多面体化合物

幾何学において、多面体複合体は、共通の中心を共有する複数の多面体から構成される図形です。これらは、六芒星などの多角形複合体の 3 次元版です。

複合物の外側の頂点は接続して凸包と呼ばれる凸多面体を形成できます。複合物は凸包の面分割です。 ^[要出典]

化合物のすべてのメンバーに共通する小さな中央空間によって、別の凸多面体が形成されます。この多面体は、星型集合のコアとして使用できます。

正多面体複合は、正多面体と同様に、頂点推移、辺推移、面推移である複合として定義できます。多面体の場合とは異なり、これは対称群がその旗に推移的に作用することと同等ではありません。2 つの四面体の複合は、その特性を持つ唯一の正多面体複合です。多面体の正多面体複合は 5 つあります。

最もよく知られているのは、2 つの四面体からなる正八面体複合体で、ケプラーが名付けた「星八面体」と呼ばれることが多い。2 つの四面体の頂点は立方体を定義し、 2 つの交差は複合体と同じ面を共有する正八面体を定義する。したがって、2 つの四面体複合体は八面体の星状化であり、実際、その唯一の有限の星状化である。

5つの四面体からなる正多面体化合物には2つの鏡像異性体バージョンがあり、これらを合わせると10の四面体からなる正多面体化合物となる。 ^[1] 10の四面体からなる正多面体は、5つの八面体星の化合物とも言える。^[1]

それぞれの正四面体化合物は、そのキラル双子に対して自己双対または双対です。5 つの立方体の正化合物と 5 つの八面体の正化合物は、互いに双対です。

したがって、正多面体化合物は二重正則化合物とみなすこともできます。

上の表は、シュレーフリ記号を組み込んだ、通常の複合語に対する Coxeter の表記法を示しています。角括弧内の要素 [ d { p , q }] は、複合語の構成要素を表します。d個は{ p、q } を分離します。角括弧の前の要素は、複合語の頂点の配置を表します。c { m、n }[ d { p、q }] は、 d { p、q } が { m、n }の頂点をc回共有する複合語です。角括弧の後の要素は、複合語の面の配置を表します。[ d { p、q }] e { s、t } は、d { p、q } が { s、t }の面をe回共有する複合語です。これらは組み合わせることもできる。つまり、c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t }は、 { m , n }の頂点をc回、 { s , t }の面をe回共有するd { p , q }の合成である。この表記法は、任意の次元数の合成に一般化できる。^[2]

双対複合体は、多面体とその双対が共通の中球の周りに相互に配置され、一方の多面体の辺が双対多面体の双対辺と交差する構成です。正多面体の双対複合体は 5 つあります。

コアは両方の立体の整流化です。 殻は整流化の双対であり、その菱形の面は 2 つの立体の交差する辺を対角線として持ちます (4 つの交互の頂点を持ちます)。 凸立体の場合、これは凸殻です。

四面体は自己双対なので、四面体とその双対の双対化合物は正星型八面体になります。

八面体と二十面体の二重化合物は、それぞれ立方八面体と二十二十十十面体の最初の星型化合物です。

小星型十二面体（または大十二面体）の二重複合体では、大十二面体が小星型十二面体の完全に内側にあります。^[3]

1976年にジョン・スキリングは、回転対称性のある一様多面体から作られた75の化合物（化合物の無限柱状集合である6つ、#20-#25を含む）を列挙した「一様多面体の一様化合物」を出版した。（すべての頂点は頂点推移的であり、すべての頂点は他のすべての頂点と推移的である。）このリストには、上記の5つの正則化合物が含まれている。[1]

75 個の均一化合物が下の表にリストされています。大部分は各多面体要素ごとに個別に色分けされて表示されます。一部のキラルな面群のペアは、各多面体内の面の対称性によって色分けされています。

• 1-19: その他 (4、5、6、9、17 は 5 つの通常の複合語です)

• 20-25:プリズム対称性に埋め込まれたプリズム対称性、

• 26-45:八面体または二十面体対称性に埋め込まれたプリズム対称性、

• 46-67: 八面体または二十面体対称性に埋め込まれた四面体対称性、

• 68-75:エナンチオモルフペア

• 3つの八面体の複合体
• 4つの立方体の複合体

複合多面体でありながら、要素がしっかりと固定されている多面体は、小複合二十面体十二面体（二十面体と大十二面体の複合）と大複合二十面体十二面体（小星型十二面体と大二十面体の複合）の 2 つです。均一な多面体の定義を一般化すると、これらは均一です。

スキリングのリストの鏡像体ペアのセクションには、2 つの大きな角ばった十二面体十二十二面体の複合体は含まれていません。これは、五芒星の面が一致するためです。一致する面を削除すると、20 個の八面体の複合体になります。

4次元では、正多面体の正多面体合成が多数存在します。コクセターは著書「正多面体」の中で、これらのいくつかを挙げています。^[4] マクマレンは論文「4次元多面体の新しい正多面体合成」の中で、6つの正多面体合成を追加しました。^[5]

自己デュアル:

デュアルペア:

凸 4 次元多面体を持つ一様複合および双対:

上記の表の上付き文字 (var) は、ラベルの付いた化合物が、同じ数の成分を持つ他の化合物とは異なることを示します。

自己二重星化合物:

複合星の二重対:

均一な複合星と二重星:

二重のポジション:

群論の観点では、G が多面体複合体の対称群であり、群が多面体に対して推移的に作用する場合（均一な複合体の場合と同様に、各多面体を他のいずれにも送ることができるように）、 H が単一の選択された多面体の安定化因子である場合、多面体は軌道空間 G / Hと同一視できます。剰余類gHは、多面体g が選択された多面体を送る先に対応します。

ユークリッド平面の正則複合タイル分割には 2 パラメータ族が 18 個あります。双曲面では 1 パラメータ族が 5 個と単独のケースが 17 個知られていますが、このリストの完全性は列挙されていません。

ユークリッド複合族と双曲複合族2{ p , p }（4≤p≤∞ 、 pは整数）は、球状の八角形2{3,3}に類似しています。

任意の次元における通常のユークリッド複合ハニカムの既知の族は、すべての頂点と面を別の超立方ハニカムと共有する超立方ハニカムの複合の無限族です。この複合には、任意の数の超立方ハニカムを含めることができます。

二重正則なタイリング複合物もあります。簡単な例としては、六角形タイリングとその二重三角形タイリングのE ^{2複合物があります。この二重三角形タイリングは、}三角形の三六角形タイリングと辺を共有しています。2 つの超立方ハニカムのユークリッド複合物は、正則かつ二重正則です。

• 正多面体化合物の一覧

• MathWorld: 多面体化合物
• 複合多面体 – バーチャルリアリティ多面体より
  • 均一多面体の均一な複合体
• スキルリングの均一多面体の75の均一な化合物
• スキルリングの均一多面体の均一な複合体
• 多面体化合物
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• 小星型十二面体と大十二面体の複合体 {5/2,5}+{5,5/2}
• クリッツィング、リチャード。「複合多面体」。

• スキルリング、ジョン (1976)、「均一多面体の均一な化合物」、ケンブリッジ哲学協会数学論文集、79 (3): 447–457、Bibcode :1976MPCPS..79..447S、doi :10.1017/S0305004100052440、MR  0397554、S2CID  123279687。
• クロムウェル、ピーター R. (1997)、多面体、ケンブリッジ{{citation}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません 発行者 (リンク)。
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局、pp. 51-53。
• ハーマン、マイケル G. (1974)、多面体化合物、未発表原稿。
• Hess、Edmund (1876)、「Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder」、Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg、11 : 5–97。
• パチョーリ、ルカ(1509)、デ ディヴィーナ プロポーション。
• Regular Polytopes、（第3版、1973年）、ドーバー版、 ISBN 0-486-61480-8 
• アンソニー・ピュー（1976年）。『多面体：視覚的アプローチ』カリフォルニア州：カリフォルニア大学出版局バークレー校。ISBN 0-520-03056-7。p. 87 5つの規則的な複合語
• マクマレン、ピーター (2018)、「4次元多面体の新しい正則複合」、直観的幾何学の新動向、ボヤイ協会数学研究、第27巻、pp. 307–320、doi :10.1007/978-3-662-57413-3_12、ISBN 978-3-662-57412-6。