ハンケル等高線

数学において、ハンケル等高線は、複素平面上で(+∞,δ) から原点の周りを反時計回りに回り (+∞,−δ) に戻る経路である。ここで、 δ は任意の小さな正の数である。したがって、等高線は実軸に任意の程度近いままであるが、 xが負の値である場合を除いて実軸と交差しない。ハンケル等高線は、実軸のすぐ上と下に鏡像を持ち、原点を中心とする半径 ε の円に接続された経路で表すこともできる。ここで、 ε は任意の小さな数である。等高線の 2 つの直線部分は、実軸から δ の距離にあると言われる。したがって、等高線の直線部分間の合計距離は 2δ である。^[1]等高線は正の方向の意味で横断され、つまり、原点の周りの円が反時計回りに横断される。

ハンケル等高線の使用は等高線積分法の1 つです。このタイプの等高線積分法は、ガンマ関数の研究でヘルマン・ハンケルによって初めて使用されました。

ハンケル曲線は、ガンマ関数、リーマンゼータ関数、その他のハンケル関数（第3種ベッセル関数）などの積分を評価するために使用されます。^{[1] [2]}

ハンケル等高線は、ガンマ関数を複素t平面で表現して解くのに役立ちます。ハンケル等高線に沿って積分を評価すれば、平面内の任意の複素数値に対してガンマ関数を定義できます。ハンケル等高線は、等高線の端点が消えるため、ガンマ関数の基本特性を満たすことができ、任意の複素数値に対してガンマ関数を表現するのに特に便利です。^[2]${\displaystyle \ガンマ (z+1)=z\ガンマ (z)}$

ハンケル等高線は、基本特性 に基づいてガンマ関数^[2]の式を導くのに役立ちます。 という形式の仮定を仮定します。ここで はハンケル等高線です。 ${\displaystyle \ガンマ (z+1)=z\ガンマ (z)}$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{C}f(t)t^{z-1}dt}$${\displaystyle C}$

この仮定を基本的性質に代入し、右辺を部分積分すると、次式が得られる。 $${\displaystyle \int _{C}f(t)t^{z}dt=[t^{z}f(t)]-\int _{C}t^{z}f'(t)dt.}$$

したがって、ハンケル曲線の端点で消える ほど十分に速く減衰すると仮定すると、${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t^{z}f(t)}$$${\displaystyle \int _{C}t^{z}(f(t)+f'(t))dt=0\implies f(t)+f'(t)=0.}$$

この微分方程式の解はです。 はに関して定数です が、の関数である可能性があります。を元の積分に代入すると が得られます。ここ で のマイナス記号はの定義に因子を吸収することで表されます。 ${\displaystyle f(t)=Ae^{-t}.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle t}$${\displaystyle A}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f(t)}$$${\displaystyle \Gamma (z)=A(z)\int _{C}e^{-t}(-t)^{z-1}dt,}$$${\displaystyle (-t)^{z-1}}$${\displaystyle (-1)^{z-1}}$${\displaystyle A(z)}$

ハンケル曲線に沿って積分すると、ガンマ関数の曲線積分表現は^{[説明が必要]} となる。^[2]${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi z}}}\int _{C}e^{-t}(-t)^{z-1}dt}$

• Schmelzer, Thomas; Trefethen, Lloyd N. (2007-01). 「等高線積分と有理近似を用いたガンマ関数の計算」. SIAM Journal on Numerical Analysis. 45 (2): 558–571. doi :10.1137/050646342. ISSN  0036-1429.
• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン（2007年）。乗法数論I.古典理論。ケンブリッジ上級数学論文集。97。515ページ。ISBN 0-521-84903-9。 

• http://mathworld.wolfram.com/HankelContour.html
• NIST 数学関数デジタルライブラリ:ガンマ関数:積分表現