ルネ（幾何学）

平面幾何学において、ルーン（ラテン語のluna 「月」に由来）は、2 つの円弧で囲まれた凹凸領域である。^{[ 1 ]}ルーンには、任意の 2 つの近接点を結ぶ線分が領域の外側に移動する境界部分と、任意の 2 つの近接点を結ぶ線分が完全に領域内に入る境界部分がある。凸凸領域はレンズと呼ばれる。^{[ 2 ]} 

正式には、ルーンは、ある円盤の別の円盤の相対補集合です（両者が交差しますが、どちらも他方の部分集合ではありません）。あるいは、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$ディスクの場合、${\displaystyle A\smallsetminus A\cap B}$ルネです。

紀元前5世紀、キオス島のヒポクラテスは、ヒポクラテスの三日月と他の2つの三日月が定規とコンパスで正確に正方形にできる（同じ面積の正方形に変換できる）ことを示した。1000年頃、アルハゼンは、現在彼の名が付けられている一対の三日月を使って円を正方形にしようと試みた。1766年、フィンランドの数学者ダニエル・ワインクイストは、ダニエル・ベルヌーイを引用して、ヒポクラテスが知っていたものに加えて、5つの幾何学的に正方形にできる三日月をすべて列挙した。1771年、レオンハルト・オイラーは一般的なアプローチを示し、この問題に対するある方程式を得た。1933年と1947年に、ニコライ・チェボタリョフとその弟子アナトリー・ドロドノフは、これら5つが唯一の正方形にできる三日月であることを証明した。^{[ 3 ] [ 1 ]}

半径aとb ( b>a ) の円で、中心間の距離がcである三日月形の面積は^{[ 3 ]です。}

${\displaystyle A=2\Delta +a^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2ac}}\right)-b^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right),}$

どこ$\displaystyle {\text{cos}}^{-1}}$は逆余弦またはアークコサインであり、

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}}$

は、辺の長さがa、b、cの三角形の面積です。

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