r =
x
2
+
ええ
2
。
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}
ゼロの引数は通常は未定義のままです。 係数を表す magnitude（ 振幅）と引数を表す phase（ 位相）[3] [1]は 、 同義語として使用されることがあります。
どちらの定義でも、任意の非ゼロ複素数の引数には多くの可能な値があることがわかります。まず、幾何学的な角度として、円全体を回転しても点は変わらないことは明らかです。そのため、右の図 2 に反映されているように、 2π ラジアン の整数倍(完全な円) だけ異なる角度は同じです。同様に、 sin と cos の 周期性 から、2 番目の定義にもこの特性があります。
主値 図3. 1 + i にある青い点の 主値 Argは π/4 です 。ここでの赤い線は分岐切断であり、図4 で垂直に重ねて表示されている 2 本の赤い線に対応しています。 原点の周りを完全に回転しても複素数は変化しないため、 原点を何回でも周回することで、多くの選択肢が生まれます。これは、 多値 (集合値) 関数の表現である図 2 に示されています。 図では、垂直線 (図には示されていません) が、その点の角度の可能な選択肢すべてを表す高さで表面を切断しています。
φ
{\displaystyle \varphi}
ふ （ x 、 ええ ） = 引数 （ x + 私 ええ ）
{\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}
明確に定義された 関数が必要な場合 、通常は主値と呼ばれる 開 区間 [− π rad, π rad] 内の値が 選択 さ れ ます 。 これ は、− π rad 自体は含まない − π から π ラジアンまで（つまり、−180°自体は含まない −180 度から +180 度まで）です 。 これ は 、 どちら の 方向 で も 、 正の実軸から完全な円の半分までの角度を表します。
一部の著者は、主値の範囲を閉開区間 [0, 2π ) 内 にあると定義しています。
表記 主値は 、特に引数の一般バージョンも考慮される場合、 Arg z のように最初の文字が大文字になることがあります。表記法は異なるため、 arg と Arg は 異なるテキストで入れ替わる場合があることに注意してください。
引数のすべての可能な値の集合は、 Arg に関して 次のように記述できます。
引数 （ ず ） = { アーグ （ ず ） + 2 π ん ∣ ん ∈
ず
} 。
{\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}。
実数部と虚数部からの計算 複素数が実部と虚部でわかっている場合、主値 Arg を計算する関数は 2 引数逆正接関数 atan2 と呼ばれます 。
アーグ （ x + 私 ええ ） = アタン2 （ ええ 、 x ）
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)}
。 atan2関数 は多くのプログラミング言語の数学ライブラリで利用可能であり、時には異なる名前で提供され、通常は (−π,π] の範囲の値を返します 。 [1]
いくつかの情報源では、この引数は と定義されていますが 、これは x > 0 の場合にのみ正しいです。ここで 、 は明確に定義されており、角度は と の間にあります 。この定義を x が正でない場合まで拡張するのは、 比較的複雑です。具体的には、引数の主値を半平面 x > 0と x < 0 の 2 つの象限で別々に定義 し、次に定義をつなぎ合わせます。
アーグ （ x + 私 ええ ） = アークタンジェント （ ええ
/
x ） 、
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\arctan(y/x),}
ええ
/
x
{\displaystyle y/x}
−
π 2
{\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}}
π 2
。
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}.}
アーグ （ x + 私 ええ ） = アタン2 （ ええ 、 x ） =
{
アークタンジェント
（
ええ x
）
もし
x > 0 、
アークタンジェント
（
ええ x
）
+ π
もし
x < 0
そして
ええ ≥ 0 、
アークタンジェント
（
ええ x
）
− π
もし
x < 0
そして
ええ < 0 、
+
π 2
もし
x = 0
そして
ええ > 0 、
−
π 2
もし
x = 0
そして
ええ < 0 、
未定義
もし
x = 0
そして
ええ = 0.
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y<0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y=0.\end{cases}}}
詳細と代替実装については、
atan2 を 参照してください。
コンピュータ言語における関数の実現
ウルフラム言語 (Mathematica) Wolfram言語では、次のようになります Arg[z]: [4]
Arg[x + y I]
=
{
未定義
もし
|
x
|
= ∞
そして
|
ええ
|
= ∞ 、
0
もし
x = 0
そして
ええ = 0 、
0
もし
x = ∞ 、
π
もし
x = − ∞ 、
±
π 2
もし
ええ = ± ∞ 、
アーグ （ x + ええ 私 ）
さもないと
。
{\displaystyle ={\begin{cases}{\text{undefined}}&{\text{if }}|x|=\infty {\text{ かつ }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y=0,\\[5mu]0&{\text{if }}x=\infty ,\\[5mu]\pi &{\text{if }}x=-\infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}y=\pm \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
または言語の を使用します ArcTan:
Arg[x + y I]
=
{
0
もし
x = 0
そして
ええ = 0 、
アークタンジェント[x, y]
さもないと
。
{\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{x=0{\text{かつy=0の場合、\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{それ以外の場合}}.\end{cases}}}
ArcTan[x, y]は無限大を扱うために拡張されてい ます。 は (つまり、 まだ 定義されています)、何も返しません (つまり、 undefined です )。
アタン2 （ ええ 、 x ）
{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}
ArcTan[0, 0]IndeterminateArcTan[Infinity, -Infinity]
メープル Maple の は Wolfram言語と argument(z)同じように動作しますが、 が特殊な浮動小数点値 である 場合に も を返します 。 [5]
また、Mapleには がありません 。
Arg[z]argument(z)
π
{\displaystyle \pi}
z−0.
アタン2
{\displaystyle \operatorname {atan2} }
マテリアライズド MATLAB の [6] [7] angle(z)動作はWolfram言語と 同じです が、
Arg[z]
{
1
π
4
if
x
=
∞
and
y
=
∞
,
−
1
π
4
if
x
=
∞
and
y
=
−
∞
,
3
π
4
if
x
=
−
∞
and
y
=
∞
,
−
3
π
4
if
x
=
−
∞
and
y
=
−
∞
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=-\infty .\end{cases}}}
Maple や Wolfram 言語とは異なり、MATLAB の は atan2(y, x)と同等です angle(x + y*1i)。つまり、 atan2(0, 0)は です 。
0
{\displaystyle 0}
アイデンティティ 主値 Argを 定義する主な動機の1つは、複素数を法引数形式で記述できるようにすることです。したがって、任意の複素数 z に対して、
z
=
|
z
|
e
i
Arg
z
.
{\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}
これは、 z が ゼロ以外の 場合にのみ有効ですが、 Arg(0) が未定義ではなく
不定形式 であると見なされる 場合は、 z = 0に対して有効であると見なすことができます。
さらにいくつかの恒等式が続く。z 1 と z 2 が2 つ の非ゼロ複素数である場合、
Arg
(
z
1
z
2
)
≡
Arg
(
z
1
)
+
Arg
(
z
2
)
(
mod
R
/
2
π
Z
)
,
Arg
(
z
1
z
2
)
≡
Arg
(
z
1
)
−
Arg
(
z
2
)
(
mod
R
/
2
π
Z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }},\\\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.\end{aligned}}}
z ≠0 かつ n が任意の整数である 場合、 [1]
Arg
(
z
n
)
≡
n
Arg
(
z
)
(
mod
R
/
2
π
Z
)
.
{\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.}
例
Arg
(
−
1
−
i
i
)
=
Arg
(
−
1
−
i
)
−
Arg
(
i
)
=
−
3
π
4
−
π
2
=
−
5
π
4
{\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}}
複素対数を使う から 、 あるいはが得られます 。虚数部を取っているため、実数スカラーによる正規化は結果に影響しません。これは、 複素対数 が利用できる場合に便利です。
z
=
|
z
|
e
i
Arg
(
z
)
{\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} (z)}}
i
Arg
(
z
)
=
ln
z
|
z
|
{\displaystyle i\operatorname {Arg} (z)=\ln {\frac {z}{|z|}}}
Arg
(
z
)
=
Im
(
ln
z
|
z
|
)
=
Im
(
ln
z
)
{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {Im} (\ln {\frac {z}{|z|}})=\operatorname {Im} (\ln z)}
拡張された議論 数zの拡張引数（ と表記）は、 2を法 として同値となる実数全体の集合である 。 [8]
arg
¯
(
z
)
{\displaystyle {\overline {\arg }}(z)}
arg
(
z
)
{\displaystyle \arg(z)}
π
{\displaystyle \pi }
arg
¯
(
z
)
=
arg
(
z
)
+
2
k
π
,
∀
k
∈
Z
{\displaystyle {\overline {\arg }}(z)=\arg(z)+2k\pi ,\forall k\in \mathbb {Z} }
参考文献
^ abcd Weisstein, Eric W. 「複雑な議論」 。mathworld.wolfram.com 。 2020年8月31日 閲覧 。 ^ 「純粋数学」 。internal.ncl.ac.uk 。 2020年8月31日 閲覧 。 ^ 数学辞典 (2002)。 位相 。 ^ "Arg". Wolfram言語ドキュメント . 2024年8月30日 閲覧。 ^ 「引数 - Maple ヘルプ」。 ^ 「位相角 - MATLAB 角度」。 ^ 「4象限逆正接 - MATLAB atan2」。 ^ 「複素数の代数的構造」 www.cut-the-knot.org . 2021年8月29日 閲覧 。
文献
アルフォース、ラース (1979)。 複素解析: 1 複素変数の解析関数の理論入門 (第 3 版)。ニューヨーク、ロンドン: McGraw- Hill。ISBN 0-07-000657-1 。 ポヌスワミ、S. (2005)。 複素解析の基礎 （第2版）。ニューデリー、ムンバイ：ナローサ 。ISBN 978-81-7319-629-4 。 ベアドン、アラン（1979年）。 『複素解析：解析と位相幾何学における論証原理 』チチェスター：ワイリー 。ISBN 0-471-99671-8 。 Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan (2002) [第 1 版。1989 年、Dictionary of Mathematics として出版 ] 。 数学 。Collins Dictionary (第 2 版)。グラスゴー: HarperCollins。ISBN 0-00-710295-X 。
外部リンク 
![{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y<0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bfbb35f671d62261506c3d87c7f98f36e0cfeb)
![{\displaystyle ={\begin{cases}{\text{undefined}}&{\text{if }}|x|=\infty {\text{ かつ }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{if }}x=0{\text{ かつ }}y=0,\\[5mu]0&{\text{if }}x=\infty ,\\[5mu]\pi &{\text{if }}x=-\infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}y=\pm \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3312c0b6fd0323590ac8284777895c42ca060d62)
![{\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{x=0{\text{かつy=0の場合、\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{それ以外の場合}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417935b528c9e6995c670956eb27b01108161b0c)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ かつ }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ かつ }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ かつ }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ かつ }}y=-\infty .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a307c8b014a10f796f164859b966cebd0878694)
