偏微分方程式

数学において、偏微分方程式( PDE ) は、多変数関数のさまざまな偏導関数間の関数を計算する方程式です。

関数は、解くべき「未知数」として考えられることが多い。これは、代数方程式x ² − 3 x + 2 = 0でx が未知数として考えられるのと似ている。しかし、偏微分方程式の解を明示的に式で表すことは通常不可能である。それに応じて、コンピュータを使用して特定の偏微分方程式の解を数値的に近似する方法に関する膨大な現代の数学的および科学的研究がある。偏微分方程式は、純粋数学的研究の大きな分野も占めており、そこでの通常の問題は、広く言えば、存在、一意性、正則性、安定性など、さまざまな偏微分方程式の解の一般的な質的特徴の特定に関するものである。^[1]多くの未解決問題の中には、2000年の ミレニアム賞問題の1つに選ばれたナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさがある。

偏微分方程式は、物理学や工学など、数学志向の科学分野ではいたるところで使われています。たとえば、音、熱、拡散、静電気、電気力学、熱力学、流体力学、弾性、一般相対性理論、量子力学(シュレーディンガー方程式、パウリ方程式など) の現代科学的理解の基礎となっています。また、微分幾何学や変分法など、純粋に数学的な考察の多くから派生しています。その他の注目すべき応用としては、幾何学的位相幾何学からポアンカレ予想を証明する際の基本的なツールとなっています。

こうした多様な情報源のせいもあって、偏微分方程式にはさまざまな種類があり、生じる個々の方程式の多くを扱うための方法が開発されてきた。そのため、偏微分方程式の「一般理論」は存在せず、専門知識は本質的に異なるいくつかのサブフィールドに分かれていると一般に認められている。^[2]

常微分方程式は、偏微分方程式のサブクラスとして考えることができ、単一変数の関数に対応しています。確率偏微分方程式と非局所方程式は、2020年現在、特に広く研究されている「PDE」概念の拡張です。より古典的なトピックには、楕円型および放物型偏微分方程式、流体力学、ボルツマン方程式、分散型偏微分方程式などがあり、現在でも活発に研究されています。^[3]

3 変数の関数u ( x , y , z )は、条件 を満たす場合、 「調和関数」または「ラプラス方程式の解」です。このような関数は、古典力学 との関連性から 19 世紀に広く研究されました。たとえば、均質固体の平衡温度分布は調和関数です。関数が明示的に与えられた場合、それが調和関数であるかどうかを確認するのは通常、簡単な計算の問題です。たとえば 、と はどちらも調和関数ですが、 は調和関数 ではありません。調和関数の 2 つの例がこのように著しく異なる形式であることは驚くべきことです。これは、これらが、直接的にはラプラス方程式の「一般解の公式」の特別なケースではないという事実を反映しています。これは、一般解の公式を導くアルゴリズムを見つけることを多くの入門書の目的とする、ラプラス方程式にほぼ類似した常微分方程式(ODE)の場合とは著しく対照的です。ラプラス方程式の場合、多くの偏微分方程式と同様に、そのような解の公式は存在しません。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$$${\displaystyle u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}}$$$${\displaystyle u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$$${\displaystyle u(x,y,z)=\sin(xy)+z}$$

この失敗の本質は、次の PDE の場合に、より具体的に見ることができます。2変数の関数 v ( x , y )について、次の方程式を考えます。 v ( x , y ) = f ( x ) + g ( y )という形式の任意 の関数vは、任意の 1 変数関数fおよびgに対して、この条件を満たすことが直接確認できます。これは、通常、いくつかの数値を自由に選択できる ODE 解の公式で利用できる選択肢をはるかに超えています。PDE の研究では、一般に関数を自由に選択できます。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}=0.}$$

この選択の性質は、PDE ごとに異なります。任意の方程式についてこれを理解するには、存在定理と一意性定理が通常、重要な構成原則です。多くの入門書では、 ODE における存在定理と一意性定理の役割はいくぶん不明瞭です。存在の半分は通常不要です。提案された解の式を直接確認できるためです。一方、一意性の半分は、提案された解の式が可能な限り一般化されるようにするために、バックグラウンドでのみ存在することがよくあります。対照的に、PDE の場合、存在定理と一意性定理は、手元にあるさまざまな解をナビゲートするための唯一の手段であることがよくあります。このため、純粋に数値的なシミュレーションを実行するときにも、どのデータがユーザーによって指定され、どのデータがコンピューターに計算させるべきかを理解する必要があるため、これらは基本的なものです。

このような存在定理や一意性定理を議論するには、 「未知の関数」の定義域を正確に把握する必要があります。そうしないと、「2 変数の関数」などの用語だけで話すだけでは、結果を意味のある形で定式化することはできません。つまり、未知の関数の定義域は、PDE 自体の構造の一部と見なす必要があります。

以下に、そのような存在定理と一意性定理の 2 つの典型的な例を示します。問題の 2 つの PDE は非常に似ていますが、動作には顕著な違いがあります。最初の PDE では、1 つの関数の自由な規定がありますが、2 番目の PDE では、2 つの関数の自由な規定があります。

• B を平面上の原点の周りの単位半径の円板とします。単位円上の任意の連続関数 U に対して、B上にはとなる関数u が1 つだけ存在し、その単位円への制限はUによって与えられます。$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$
• 実数直線R上の任意の関数fとgに対して、 R × (−1, 1)上の関数uがちょうど 1 つ存在し、u ( x , 0) = f ( x )かつ⁠$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$$∂uは/∂yの⁠ ( x , 0) = g ( x ) （ xのすべての値に対して）。

さらに多くの現象が考えられます。たとえば、微分幾何学の分野で自然に生じる次の PDE は、単純で完全に明示的な解の公式が存在する例を示していますが、自由に選択できるのは 3 つの数値だけで、関数は 1 つもありません。

• u がR ²上の関数である場合、 u ( x , y ) = ax + by + cを満たす数a、b、cが存在します。$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial y}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}=0,}$$

これまでの例とは対照的に、この偏微分方程式は平方根と平方根があるため非線形です。線形偏微分方程式とは、同次方程式である場合、任意の 2 つの解の和も解であり、任意の解の定数倍も解であるような方程式です。

偏微分方程式は、変数の未知の関数とその偏導関数（の一部）を含む方程式です。 ^[4]つまり、の開集合に属する変数の未知の関数に対して、次偏微分方程式は次のように定義されます。ここで 、および は偏微分 演算 子です。 ${\displaystyle n\geq 2}$$${\displaystyle u:U\rightarrow \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k^{th}}$$${\displaystyle F[D^{k}u,D^{k-1}u,\dots ,Du,u,x]=0,}$$$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n^{k}}\times \mathbb {R} ^{n^{k-1}}\dots \times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times U\rightarrow \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle D}$

PDE を書くときは、添え字を使用して偏微分を表すのが一般的です。たとえば、 u がn変数の関数である という一般的な状況では、u _{i は}i番目の入力に対する最初の偏微分を表し、u _{ij は}i番目とj番目の入力に対する 2 番目の偏微分を表します。 $${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).}$$

ギリシャ文字Δ はラプラス演算子を表します。uがn変数 の関数である場合、 物理学の文献では、ラプラス演算子は∇ ²と表記されることが多く、数学の文献では、∇ ² u はuのヘッセ行列を表すこともあります。 $${\displaystyle \Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.}$$

PDE は、未知数とその導関数に対して線形である場合に線形と呼ばれます。たとえば、関数uがxとyである場合、2 次線形 PDE は、 a _iとfが独立変数xとyのみの関数で ある形式になります。(混合偏導関数u _xyとu _{yx は}しばしば等しくされますが、線形性の説明ではこれは必須ではありません。) a _iが定数 ( xとyとは独立) である場合、PDE は定数係数を持つ線形と呼ばれます。f がどこでもゼロである場合、線形 PDE は同次であり、そうでない場合は非同次です。(これは、係数の高周波振動が PDE の解に与える影響を調べる 漸近的同次化とは異なります。)$${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$

線型偏微分方程式に最も近いのは半線型偏微分方程式で、最高次の導関数のみが線型項として現れ、係数は独立変数の関数である。低次の導関数と未知の関数は任意に現れる。例えば、2変数の一般的な2次半線型偏微分方程式は、 $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

準線型偏微分方程式では、最高次の微分も同様に線型項としてのみ現れますが、係数は未知数と低次の微分関数である可能性があります。 一般相対性理論のアインシュタイン方程式や流体運動を記述するナビエ・ストークス方程式 など、物理学における基本的な偏微分方程式の多くは準線型です。 $${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

線形性を持たない偏微分方程式は完全非線形と呼ばれ、1つ以上の最高次導関数に非線形性を持ちます。例としては、微分幾何学で現れるモンジュ・アンペール方程式があります。^[5]

楕円型/放物型/双曲型の分類は、適切な初期条件と境界条件、および解の滑らかさについての指針となります。 u _xy = u _yxと仮定すると、2 つの独立変数の一般的な線形 2 次 PDE は、 係数A、B、C ... がxとyに依存する形式になります。xy平面の領域でA ² + B ² + C ² > 0の場合、その領域では PDE は 2 次です。 この形式は、円錐曲線の式に類似しています。 $${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,}$$$${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$$

より正確には、 ∂ _{x を}Xに置き換え、他の変数についても同様（正式にはフーリエ変換によって行われる）に、定数係数 PDE を同じ次数の多項式に変換し、最高次数の項（同次多項式、ここでは二次形式）が分類にとって最も重要になります。

判別式B ² − 4 ACに基づいて円錐曲線と二次形式を放物型、双曲型、楕円型に分類するのと同様に、特定の点における 2 次 PDE についても同様の分類ができます。ただし、PDE の判別式は、 xy項がBではなく2 Bであるという慣例により、B ² − ACで与えられます。正式には、判別式 (関連する二次形式の) は(2 B ) ² − 4 AC = 4( B ² − AC )であり、簡潔にするために係数 4 は省略されています。

1. B ² − AC < 0 (楕円型偏微分方程式):楕円型偏微分方程式の解は、方程式と解が定義されている領域の内部では、係数が許す限り滑らかです。たとえば、ラプラス方程式の解は定義されている領域内では解析的ですが、解は滑らかでない境界値を想定する場合があります。亜音速での流体の運動は楕円型偏微分方程式で近似でき、オイラー・トリコミ方程式はx < 0で楕円型です。変数変換により、方程式は常に次の形式で表すことができます。ここで、 x と y は変更された変数に対応します。これにより、ラプラス方程式がこのタイプの例として正当化されます^{。 [6]}$${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0,}$$
2. B ² − AC = 0 (放物型偏微分方程式):どの点でも放物型である方程式は、独立変数の変換によって熱方程式に類似した形に変換できます。変換された時間変数が増加するにつれて、解は滑らかになります。オイラー・トリコミ方程式は、 x = 0の直線上で放物型になります。変数変換により、方程式は常に次の形式で表すことができます。、 の形式の熱方程式がこのタイプの例として正当化されます^{。 [6]}$${\displaystyle u_{xx}+\cdots =0,}$$${\textstyle u_{t}-u_{xx}+\cdots =0}$
3. B ² − AC > 0 (双曲型偏微分方程式):双曲型方程式は、初期データにおける関数や導関数の不連続性を保持します。例としては、波動方程式があります。超音速での流体の運動は、双曲型偏微分方程式で近似することができ、オイラー・トリコミ方程式は、 x > 0のところで双曲型です。変数変換により、方程式は常に次の形式で表すことができます。ここで、 x と y は、変換された変数に対応します。これにより、波動方程式がこのタイプの例として正当化されます^{。 [6]}$${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0,}$$

n個の独立変数x ₁ , x ₂ , …, x _nがある場合、2階の一般線形偏微分方程式は次のようになります。 $${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.}$$

分類は係数行列a _i、jの固有値のシグネチャによって決まります。

1. 楕円: 固有値はすべて正、またはすべて負です。
2. 放物線: 固有値は 1 つを除いてすべて正またはすべて負です (ただし 1 つはゼロです)。
3. 双曲型: 負の固有値が 1 つだけあり、残りはすべて正であるか、正の固有値が 1 つだけあり、残りはすべて負です。
4. 超双曲的：正の固有値と負の固有値がそれぞれ複数存在し、ゼロの固有値は存在しない。^[7]

楕円方程式、放物型方程式、双曲型方程式の理論は、主にラプラス方程式、熱方程式、波動方程式の標準的な例を中心に、あるいはそれらに基づいて、何世紀にもわたって研究されてきました。

ただし、この分類は 2 次項の線形性のみに依存するため、半線形および準線形の PDE にも適用できます。基本的なタイプは、オイラー - トリコミ方程式などのハイブリッドにも拡張されます。このハイブリッドは、領域のさまざまな領域で楕円型から双曲型まで変化します。また、高次 PDE にも適用されますが、このような知識はより専門的です。

偏微分方程式の分類は、1 次方程式のシステムまで拡張できます。この場合、未知数uはm個の要素を持つベクトルとなり、係数行列A _νはm行 m 列の行列( ν = 1, 2, …, n )となります。偏微分方程式は、 係数行列A _νとベクトルB がxとuに依存する形式になります。φ の勾配がゼロでない暗黙形式で超曲面 S が与えられている 場合、特性形式がゼロであれば、 S は与えられた点における演算子Lの特性面となります。 $${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$$ $${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$$ $${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.}$$

この条件の幾何学的解釈は次のようになります。u のデータが曲面 S 上で規定されている場合、微分方程式からS上のuの正規導関数を決定できる可能性があります。S のデータと微分方程式が S 上の u の正規導関数を決定する場合、Sは非特性です。Sのデータと微分方程式がS上のuの正規導関数を決定しない場合は、曲面は特性であり、微分方程式はS上のデータを制限します。つまり、微分方程式はSの内部にあります。

1. 1 次システムLu = 0は、 Lに特徴的な面がない場合には楕円型です。つまり、 S上のuの値と微分方程式によって、常にS上のuの正規導関数が決まります。
2. 1 次系はある点で双曲型であるためには、その点に法線ξを持つ空間的表面Sが必要です。つまり、ξに直交する任意の非自明なベクトルηとスカラー乗数λが与えられると、方程式Q ( λξ + η ) = 0にはm 個の実根λ ₁、λ ₂、…、λ _mがあります。これらの根が常に異なる場合、系は厳密に双曲型です。この条件の幾何学的解釈は次のとおりです。特性形式Q ( ζ ) = 0は、同次座標 ζ を持つ円錐 (法円錐) を定義します。双曲型の場合、この円錐にはnm 枚のシートがあり、軸ζ = λξはこれらのシートの内側を走ります。どのシートとも交差しません。ただし、原点から η だけずれると、この軸はすべてのシートと交差します。楕円型の場合、法円錐には実数シートがありません。

線形偏微分方程式は、変数分離という重要な手法によって常微分方程式系に簡約できる。この手法は、微分方程式の解の特性に基づいている。つまり、方程式を解き、境界条件を満たす解が見つかれば、それが解となる（これは常微分方程式にも当てはまる）。解の空間と時間のパラメータへの依存性は、それぞれが単一のパラメータに依存する項の積として表せると仮定し、これが問題を解決できるかどうかを調べる。^[8]

変数分離法では、PDE をより少ない変数の PDE に縮小します。これは、変数が 1 つの場合は常微分方程式であり、これにより、より簡単に解くことができます。

これは、分離可能偏微分方程式と呼ばれる単純な PDE では可能であり、その定義域は一般に長方形 (区間の積) です。分離可能 PDE は対角行列に対応します。つまり、「固定されたxの値」を座標として考えると、各座標を個別に理解できます。

これは特性法に一般化され、積分変換にも使用されます。

n = 2次元空間の特性面は特性曲線と呼ばれます。^[9] 特殊な場合には、1次偏微分方程式が常微分方程式に簡約される特性曲線が見つかります。領域内の座標を変更してこれらの曲線を直線にすると変数の分離が可能になり、これを特性法と呼びます。

より一般的には、この方法を高次元の 1 次 PDE に適用すると、特徴的な表面が見つかるかもしれません。

積分変換により、 PDE はより単純なもの、特に分離可能な PDE に変換されます。これは演算子の対角化に相当します。

この重要な例は、正弦波の固有基底を使用して熱方程式を対角化するフーリエ解析です。

領域が有限または周期的である場合、フーリエ級数などの解の無限和が適切ですが、無限領域では一般にフーリエ積分などの解の積分が必要です。上記の熱方程式の点源の解は、フーリエ積分の使用例です。

多くの場合、偏微分方程式は適切な変数変換によって既知の解を持つより単純な形に簡約できる。例えば、ブラック・ショールズ方程式は 変数変換によって熱方程式 に簡約できる^[10]$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left(S\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}}$$

不同次方程式^{[要説明]は、}基本解(点源の解)を見つけ、境界条件との畳み込みを行って解を得ることによって、多くの場合解くことができます (定数係数の偏微分方程式の場合は常に解けます) 。 ${\displaystyle P(D)u=\delta }$

これは、信号処理において、フィルタをそのインパルス応答によって理解することに類似しています。

重ね合わせの原理は、偏微分方程式の線形システムを含むあらゆる線形システムに適用されます。この概念の一般的な視覚化は、位相が合った 2 つの波の相互作用によって振幅が大きくなるというものです (例: sin x + sin x = 2 sin x )。同じ原理は、解が実数または複素数で加法的である偏微分方程式でも見られます。u ₁とu _{2 が}何らかの関数空間Rにおける線形偏微分方程式の解である場合、u = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ (任意の定数c ₁およびc ₂を使用)も同じ関数空間におけるその偏微分方程式の解です。

非線形偏微分方程式を解くための一般的に適用可能な解析的手法は存在しません。それでも、存在と一意性の結果（コーシー・コワレフスキーの定理など）は多くの場合可能であり、解の重要な質的および量的特性の証明も可能です（これらの結果を得ることは解析の主要部分です）。

それでも、いくつかの手法は、いくつかのタイプの方程式に使用できます。h原理は、不確定方程式を解く最も強力な方法です。 リキエ-ジャネ理論は、多くの解析的過剰決定システム に関する情報を取得するための効果的な方法です。

特性法は、非線形偏微分方程式を解くために、非常に特殊な場合に使用することができます。^[11]

場合によっては、偏微分方程式は摂動解析によって解くことができます。摂動解析では、解は既知の解を持つ方程式の修正であると見なされます。代替案としては、単純な有限差分法から、より成熟したマルチグリッド法や有限要素法までの数値解析技術があります。科学や工学における多くの興味深い問題は、コンピュータ、時には高性能スーパーコンピュータを使用してこのように解決されています。

1870 年から、ソフス・リーの研究は微分方程式の理論をより満足のいく基礎の上に置いた。彼は、古い数学者の積分理論が、現在リー群と呼ばれるものの導入によって共通の源泉に結び付けられること、そして同じ微小変換を許容する常微分方程式が同等の積分困難性を示すことを示した。彼はまた、接触変換の主題を強調した。

PDE を解く一般的なアプローチでは、微分方程式の対称性、解から解への連続的な無限小変換(リー理論) を使用します。連続群論、リー代数、微分幾何学は、線形および非線形偏微分方程式の構造を理解して積分可能な方程式を生成し、そのLax ペア、再帰演算子、Bäcklund 変換を見つけ、最終的に PDE の正確な解析解を見つけるために使用されます。

対称性法は、数学、物理学、工学、その他多くの分野で生じる微分方程式を研究するために認識されてきました。

アドミアン分解法^[12]、リャプノフ人工小パラメータ法、およびホモトピー摂動法はすべて、より一般的なホモトピー解析法^[13]の特殊なケースです。これらは級数展開法であり、リャプノフ法を除いて、よく知られている摂動論と比較して小さな物理パラメータに依存しないため、これらの方法にはより大きな柔軟性と解の一般性があります。

PDE を解くための最も広く使用されている 3 つの数値法は、有限要素法(FEM)、有限体積法(FVM)、有限差分法(FDM) と、前述の方法が制限される問題を解決するために考案されたメッシュフリー法と呼ばれる他の種類の方法です。 FEM はこれらの方法の中で卓越した位置を占めており、特にその非常に効率的な高次バージョンhp-FEMが優れています。 FEM とメッシュフリー法の他のハイブリッドバージョンには、一般化有限要素法 (GFEM)、拡張有限要素法( XFEM) 、スペクトル有限要素法(SFEM) 、メッシュフリー有限要素法、不連続ガラーキン有限要素法(DGFEM)、要素フリーガラーキン法 (EFGM)、補間要素フリーガラーキン法 (IEFGM) などがあります。

有限要素法（FEM）（実用化は有限要素解析（FEA）と呼ばれることが多い）は、偏微分方程式（PDE）および積分方程式の近似解を求める数値手法である。^{[14] [15]}解法のアプローチは、微分方程式を完全に除去するか（定常問題）、PDEを常微分方程式の近似系に変換し、オイラー法、ルンゲ・クッタ法などの標準的な手法を使用して数値積分するかのいずれかに基づいている。

有限差分法は、有限差分方程式を使用して導関数を近似し、微分方程式の解を近似する数値法です。

有限差分法や有限要素法と同様に、メッシュ ジオメトリ上の離散的な場所で値が計算されます。「有限体積」とは、メッシュ上の各ノード ポイントを囲む小さな体積を指します。有限体積法では、発散項を含む偏微分方程式の表面積分は、発散定理を使用して体積積分に変換されます。次に、これらの項は各有限体積の表面でのフラックスとして評価されます。特定の体積に入るフラックスは隣接する体積から出るフラックスと同じであるため、これらの方法では設計により質量が保存されます。

弱解は、PDE を満たす関数ですが、通常の意味とは別の意味を持ちます。この用語の意味は文脈によって異なる場合があり、最も一般的に使用される定義の 1 つは、分布の概念に基づいています。

弱解の定義の 例^{[19]は次の通りである。}

次式で与えられる境界値問題を考えます 。 ここで は発散形式の 2 次偏微分演算子を表します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\quad {\text{in }}U,\\u&=0\quad {\text{on }}\partial U,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle Lu=-\sum _{i,j}\partial _{j}(a^{ij}\partial _{i}u)+\sum _{i}b^{i}\partial _{i}u+cu}$$

任意の に対して が成り立つとき、 は弱解であると いいます。これは、形式的な部分積分によって導出できます。 ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$$${\displaystyle \int _{U}[\sum _{i,j}a^{ij}(\partial _{i}u)(\partial _{j}v)+\sum _{i}b^{i}(\partial _{i}u)v+cuv]dx=\int _{U}fvdx}$$${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(U)}$

弱解の例は次の通りである。 は 分布的な意味で、形式的には以下を満たす弱解である 。$${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{|x|}}}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\delta {\text{ in }}R^{3}}$$$${\displaystyle \int _{R^{3}}\nabla ^{2}\phi (x)\psi (x)dx=\int _{R^{3}}\phi (x)\nabla ^{2}\psi (x)dx=\psi (0){\text{ for }}\psi \in C_{c}^{\infty }(R^{3}).}$$

適切性とは、偏微分方程式に関する情報の共通の図式的なパッケージを指します。偏微分方程式が適切であると判断するには、次の条件を満たす必要があります。

• 存在と一意性の定理は、いくつかの自由に選択された関数の規定によって、偏微分方程式の特定の解を一つだけ選択できると主張する。
• 自由選択を継続的に変更することで、対応する解決策も継続的に変更されます。

これは、いくつかの異なる PDE に適用する必要があるため、やや曖昧です。特に「連続性」の要件は、厳密に定義できる非同等の手段が多数あるため、あいまいです。ただし、PDE が適切に設定される方法を指定せずに PDE を研究するのは、やや珍しいことです。

エネルギー法は、初期境界値問題（IBVP）の適切性を検証するために使用できる数学的手順です。^[20]次の例では、エネルギー法を使用して、結果として得られるIBVPが適切になるように、どこにどの境界条件を課すべきかを決定します。次に示す1次元双曲型PDEを考えます。 $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad x\in [a,b],t>0,}$$

ここでは定数、 は初期条件 を持つ未知の関数である。 を で乗じて領域上で積分すると、 ${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x=0.}$$

最初の関係式に部分積分法が使われたので、次の式が 得られる。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\quad {\text{and}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}+\alpha u(b,t)^{2}-\alpha u(a,t)^{2}=0.}$$

ここで、 は標準ノルムを表します。適切性のためには、解のエネルギーが非増加であること、つまり であることが求められます。これは、 の場合に で、 の場合にで指定することで実現されます。これは、流入時にのみ境界条件を課すことに相当します。適切性は、データ（初期値と境界値）の増加を許容するため、すべてのデータがゼロに設定されている場合に が成り立つことを示せば十分です。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle L^{2}}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle x=b}$${\displaystyle \alpha <0}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$

コーシー初期値問題に対するコーシー-コワレフスキー定理は、本質的には、偏微分方程式の項がすべて解析関数で構成され、特定の横断条件（初期データが提示される超平面、より一般的には超曲面は、偏微分演算子に関して非特性でなければならない）が満たされる場合、特定の領域に、解析関数でもある解が必然的に存在することを述べています。これは、解析偏微分方程式の研究における基本的な結果です。驚くべきことに、この定理は滑らかな関数の設定では成り立ちません。1957年にHans Lewyによって発見された例は、係数が滑らかである（つまり、すべての次数の導関数を持つ）が、解が存在しない解析的ではない線型偏微分方程式で構成されています。したがって、コーシー-コワレフスキー定理の範囲は必然的に解析関数に限定されます。

一般的な偏微分方程式

• 音波方程式
• バーガースの方程式
• 連続方程式
• 熱方程式
• ヘルムホルツ方程式
• クライン・ゴルドン方程式
• ヤコビ方程式
• ラグランジュ方程式
• ラプラス方程式
• マクスウェル方程式
• ナビエ・ストークス方程式
• ポアソン方程式
• 反応拡散システム
• シュレーディンガー方程式
• 波動方程式

境界条件の種類

• ディリクレ境界条件
• ノイマン境界条件
• ロビン境界条件
• コーシー問題

さまざまなトピック

• ジェットバンドル
• 微分方程式に適用されるラプラス変換
• 動的システムと微分方程式のトピックのリスト
• 行列微分方程式
• 数値偏微分方程式
• 偏微分代数方程式
• 再帰関係
• 確率過程と境界値問題

• Cajori, Florian (1928). 「偏微分方程式と偏微分・積分の初期の歴史」(PDF) .アメリカ数学月刊誌. 35 (9): 459–467. doi :10.2307/2298771. JSTOR 2298771. 2018-11-23 に オリジナル(PDF)からアーカイブ。2016-05-15に取得。
• ニーレンバーグ、ルイ(1994)。「20 世紀前半の偏微分方程式」数学の発展 1900-1950 (ルクセンブルク、1992)、479-515、ビルクハウザー、バーゼル。
• Brezis, Haïm ; Browder, Felix (1998). 「20世紀の偏微分方程式」.数学の進歩. 135 (1): 76–144. doi : 10.1006/aima.1997.1713 .

• 「微分方程式、偏微分方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 偏微分方程式: EqWorld の正確な解: 数式の世界。
• 偏微分方程式: EqWorld: 数式の世界のインデックス。
• 偏微分方程式: EqWorld のメソッド: 数式の世界。
• exampleproblems.com にある解答付きの例題
• mathworld.wolfram.com の偏微分方程式
• Mathematica による偏微分方程式
• Cleve Moler における偏微分方程式: MATLAB による数値計算
• nag.com の偏微分方程式
• サンダーソン、グラント（2019年4月21日）。「しかし、偏微分方程式とは何でしょうか？」3Blue1Brown。2021年11月2日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。