下降階乗と上昇階乗

数学では、下降階乗（時には降下階乗、^{[ 1 ]}下降逐次積、または下降階乗と呼ばれる）は、多項式として定義されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).\end{aligned}}}$$

上昇階乗（ポッホハマー関数、ポッホハマー多項式、上昇階乗、^{[ 1 ]}上昇逐次積、または上階乗とも呼ばれる）は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$$

それぞれの値は、次の場合に 1 (空の積)とみなされます。${\displaystyle n=0}$これらの記号はまとめて階乗と呼ばれます。^{[ 2 ]}

レオ・アウグスト・ポッホハマーによって導入されたポッホハマー記号は、${\displaystyle (x)_{n}}$ここでnは非負の整数です。これは上昇階乗または下降階乗のいずれかを表す可能性があり、記事や著者によって異なる慣習が用いられています。ポッハマー自身は実際に を使用しました。${\displaystyle (x)_{n}}$さらに別の意味として、二項係数を表す場合もある。${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}$[ ^{3 ]​}

この記事では、シンボル${\displaystyle (x)_{n}}$は下降階乗を表すために使用され、記号は${\displaystyle x^{(n)}}$は上昇階乗に使用されます。これらの慣例は組み合わせ論で使用されています が、^{[ 4 ]}クヌースの下線と上線の表記法は${\displaystyle x^{\underline {n}}}$そして${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ますます人気が高まっている。^{[ 2 ] [ 5 ]}特殊関数 の理論（特に超幾何関数）および標準的な参考書であるAbramowitzとStegunでは、ポッホハマー記号は${\displaystyle (x)_{n}}$上昇階乗を表すために使用される。^{[ 6 ] [ 7 ]}

いつ${\displaystyle x}$は正の整数で、下降階乗${\displaystyle (x)_{n}}$n個の順列の数、${\displaystyle n}$異なる要素)${\displaystyle x}$要素集合、または同等に、サイズの集合からの単射関数の数${\displaystyle n}$サイズのセットへ${\displaystyle x}$上昇階乗${\displaystyle x^{(n)}}$のパーティションの数を示します${\displaystyle n}$-要素がセットされます${\displaystyle x}$順序付けられたシーケンス（空の場合もある）。^{[ a ]}

最初のいくつかの階乗（下降階乗）は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}}$$

最初のいくつかの階乗の上昇値は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}}$$

展開式に現れる係数は、第一種スターリング数です。§接続係数と恒等式については 、以下を参照してください。

変数が${\displaystyle x}$は正の整数で、その数は${\displaystyle (x)_{n}}$は、 x個の項目の集合からn個の順列を選択する数、つまり、長さの順序付きリストを選択する方法の数に等しい。${\displaystyle n}$サイズのコレクションから抽出された異なる要素で構成されています${\displaystyle x}$。 例えば、${\displaystyle (8)_{3}=8\times 7\times 6=336}$は、8人制レースにおける金、銀、銅メダルの授与、つまり可能な異なる表彰台の数です。一方、${\displaystyle x^{(n)}}$「並べる方法の数」${\displaystyle n}$旗が${\displaystyle x}$旗竿」^{[ 8 ]} すべての旗を使用し、各旗竿には任意の数の旗を立てることができる。言い換えれば、これはサイズの集合を分割する方法の数である。${\displaystyle n}$（旗を）${\displaystyle x}$互いに分離した部分（旗竿）があり、各部分の要素には線形順序（各旗竿上の旗の順序）がある。

上昇階乗と下降階乗は単純に互いに関連している。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{alignedat}}}$$整数の下降階乗と上昇階乗は、通常の階乗と直接関係があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(mn)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}$$下降階乗の和に関する有用な恒等式は^{[ 9 ]である。}$$\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(k)_{m}={\frac {(n)_{m+1}}{m+1}}.}$$半整数の上昇階乗は、 2 階乗に直接関係している${\displaystyle m!!=m(m-2)(m-4)\cdots }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}$$下降階乗と上昇階乗は、二項係数を表すために使用できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}$$したがって、二項係数に関する多くの恒等式は、減少階乗と増加階乗にも適用できる。

上昇階乗と下降階乗は任意の単位環で明確に定義され、したがって${\displaystyle x}$例えば、負の整数を含む複素数、複素係数を持つ多項式、または任意の複素数値関数とみなすことができる。

下降階乗と上昇階乗はスターリング数と密接に関係している。実際、積を展開すると第一種スターリング数が得られる。$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}$$そして逆の関係式では、第2種スターリング数を用いる。$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$$下降階乗と上昇階乗は、ラー数を介して互いに関連している。${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}x^{(k)}\end{aligned}}}$$下降階乗は多項式環の基底であるため、2 つの下降階乗の積を下降階乗の線形結合として表すことができます。 ^{[ 11 ]}$${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}$$係数${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}$これらは接続係数と呼ばれ、組み合わせ論的な解釈では、サイズmの集合とサイズnの集合からそれぞれk 個の要素を識別する（または「結合する」）方法の数として表されます。

また、2つの上昇階乗の比率に関する接続式も存在する。 $${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}$$さらに、次の恒等式によって一般化された指数法則と負の上昇および下降指数を展開することができます。^{[ 12 ]（p 52）}$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n+1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\end{aligned}}}$$最後に、下降階乗と上昇階乗の 倍数と乗数の公式から、次の関係が得られます。$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}&{\text{ for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)}&{\text{ for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right)&{\text{ for }}x&\neq 0\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}$$

下降階乗は、前方差分演算子を使用して多項式を表す式に現れます。${\displaystyle \operatorname {\Delta } f(x)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x+1)-f(x),}$これは形式的にはテイラーの定理と全く同じである。陰影計算による級数展開と比較せよ。

$${\displaystyle \qquad f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{n!}}\operatorname {\Delta } _{x}^{n}f(x){\bigg \vert }_{x=0}(t)_{n}\qquad }$$

微分積分学からの対応する級数とともに

$${\displaystyle \qquad f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left[{\frac {d}{dx}}\right]^{n}f(x){\bigg \vert }_{x=0}t^{n}~.}$$

この式や他の多くの場所で、減少階乗${\displaystyle (x)_{n}}$有限差分法では、${\displaystyle x^{n}}$微分積分学において。別の例として、次の類似点に注目してください。${\displaystyle ~\operatorname {\Delta } (x)_{n}=n(x)_{n-1}~}$に${\displaystyle ~{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}~.}$

上昇階乗と後退差分演算子についても同様の関係が成り立つ。

この種の類推の研究は、陰影計算として知られています。下降階乗関数と上昇階乗関数を含む、このような関係を網羅する一般理論は、二項型多項式列とシェファー列の理論によって与えられます。下降階乗と上昇階乗は、次の関係式で示されるように、二項型シェファー列です。

$${\displaystyle \ {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{(n-j)}b^{(j)}\end{aligned}}\ }$$

ここで係数は二項定理の係数と同じである。

同様に、ポッホハマー多項式の母関数は、陰影指数関数に相当する。

$${\displaystyle \ \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x},}$$

以来

$${\displaystyle \ \operatorname {\Delta } _{x}(1+t)^{x}=t\cdot (1+t)^{x}~.}$$

上昇階乗の別の表記法 $${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$ そして、減少階乗については $${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$ それぞれ A. Capelli (1893) と L. Toscano (1939) に遡る。^{[ 2 ]} Graham、Knuth、および Patashnik ^{[ 12 ] (47、48 ページ)} は、これらの表現をそれぞれ「xのm上昇」および「xのm下降」と発音することを提案している。

上昇階乗の別の表記法${\displaystyle x^{(n)}}$あまり一般的ではない${\displaystyle (x)_{n}^{+}~.}$いつ${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$は上昇階乗を表すために使用され、表記法は${\displaystyle (x)_{n}^{-}}$混乱を避けるため、通常は通常の階乗に使用されます。^{[ 3 ]}

ポッホハマー記号には、多変量解析で使用される一般化ポッホハマー記号と呼ばれる一般化バージョンがあります。また、q版のqポッホハマー記号もあります。

任意の固定算術関数に対して${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$記号パラメータx、t は、次の形式の一般化された階乗積に関連する。

$${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$$

これは、( x ) _n、f、tの展開におけるxのべき乗の次の係数によって定義される第 1 種の一般化スターリング数のクラスの観点から研究することができ、次に、対応する次の三角漸化式によって研究することができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$$

これらの係数は、第１種のスターリング数と同様の性質を多数満たし、 f調和数に関連する漸化式や関数方程式も満たしている。 ^{[ 13 ]}$${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}$$

• ポッホハンマーkシンボル
• ヴァンダーモンドのアイデンティティ

• Weisstein, Eric W. 「ポッホハンマー記号」 . MathWorld .