正多面体の一覧

この記事では、ユークリッド空間、球面空間、双曲空間の正多面体を一覧表示します。

この表は、ランク別の正多面体のカウントの概要を示しています。

いかなる次元においても、ユークリッドの正規の星型モザイクは存在しません。

階数1の多面体（1-多面体）は1つしか存在せず、これは2つの端点によって囲まれた閉じた線分である。この1-多面体の実現はすべて正則である。これはシュレーフリ記号{}で表され、^{[2] [3]}、または1つのリングノードを持つコクセター図で表される。ノーマン・ジョンソンはこれをディオン^[4]と呼び、シュレーフリ記号{}を与えた 。

多面体としては自明であるが、多角形や他の高次元多面体の辺として現れる。 ^[5]シュレーフリ記号{ }×{p}やコクセター図のような一様プリズムの定義に使用される。線分と正多角形の直積として。 ^[6]

階数 2 の多面体 (2 多面体) は多角形と呼ばれます。正多角形は正等辺かつ環状です。p角形正多角形は、シュレーフリ記号{p}で表されます。

多くの情報源では凸多角形のみを考慮していますが、五芒星のような星型多角形も、考慮すると正則になります。星型多角形は凸形と同じ頂点を使用しますが、円の周りを複数回回って完成する交互の接続で接続します。

シュレーフリ記号{p}は正多角形を表します。

正二角形{2}は退化した正多角形とみなすことができます。球面やトーラスの表面など、一部の非ユークリッド空間では非退化的に実現できます。たとえば、二角形は球面状の三角点として非退化的に実現できます。一角形{1}も、球面上の大円を通る単一の点として実現できます。^[7]ただし、一角形は単一の辺が2つの頂点ではなく1つの頂点にしか接続されていないため、 有効な抽象多面体ではありません。

2次元には、シュレーフリ記号が有理数{ n / m }で構成される正星型多面体が無数に存在します。これらは星型多面体と呼ばれ、凸正多角形と 同じ頂点配置を共有します。

一般に、任意の自然数nに対して、m < n /2 (厳密には{ n / m } = { n / ( n − m )} ) かつmとnが互いに素である(したがって、辺の数が素数である多角形の星形はすべて、正星になる) ようなすべてのmに対して、シュレーフリ記号{ n / m } を持つ正n 尖星が存在する。 m と nが互いに素でない記号は、複合多角形を表すために使用されることがある。

モノゴンやディゴンと同様に、球状のタイリングとしてのみ存在できる星型多角形が存在する可能性があります (例: {3/2}、{5/3}、{5/4}、{7/4}、{9/5}) が、これらは詳細に研究されていません。

また、円の表面を有限回覆わない、パイアングルのような失敗した星型多角形も存在する。 ^[8]

平面の正多角形に加えて、正斜多角形は無数に存在します。斜多角形は、ブレンディング操作によって作成できます。

2 つの多角形PとQのブレンド ( P # Qと表記) は次のように構築できます。

1. それらの頂点の直積V _P × V _Qをとります。
2. エッジ( p ₀ × q ₀、p ₁ × q ₁ )を追加します。ここで、( p ₀、p ₁ )はPのエッジであり、( q ₀、q ₁ )はQのエッジです。
3. 結果の任意の接続コンポーネントを選択します。

あるいは、ブレンドは多角形⟨ρ 0 σ ₀ , ρ ₁ σ ₁ ⟩であり、ρとσは直交部​​分空間に配置されたPとQの生成ミラーです。 ^{[9]ブレンド操作は可換、}_結合 的、および冪等です。

すべての正多角形は、平面多角形の一意の集合^[i]のブレンドとして表現できます。^[9] PとQに因数がない場合、 Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q )となります。

3 次元の正多角形は、平面多角形 (次元 2) と二角形 (次元 1) を組み合わせたものです。これらの多角形には、プリズム ( { n / m }#{}、nは奇数) または反プリズム ( { n / m }#{}、nは偶数) に対応する頂点があります。3 次元空間のすべての多角形には、偶数の頂点と辺があります。

これらのうちいくつかは、正多面体のペトリー多角形として現れます。

4 次元の正多角形は、2 つの異なる平面多角形の組み合わせとして形成される多角形です。これらの多角形の頂点はクリフォード トーラス上にあり、クリフォード変位によって関連しています。3 次元多角形とは異なり、二重回転の斜め多角形には奇数個の辺を含めることができます。

階数3の多面体は多面体と呼ばれます。

シュレーフリ記号 { p , q }を持つ正多面体、コクセター図は、正則な面型{ p }と正則な頂点図形 { q }を持ちます。

頂点図形（多面体）は、特定の頂点から 1 辺離れた頂点を結んで形成される多角形です。正多面体の場合、この頂点図形は常に正多角形（平面多角形）になります。

正多面体{ p , q }の存在は、頂点図形の角度の欠陥に関連する不等式によって制約されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}}$$

順列を列挙すると、5 つの凸形式、4 つの星型形式、3 つの平面タイリングが見つかります。これらはすべて、多角形{ p }と{ q }が{3}、{4}、{5}、{5/2}、および {6} に制限されています。

ユークリッド空間を超えると、正規の双曲タイルの無限の集合が存在します。

5 つの凸正多面体はプラトン立体と呼ばれます。頂点の数に応じて頂点図が与えられます。これらの多面体はすべて、オイラー特性(χ) が 2 です。

球面幾何学では、球面多面体（球のタイル張り）が正多面体として存在するが、これらは多面体として退化している。これらは、細面体{2,n}とその双対二面体{n,2}である。コクセターは、これらのケースを「不適切な」タイル張りと呼んでいる。^[10]

最初のいくつかのケース（n は 2 から 6）を以下に示します。

任意の星型多角形{ p / q }に対して、星型二面体と細面体{ p / q , 2}と{2, p / q }も存在します。

正多面体はケプラー・ポアンソ多面体と呼ばれ、正十二面体{5,3}と正二十面体{3,5} の頂点配置に基づいて4つ存在します。

球状のタイリングとして、これらの星の形は球を複数回重ね合わせます。これを密度と呼び、これらの形では 3 または 7 になります。タイリング画像では、単一の球状ポリゴン面が黄色で 表示されます。

失敗した星型多面体は無限に存在します。これらも、シュレーフリ記号に星型多面体を含む球面タイリングですが、球面を有限回覆うことはありません。例としては、{5/2,4}、{5/2,9}、{7/2,3}、{5/2,5/2}、{7/2,7/3}、{4,5/2}、{3,7/3} などがあります。

正斜多面体は、非平面頂点図形の可能性を含む正多面体の集合の一般化です。

4次元の歪んだ多面体については、コクセターはこれらの図形に修正されたシュレーフリ記号{l,m|n}を提案した。ここで、{l,m}は頂点図形、頂点の周りのm個のl角形、およびn角形の穴を意味する。これらの頂点図形は、2つの平面の間をジグザグに進む歪んだ 多角形である。

{l,m|n} で表される正多面体は、次の式に従います。

$${\displaystyle 2\sin \left({\frac {\pi }{l}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$$

そのうち 4 つは、同じ頂点配置と辺配置を共有する 4 つの正多面体の面のサブセットとして 4 次元で見ることができます。

シュレーフリ記号を持つ正4 次元多面体には、タイプのセル、 タイプの面、辺図形 、頂点図形があります。 ${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\}}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle \{r\}}$${\displaystyle \{q,r\}}$

• 頂点図形（4 次元多面体）は、特定の頂点の周りの隣接頂点の配置によって表される多面体です。正則 4 次元多面体の場合、この頂点図形は正多面体です。
• エッジ図形は、エッジの周りの面の配置によって表される多角形です。正 4 次元多面体の場合、このエッジ図形は常に正多角形になります。

正4次元多面体の存在は、正多面体の存在によって制約される。4次元多面体の提案された名前は「ポリクロロン」である。^[11]${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$

それぞれは次の表現に依存する空間に存在します。

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$

${\displaystyle >0}$ : 超球面3次元ハニカムまたは4次元多面体

${\displaystyle =0}$ : ユークリッド3空間ハニカム

${\displaystyle <0}$ : 双曲型3空間ハニカム

これらの制約により、21 の形式が可能になります。そのうち 6 つは凸、10 つは非凸、1 つはユークリッド 3 空間ハニカム、4 つは双曲ハニカムです。

凸4次元多面体の オイラー特性 はゼロです。${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi =V+F-E-C=0}$

6 つの凸正則 4 次元多面体を以下の表に示します。これらの 4 次元多面体のオイラー特性(χ) はすべて 0 です。

3 次元球面の正規のタイル分割として、Di-4-トープとHoso-4-トープが存在します。

正則な2 面 4 次元多面体(2 つの面) には、{3,3,2}、{3,4,2}、{4,3,2}、{5,3,2}、{3,5,2}、{p,2,2} があり、それらの細 4 次元 多面体(2 つの頂点) には、{2,3,3}、{2,4,3}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,5,3}、{2,2, p } があります。形式 {2, p ,2} の 4 次元多面体は、{2,2, p }と同じです。また、2 面体セルと細面体頂点図形を持つ { p ,2, q }の場合もあります。

正多面体の星型 4 次元多面体は 10 個あり、シュレーフリ・ヘス 4 次元多面体と呼ばれます。これらの頂点は凸状の120 セル {5,3,3}と600 セル {3,3,5}に基づいています。

Ludwig Schläfli は、そのうちの 4 つを見つけ、最後の 6 つをスキップしました。セルまたは頂点図形 (ゼロホール トーラスの場合: F+V−E=2) でオイラー特性を満たさない形式を許可しなかったためです。エドムント・ヘス(1843–1903) は、ドイツ語の著書『Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder』(1883 年) で 10 件の完全なリストを完成させました。

これら 10 個の正星型 4 次元多面体には、直交投影として示される 4 つの一意のエッジ配置と 7 つの一意の面配置があります。

失敗した潜在的な正則星型 4 次元多面体の順列は 4 つあります: {3,5/2,3}、{4,3,5/2}、{5/2,3,4}、{5/2,3,5/2}。これらのセルと頂点図形は存在しますが、有限回数の繰り返しで超球面をカバーしません。

上記の16個の平面4次元多面体に加えて、18個の有限な歪んだ多面体があります。^[12]これらのうちの1つは、四次元方陣のペトリアルとして得られ、他の17個は、平面多面体と四次元方陣のペトリアルにカッパ演算を適用することで形成されます。

5 次元多面体には、 が 4 面タイプ、がセル タイプ、が面タイプ、 が面図形、が辺図形、 が頂点図形 である記号が付けられます。${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\}}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle \{s\}}$${\displaystyle \{r,s\}}$${\displaystyle \{q,r,s\}}$

頂点図形（5 次元多面体）は、各頂点に隣接する頂点の配置によって表される 4 次元多面体です。

5 次元多面体のエッジ図形は、各エッジの周りの面の配置によって表される多面体です。

面図形（5 次元多面体）は、各面の周囲のセルの配置によって表される多角形です。

正則 5 次元多面体は、 およびが正則 4 次元多面体である 場合にのみ存在します。${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$${\displaystyle \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{q,r,s\}}$

収まるスペースは次の式に基づいています。

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}$

${\displaystyle <1}$ : 球面4次元モザイクまたは5次元多面体

${\displaystyle =1}$ : ユークリッド4空間分割

${\displaystyle >1}$ : 双曲4空間分割

これらの制約を列挙すると、3 つの凸多面体、星型多面体なし、ユークリッド 4 次元空間の 3 つのテッセレーション、およびパラコンパクト双曲型 4 次元空間の5 つのテッセレーションが生成されます。ランク 5 以上の非凸正多面体がない唯一のものはスキューです。

5次元以上では、凸正多面体は3種類しかありません。^[13]

また、シュレーフリ記号の数字の一部が 2 になる不適切なケースもあります。たとえば、{p,q,r,...2} は、{p,q,r...} が正球多面体である場合は常に不適切な正球多面体であり、{2,...p,q,r} は、{...p,q,r} が正球多面体である場合は常に不適切な正球多面体です。このような多面体はファセットとして使用することもでき、{p,q,...2...y,z} などの形式が生成されます。

ランク 5 以上の通常の星型多面体は存在しません。ただし、より低いランクの星型多面体の星積によって作成される退化多面体(ホソトープやダイトープ など) は例外です。

射影正則( n +1)多面体は、元の正則n球面分割{p,q,...}が中​​心対称である場合に存在します。このような多面体はhemi-{p,q,...}と名付けられ、要素の数は半分になります。Coxeterは記号{p,q,...}/2を用い、McMullenはhをcoxeter数として{p,q,...} _h/2と書きます。^[14]

偶数辺の正多角形には、半2n角形の射影多角形 {2p}/2 があります。

5 つのプラトン立体のうち 4 つに関連する4 つの正射影多面体があります。

半立方体と半八面体は、任意のランクの半n立方体 と半n正方体として一般化されます。

6 つの凸正則 4 次元多面体のうち 5 つは、中心対称な生成射影 4 次元多面体です。3 つの特殊なケースは、半 24 セル、半 600 セル、および半 120 セルです。

3 つの正球面多面体のうち、階数 5 以上で中心対称となるのは 2 つだけです。対応する正射影多面体は、正超立方体と正直交多面体の半バージョンです。階数 5 の場合、これらは以下の表に示されています。

アペイロトープまたは無限多面体は、無限に多くの面を持つ多面体です。n-アペイロトープは無限のn-多面体です。2-アペイロトープまたはアペイロゴンは無限多角形、3-アペイロトープまたはアペイロヘドロン は無限多面体などです。

アペイロトープには主に2つの幾何学的クラスがある: ^[15]

• n次元の正規ハニカム。n次元空間を完全に満たします。
• 高次の空間におけるn次元多様体を構成する、正則な歪んだアペイロトープ。

直線アペイロゴンは直線を規則的に並べたもので、直線を無限に等しい線分に分割する。無限に多くの頂点と辺を持つ。シュレーフリ記号は{∞}で、コクセター図は。

......

これは、 p が無限大に近づくにつれてp角形の極限として存在します。

双曲平面上のアペイロゴン、最も顕著なのは正アペイロゴン、{∞} は、ユークリッド平面の有限多角形のような曲率を持ち、頂点は円ではなくホロサイクルまたはハイパーサイクルで囲まれます。

無限大に収束するようにスケールされた通常のアペイロゴンは、記号 {∞} を持ち、ホロサイクル上に存在しますが、より一般的にはハイパーサイクル上にも存在できます。

上記はポアンカレ円板モデルにおける 2 つの正則双曲アペロゴンで、右側は長さ λ で区切られた発散基本領域の垂直反射線を示しています。

2 次元の歪んだアペイロゴンは、平面上でジグザグ線を形成します。ジグザグが均一で対称的であれば、アペイロゴンは規則的です。

歪んだアペイロゴンは、任意の次元で構築できます。3 次元では、通常の歪んだアペイロゴンは螺旋状の渦巻きを描き、左巻きまたは右巻きになります。

平面には 3 つの規則的なモザイク模様があります。

不適当な正則なタイリングが 2 つあります。1 つは {∞,2}、つまり2 つのアペイロゴンから作られ、それぞれが平面の半分を埋めるアペイロゴン二面体です。もう 1 つはその双対である {2,∞}、つまり無限の平行線の集合として見られる アペイロゴン細面体です。

星型多角形の規則的な平面タイリングは存在しません。{8/3,8}、{10/3,5}、{5/2,10}、{12/5,12} など、平面 (1/ p + 1/ q = 1/2) に適合する列挙は多数ありますが、周期的に繰り返されるものはありません。

双曲 2 次元空間のタイル張りは双曲タイリングです。H ²には、無数の正のタイル張りがあります。前述のように、 1/ p  + 1/ q < 1/2となるすべての正の整数ペア { p , q } は双曲タイリングになります。実際、一般的なシュワルツの三角形( p ,  q ,  r ) では、1/ p  + 1/ q  + 1/ r < 1の場合も同じことが当てはまります。

双曲面を表示する方法はいくつかありますが、以下に示すように、平面を円にマッピングするポアンカレ円板モデルもその 1 つです。以下のタイリングのポリゴン面はすべて同じサイズで、適用された投影により、端に近づくにつれて小さく見えるだけであることに注意してください。これは、カメラの魚眼レンズの効果と非常によく似ています。

双曲面の規則的なタイリングとして、{p,q} の形式をとり、p+q<pq/2 となる平坦な正規 3-アペイロトープ (アペイロヘドラ) が無限に存在します。

• {3,7}、{3,8}、{3,9} ... {3,∞}
• {4,5}、{4,6}、{4,7} ... {4,∞}
• {5,4}、{5,5}、{5,6} ... {5,∞}
• {6,4}、{6,5}、{6,6} ... {6,∞}
• {7,3}、{7,4}、{7,5} ... {7,∞}
• {8,3}、{8,4}、{8,5} ... {8,∞}
• {9,3}、{9,4}、{9,5} ... {9,∞}
• ...
• {∞,3}、{∞,4}、{∞,5} ... {∞,∞}

サンプル:

タイル {p, ∞} は、ポアンカレ円板モデルの端に理想的な頂点を持ちます。それらの双対 {∞, p} は理想的なアピロゴナル面を持ち、ホロサイクルに内接します。さらに進んで (上の表のように)、ポアンカレ円板の外側に超理想的な頂点を持つタイルを見つけることもできます。これは、超サイクルに内接するタイルと双対です。上で {p, iπ/λ} と表記されているものでも、各超理想的な頂点の周りには無限個のタイルが収まります。^[16] (拡張双曲空間の平行線は理想的な点で交わり、超平行線は超理想的な点で交わります。) ^[17]

面または頂点図形が星型多角形である双曲型タイリングには、{ m /2, m } とその双対 { m , m /2}（m = 7, 9, 11, ....）の 2 つの無限形式があります。 ^[18] { m /2, m } タイリングは{ m , 3} タイリングの星型化であり、{ m , m /2} 双対タイリングは{3, m } タイリングのファセット化と{ m , 3} タイリングの拡大^[ii]です。

パターン { m /2, m } と { m , m /2}は、 m < 7 の奇数に対して多面体として継続します。m = 5のとき、小星型十二面体と大十二面体が得られ、^[18] m = 3のときは四面体に退化します。他の 2 つのケプラー・ポアンソ多面体 (大星型十二面体と大二十面体) には、通常の双曲型タイリング類似体はありません。mが偶数の場合、{ m /2}の定義方法に応じて、他のタイリングの退化した二重被覆または複合タイリングのいずれかを得ることができます。

ユークリッド3次元空間には、平面を持つ3つの正三角形のアペイロヘドラがあります。 ^{[19] [20] [21]}これらは、 3つの凸型均一ハニカムと同じ頂点配置と辺配置を共有しています。

• 各頂点の周囲に6つの正方形: {4,6|4}
• 各頂点の周囲に4つの六角形: {6,4|4}
• 各頂点の周囲に6つの六角形: {6,6|3}

歪んだ面を考慮すると、ユークリッド3次元空間には24個の正アペイロヘドラが存在する。^[23]これらには、ユークリッドアペイロヘドラとの混合によって作成された12個のアペイロヘドラと、上記の3個を含む非自明な混合として表現できない12個の純粋なアペイロヘドラが含まれる。

純粋なアペイロヘドラは次のとおりです。

• {4,6|4}、ムクベ
• {∞,6} _4,4、ムクベのペトリアル
• {6,6|3}、ミューテトラヘドロン
• {∞,6} _6,3、四面体のペトリアル
• {6,4|4}、正八面体
• {∞,4} _6,4、μ八面体のペトリアル
• {6,6} ₄、ムクベの半分
• {4,6} ₆ 、 {6,6} ₄のペトリアル
• {∞,4} _·,*3、μ八面体の歪み
• {6,4} ₆ 、 {∞,4} _·,*3のペトリアル
• {∞,3} ^(ア)
• {∞,3} ^{( b )}

コンパクト対称性またはパラコンパクト対称性を持つ双曲3次元空間には、凸面を持つ正三角形のアペイロヘドラが31個存在する。 ^[24]

• 14 個はコンパクトです: {8,10|3}、{10,8|3}、{10,4|3}、{4,10|3}、{6,4|5}、{4,6|5}、{10,6|3}、{6,10|3}、{8,8|3}、{6,6|4}、{10,10|3}、{6,6|5}、{8,6|3}、および {6,8|3}。
• 17 個はパラコンパクトです: {12,10|3}、{10,12|3}、{12,4|3}、{4,12|3}、{6,4|6}、{4,6|6}、{8,4|4}、{4,8|4}、{12,6|3}、{6,12|3}、{12,12|3}、{6,6|6}、{8,6|4}、{6,8|4}、{12,8|3}、{8,12|3}、および {8,8|4}。

3次元空間（ハニカム）の非退化正則タイル分割は{4, 3, 4}の1つだけである: ^[25]

6 つの不適当な正則タイル張りがあり、これらは 3 つの正則ユークリッド タイル張りに基づくペアです。それらのセルと頂点図形はすべて、正細面体{2,n}、二面体、{n,2}、およびユークリッド タイル張りです。これらの不適当な正則タイル張りは、切り捨て操作によって、角柱状の均一なハニカムと構造的に関連付けられます。これらは、オーダー2 のアピロゴナル タイル張りとアピロゴナル細面体の高次元類似体です。

双曲 3 次元空間には、平坦な正則ハニカムが 15 個あります。

• 4つはコンパクトです: {3,5,3}、{4,3,5}、{5,3,4}、{5,3,5}
• 11 個はパラコンパクトです: {3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。

双曲 3 次元空間のタイル分割は、双曲ハニカムと呼ばれます。H ³には 15 個の双曲ハニカムがあり、そのうち 4 個はコンパクト、11 個は準コンパクトです。

^{また、無限（ユークリッド）セルおよび/または頂点図形を持つパラコンパクト H 3}ハニカムが 11 個あります：{3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6}。

非コンパクトな解は、ローレンツ コクセター群として存在し、双曲空間（超理想頂点を持つ基本四面体）の開領域で視覚化できます。双曲セルまたは頂点図形を持ち、シュレーフリ記号に 2 を持たないすべてのハニカムは、非コンパクトです。

There are no regular hyperbolic star-honeycombs in H³: all forms with a regular star polyhedron as cell, vertex figure or both end up being spherical.

Ideal vertices now appear when the vertex figure is a Euclidean tiling, becoming inscribable in a horosphere rather than a sphere. They are dual to ideal cells (Euclidean tilings rather than finite polyhedra). As the last number in the Schläfli symbol rises further, the vertex figure becomes hyperbolic, and vertices become ultra-ideal (so the edges do not meet within hyperbolic space). In honeycombs {p, q, ∞} the edges intersect the Poincaré ball only in one ideal point; the rest of the edge has become ultra-ideal. Continuing further would lead to edges that are completely ultra-ideal, both for the honeycomb and for the fundamental simplex (though still infinitely many {p, q} would meet at such edges). In general, when the last number of the Schläfli symbol becomes ∞, faces of codimension two intersect the Poincaré hyperball only in one ideal point.^[16]

There are three kinds of infinite regular tessellations (honeycombs) that can tessellate Euclidean four-dimensional space:

There are also the two improper cases {4,3,4,2} and {2,4,3,4}.

There are three flat regular honeycombs of Euclidean 4-space:^[25]

• {4,3,3,4}, {3,3,4,3}, and {3,4,3,3}.

There are seven flat regular convex honeycombs of hyperbolic 4-space:^[18]

• 5 are compact: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
• 2 are paracompact: {3,4,3,4}, and {4,3,4,3}.

There are four flat regular star honeycombs of hyperbolic 4-space:^[18]

• {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5}, and {5,5/2,5,3}.

There are seven convex regular honeycombs and four star-honeycombs in H⁴ space.^[26] Five convex ones are compact, and two are paracompact.

Five compact regular honeycombs in H⁴:

The two paracompact regular H⁴ honeycombs are: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Noncompact solutions exist as Lorentzian Coxeter groups, and can be visualized with open domains in hyperbolic space (the fundamental 5-cell having some parts inaccessible beyond infinity). All honeycombs which are not shown in the set of tables below and do not have 2 in their Schläfli symbol are noncompact.

There are four regular star-honeycombs in H⁴ space, all compact:

There is only one flat regular honeycomb of Euclidean 5-space: (previously listed above as tessellations)^[25]

• {4,3,3,3,4}

There are five flat regular regular honeycombs of hyperbolic 5-space, all paracompact: (previously listed above as tessellations)^[18]

• {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4}, and {4,3,3,4,3}

The hypercubic honeycomb is the only family of regular honeycombs that can tessellate each dimension, five or higher, formed by hypercube facets, four around every ridge.

In E⁵, there are also the improper cases {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3,4,3}, {3,4,3,3,2}, and {2,3,4,3,3}. In Eⁿ, {4,3ⁿ⁻³,4,2} and {2,4,3ⁿ⁻³,4} are always improper Euclidean tessellations.

There are 5 regular honeycombs in H⁵, all paracompact, which include infinite (Euclidean) facets or vertex figures: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4}, and {4,3,3,4,3}.

There are no compact regular tessellations of hyperbolic space of dimension 5 or higher and no paracompact regular tessellations in hyperbolic space of dimension 6 or higher.

Since there are no regular star n-polytopes for n ≥ 5, that could be potential cells or vertex figures, there are no more hyperbolic star honeycombs in Hⁿ for n ≥ 5.

There are no regular compact or paracompact tessellations of hyperbolic space of dimension 6 or higher. However, any Schläfli symbol of the form {p,q,r,s,...} not covered above (p,q,r,s,... natural numbers above 2, or infinity) will form a noncompact tessellation of hyperbolic n-space.^[16]

The abstract polytopes arose out of an attempt to study polytopes apart from the geometrical space they are embedded in. They include the tessellations of spherical, Euclidean and hyperbolic space, and of other manifolds. There are infinitely many of every rank greater than 1. See this atlas for a sample. Some notable examples of abstract regular polytopes that do not appear elsewhere in this list are the 11-cell, {3,5,3}, and the 57-cell, {5,3,5}, which have regular projective polyhedra as cells and vertex figures.

The elements of an abstract polyhedron are its body (the maximal element), its faces, edges, vertices and the null polytope or empty set. These abstract elements can be mapped into ordinary space or realised as geometrical figures. Some abstract polyhedra have well-formed or faithful realisations, others do not. A flag is a connected set of elements of each rank - for a polyhedron that is the body, a face, an edge of the face, a vertex of the edge, and the null polytope. An abstract polytope is said to be regular if its combinatorial symmetries are transitive on its flags - that is to say, that any flag can be mapped onto any other under a symmetry of the polyhedron. Abstract regular polytopes remain an active area of research.

Five such regular abstract polyhedra, which can not be realised faithfully and symmetrically, were identified by H. S. M. Coxeter in his book Regular Polytopes (1977) and again by J. M. Wills in his paper "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987).^[27] They are all topologically equivalent to toroids. Their construction, by arranging n faces around each vertex, can be repeated indefinitely as tilings of the hyperbolic plane. In the diagrams below, the hyperbolic tiling images have colors corresponding to those of the polyhedra images.

These occur as dual pairs as follows:

• The medial rhombic triacontahedron and dodecadodecahedron are dual to each other.
• The medial triambic icosahedron and ditrigonal dodecadodecahedron are dual to each other.
• The excavated dodecahedron is self-dual.

• Polygon
  • Regular polygon
  • Star polygon
• Polyhedron
  • Regular polyhedron (5 regular Platonic solids and 4 Kepler–Poinsot solids)
    • Uniform polyhedron
  • Petrial
• 4-polytope
  • Regular 4-polytope (16 regular 4-polytopes, 4 convex and 10 star (Schläfli–Hess))
  • Uniform 4-polytope
• Tessellation
  • Tilings of regular polygons
  • Convex uniform honeycomb
• Regular polytope
  • Uniform polytope
• Regular map (graph theory)

• The Platonic Solids
• Kepler-Poinsot Polyhedra
• Regular 4d Polytope Foldouts
• Multidimensional Glossary (Look up Hexacosichoron and Hecatonicosachoron)
• Polytope Viewer
• Polytopes and optimal packing of p points in n dimensional spheres
• An atlas of small regular polytopes
• Regular polyhedra through time I. Hubard, Polytopes, Maps and their Symmetries
• Regular Star Polytopes, Nan Ma