ケプラー・ポアンソ多面体

幾何学において、ケプラー・ポアンソ多面体（ケプラー・ポアンソたてん）は、4つの正星 型多面体のいずれかである。^[1]

これらは正五芒星の面または頂点図形を持つ点で正十二面体および正二十面体と異なるが、正五芒星の三次元類似体としてみなすことができる。

大二十面体の辺の長さは、元の二十面体の辺の長さの倍です。小星型十二面体、大十二面体、大星型十二面体の辺の長さは、それぞれ元の十二面体の辺の長さの倍です。 ${\displaystyle \phi ^{4}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}7+3{\sqrt {5}}\,{\bigr )}}$${\displaystyle \phi ^{3}=2+{\sqrt {5}},}$ ${\displaystyle \phi ^{2}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}3+{\sqrt {5}}\,{\bigr )},}$${\displaystyle \phi ^{5}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}11+5{\sqrt {5}}\,{\bigr )}}$

これらの図形は、面または頂点図形として五芒星（星型五角形）を持っています。小星型十二面体と大星型十二面体は、非凸の正 五芒星の面を持っています。大十二面体と大二十面体は、凸多角形の面を持っていますが、頂点図形は五芒星です。

いずれの場合も、2 つの面は、どちらの面のエッジでもない線に沿って交差し、各面の一部が図形の内部を通過することがあります。このような交差線は多面体構造の一部ではなく、偽のエッジと呼ばれることもあります。同様に、このような 3 本の線がどの面の角でもない点で交差する場合、これらの点は偽の頂点です。下の図は、真の頂点に球、真のエッジに青い棒を示しています。

たとえば、小さな星型十二面体には 12 個の五角形の面があり、中央の五角形部分は立体の内側に隠れています。各面の見える部分は、五角形の周りの 5 つの点で接する 5 つの二等辺三角形で構成されています。これらの三角形を 60 個の別々の面として扱うと、外見上は同一に見える新しい不規則な多面体が得られます。各辺は 3 つの短い辺 (2 つの異なる種類) に分割され、20 個の偽の頂点が真の頂点になるため、合計 32 個の頂点 (これも 2 種類) になります。隠れた内側の五角形は多面体表面の一部ではなくなり、消えます。これでオイラーの公式が成り立ちます: 60 − 90 + 32 = 2。ただし、この多面体はもはやシュレーフリ記号{5/2, 5}で記述される多面体ではないため、外からはまだケプラー・ポアンソ立体のように見えますが、ケプラー・ポアンソ立体ではありません。

ケプラー・ポアンソ多面体は、その外接球面を複数回覆う。五芒星の面を持つ図形では面の中心が屈曲点として機能し、その他の図形では頂点として機能する。このため、プラトン立体のように、特にオイラーの関係のように、ケプラー・ポアンソ多面体は必ずしも球面と位相的に等価ではない。

${\displaystyle \chi =V-E+F=2\ }$

常に成り立つわけではない。シュレーフリは、すべての多面体は χ = 2 でなければならないと主張し、小星型十二面体と大十二面体を適切な多面体として拒否した。この見解は広く受け入れられることはなかった。

頂点図形( ) と面 ( )の密度( D )を使用したオイラーの公式の修正形はアーサー・ケイリーによって示され、凸多面体 (補正係数がすべて 1) とケプラー・ポアンソ多面体の両方に当てはまります。 ${\displaystyle d_{v}}$${\displaystyle d_{f}}$

${\displaystyle d_{v}V-E+d_{f}F=2D.}$

ケプラー・ポアンソ多面体は双対で存在します。双対は同じペトリ多角形、より正確には、同じ 2 次元投影を持つペトリ多角形を持ちます。

次の図は、同じエッジ半径を持つ 2 つの双対化合物を示しています。また、ペトリー多角形が歪んでいることも示しています。以下の記事で説明されている 2 つの関係も、図で簡単に確認できます。紫色のエッジは同じであり、緑色の面は同じ平面にあります。

ジョン・コンウェイはケプラー・ポアンソ多面体を凸立体の拡大と星型として定義しています。彼の命名規則
では、小さな星型十二面体は単に星型十二面体です。

ステレーションは、五角形の面を五芒星に変えます。(この意味で、ステレーションは独特な操作であり、以下で説明するより一般的なステレーションと混同しないでください。)

Greatening は面のタイプを維持しながら、面を平行な平面に移動およびサイズ変更します。

大二十面体は二十面体の星型のうちの 1 つです。( 「五十九の二十面体」を参照) 他の 3 つはすべて十二面体の星型です。

大星型十二面体は十二面体をファセット化したものです。
他の 3 つは二十面体をファセット化したものです。

交差点を新しい辺と頂点として扱うと、得られる図形は規則的ではなくなりますが、それでも星型と見なすことができます。^{[例が必要]}

（ヴェニンガー多面体モデルの一覧も参照）

大星型十二面体は、十二面体と頂点を共有しています。他の 3 つのケプラー・ポアンソ多面体は、二十面体と頂点を共有しています。 頂点を共有する立体のスケルトンは位相的に同等です。

小さな星型十二面体と大きな星型十二面体は、交差するまで辺と面が延長された正十二面体と大十二面体として見ることができます。
これらの核の五角形の面は、星型多面体の五芒星の面の目に見えない部分です。
小さな星型十二面体の場合、殻は核の何倍も大きく、大きな星型十二面体の場合、殻は核の何倍も大きくなります。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$（黄金比を参照）
(中半径は、さまざまな多面体のサイズを比較するための一般的な尺度です。)

伝統的に、2つの星型多面体は、増加（または累積）として定義されてきた。 つまり、面にピラミッドが追加された十二面体と二十面体です。

ケプラーはこの小さな星座を拡張十二面体と呼んだ（当時はハリネズミというニックネームも付けた）。^[3]

彼の見解では、大星型は二十面体と関連しており、小星型は十二面体と関連している。^[4]

これらの素朴な定義は今でも使われている。例えば、MathWorldは、2つの星型多面体はプラトン立体の面にピラミッドを追加することで構築できると述べている。^{[5] [6]}

これは単にこれらの立体の形状を視覚化するためのものであり、エッジの交差点 (偽の頂点) が頂点であると主張しているわけではありません。 もしそうなら、2 つの星型多面体は、位相的には五角形十二面体と三角形二十面体と同等になります。

すべてのケプラー・ポアンソ多面体は、その凸包と同様に 完全な二十面体対称性を持ちます。

大二十面体とその双対は、3 倍対称軸 (黄色) と 5 倍対称軸 (赤色) 上に面と頂点がある点で、二十面体とその双対に似ています。大十二面体とその双対
では、すべての面と頂点が 5 倍対称軸上にあります (したがって、これらの画像には黄色の要素はありません)。

次の表は、双対の立体を示しています。上の行は、ピリトヘドロン対称性で示され、下の行は、イコサヘドロン対称性で示されます (色はこれを表します)。

下の表は、5 倍 (赤)、3 倍 (黄)、2 倍 (青) の対称軸からの 正投影を示しています。

ケプラー・ポアンソー多面体のほとんどは、ケプラー以前にも何らかの形で知られていた。イタリアのヴェネツィアにあるサン・マルコ寺院の床にある大理石のタルシア（象嵌板）には、小さな星型十二面体が見られる。これは15世紀のもので、パオロ・ウッチェロの作とされることもある。^[7]

ヴェンツェル・ヤムニッツァーは1568年に出版した木版画集『正多面体の透視図』の中で、大星型十二面体と大十二面体を描いている（両方とも下図）。また、小星型十二面体の切断版もある。^[8]本の全体的な構成から、ヤムニッツァーが正多面体とみなしていたのは5つのプラトン立体だけだったことは明らかである。

小さな星型十二面体と大きな星型十二面体は、ケプラー多面体とも呼ばれ、 1619年頃にヨハネス・ケプラーによって初めて正多面体として認識されました。 ^[9]彼は、正凸十二面体を星型にすることでそれらを得ました。これは、初めてそれを立体ではなく面として扱ったことです。彼は、凸十二面体の辺または面を再び出会うまで延長することで、星型五角形を得られることに気付きました。さらに、彼はこれらの星型五角形も正多面体であることを認識しました。このようにして、彼は2つの星型十二面体を構築しました。それぞれの面の中央の凸領域は内部に「隠され」ており、三角形の腕だけが見える状態になっています。ケプラーの最後のステップは、これらの多面体が、従来のプラトンの立体のように凸多面体ではないにもかかわらず、正多面体の定義に適合することを認識することだった。

1809 年、ルイ・ポアンソは各頂点の周りに星形の五角形を組み立てることでケプラーの図形を再発見しました。彼はまた、星の頂点の周りに凸多角形を組み立てて、さらに 2 つの正多面体、大二十面体と大十二面体を発見しました。この 2 つをポアンソ多面体と呼ぶ人もいます。ポアンソは、正多面体の星をすべて発見したかどうかは知りませんでした。

3年後、オーギュスタン・コーシーはプラトン立体を星形化することでリストが完全であることを証明し、それからほぼ半世紀後の1858年に、ベルトランはプラトン立体をファセット化することでよりエレガントな証明を提供した。

翌年、アーサー・ケイリーはケプラー・ポアンソ多面体に今日一般的に知られている名前を付けました。

100 年後、ジョン・コンウェイは4 次元までの星型構造を表す体系的な用語を開発しました。この体系では、小さな星型十二面体は星型十二面体です。

正星型多面体は、ルネサンス美術で初めて登場します。イタリアのヴェネツィアにあるサン・マルコ寺院の床にある大理石のタルシアには、小さな星型十二面体が描かれています。これは 1430 年頃のもので、パウロ・ウッチェロの作とも言われています。

20 世紀、芸術家MC エッシャーは幾何学的形状に興味を持ち、正多面体に基づく、または正多面体を含む作品を頻繁に制作しました。『グラビテーション』は小さな星型十二面体に基づいています。

大十二面体の分解は、1980 年代のパズル「アレキサンダーの星」に使用されました。

ノルウェーの芸術家、ヴェビョルン・サンドの彫刻作品「ケプラーの星」が、ガーデモエンのオスロ空港近くに展示されています。この星は幅が 14 メートルあり、大きな星型十二面体の中に二十面体と十二面体があります。

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• 多面体化合物
• 正則星型 4 次元多面体– 10 個の正則星型4 次元多面体、ケプラー・ポアンソ多面体の 4 次元類似体

• J. Bertrand、Note sur la théorie des Polyèdres réguliers、Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences、46 (1858)、79–82、117。
• オーギュスタン＝ルイ・コーシー、Recherches sur les Polyèdres。 J. de l'École Polytechnique 9、68–86、1813。
• アーサー・ケイリー「ポアンソの4つの新しい正則立体について」。フィラデルフィア誌 17、pp.123-127および209、1859年。
• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、The Symmetry of Things 2008、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 24 章、Regular Star-polytopes、pp. 404–408) 
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文 1) HSM Coxeter、「9 つの正則立体」 [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
  • (論文 10) HSM Coxeter、星型多面体およびシュラフリ関数 f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• テオニ・パパス（ケプラー・ポアンソ立体）『数学の喜び』サンカルロス、カリフォルニア州：ワイドワールド出版/テトラ、p.113、1989年。
• ルイ・ポアンソ、ポリゴンとポリエードルのメモワール。J. de l'École Polytechnique 9、16–48ページ、1810 年。
• ラカトシュ、イムレ;証明と反駁、ケンブリッジ大学出版局 (1976) - オイラー特性の証明に関する議論
• ウェニンガー、マグナス（1983）。デュアルモデル。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-54325-8。、39～41ページ。
• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、The Symmetries of Things 2008、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 26 章、404 ページ: 正則星型多面体 次元 3) 
• アンソニー・ピュー（1976年）。『多面体：視覚的アプローチ』カリフォルニア州：カリフォルニア大学出版局バークレー校。ISBN 0-520-03056-7。第8章: ケプラーのポアゾ多面体

ウィキメディア・コモンズには、ケプラー・ポアンソ立体に関連するメディアがあります。

• ワイスタイン、エリック・W.「ケプラー・ポインソ固体」。マスワールド。
• ケプラー・ポアンソ多面体の紙製モデル
• ケプラー・ポアンソ多面体の無料ペーパーモデル（ネット）
• 均一な多面体
• 視覚的多面体におけるケプラー・ポアンソ立体
• ケプラー・ポアンソ多面体の VRML モデル
• 星形化とファセット化 - 簡単な歴史
• Stella: Polyhedron Navigator: このページの多くの画像を作成するために使用されたソフトウェア。