バーガーズの方程式

バーガース方程式、またはベイトマン・バーガース方程式は、流体力学[ ^{2 ] 、非線形音響学[3]}、気体力学、交通流[4]、数理物理学^[ 5 ]など、^{応用数学の}様々な^{分野で現れる}基本的な偏微分方程式および対流拡散方程式^{[ 1 ]}です。この方程式は、 1915年にハリー・ベイトマンによって初めて導入され^{[ 6 ] [ 7 ]}、その後1948年にヨハネス・マルティヌス・バーガースによって研究されました^{[ 8 ]。与え}られた場に対して^、${\displaystyle u(x,t)}$拡散係数（または、元の流体力学の文脈における動粘度）${\displaystyle \nu }$1次元空間におけるバーガース方程式（粘性バーガース方程式とも呼ばれる）の一般形は、散逸系である。

$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

用語${\displaystyle u\partial u/\partial x}$次のように書き換えることもできます${\displaystyle \partial (u^{2}/2)/\partial x}$拡散項が存在しない場合（つまり${\displaystyle \nu =0}$) バーガース方程式は非粘性バーガース方程式となる。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

これは、不連続性（衝撃波）を生じさせる可能性のある保存方程式のプロトタイプである。

小さな値で急勾配が形成される理由は${\displaystyle \nu }$式の左辺を調べると、直感的に明らかになる。${\displaystyle \partial /\partial t+u\partial /\partial x}$これは明らかに正の方向に伝播する波を記述する波動演算子である${\displaystyle x}$速度を伴う方向${\displaystyle u}$波の速度は${\displaystyle u}$、大きな値を示す領域${\displaystyle u}$より小さい値を示す領域よりも右方向に速く伝播する${\displaystyle u}$言い換えれば、${\displaystyle u}$減少している${\displaystyle x}$最初は方向、その後はより大きく${\displaystyle u}$後方に横たわる はより小さなものに追いつく${\displaystyle u}$は前面にあります。右側の拡散項の役割は、基本的に勾配が無限大になるのを防ぐことです。

非粘性バーガース方程式は保存方程式であり、より一般的には1階準線形双曲型方程式である。方程式の解と初期条件は

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=f(x)}$

特性法によって構築できる。${\displaystyle t}$は、${\displaystyle x}$-${\displaystyle t}$平面の場合、特性方程式は次のように与えられる。

$\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=0.}$

2番目の式を積分すると、次のことがわかります。${\displaystyle u}$は特性線に沿って一定であり、最初の方程式を積分すると、特性線は直線であることがわかります。

${\displaystyle u=c,\quad x=ut+\xi }$

どこ${\displaystyle \xi }$は、特性曲線が描かれるx - t平面のx軸 ( t  =  0 )上の点 (またはパラメータ) です。${\displaystyle u}$で${\displaystyle x}$-軸は初期条件と事実からわかっている。${\displaystyle u}$各点から発せられる特性に沿って移動しても変化しない${\displaystyle x=\xi }$私たちは書く${\displaystyle u=c=f(\xi )}$各特性について。したがって、特性の軌跡のファミリーは、${\displaystyle \xi }$は

${\displaystyle x=f(\xi )t+\xi .}$

したがって、解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(x,t)=f(\xi )=f(x-ut),\quad \xi =xf(\xi )t.}$

これは、特性曲線が交差しない場合に非粘性バーガース方程式の解を決定する暗黙の関係です。特性曲線が交差する場合、偏微分方程式の古典的な解は存在せず、衝撃波の形成につながります。特性曲線が交差するかどうかは、初期条件に依存します。実際、衝撃波が形成される前の破壊時間は、 ^{[ 9 ] [ 10 ]で与えられます。}

${\displaystyle t_{b}={\frac {-1}{\inf _{x}\left(f^{\prime }(x)\right)}}.}$

粘性バーガース方程式は、コール・ホップ変換によって線形方程式に変換できます。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \varphi (x,t),}$

これにより、方程式は次のようになります。

${\displaystyle 2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{\varphi }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right)\right]=0,}$

これは、${\displaystyle x}$取得する

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}=\varphi {\frac {df(t)}{dt}},}$

どこ${\displaystyle df/dt}$は時間の任意の関数です。変換を導入します。${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{f}}$（機能には影響しません）${\displaystyle u(x,t)}$) 必要な方程式は熱方程式に帰着する^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.}$

拡散方程式は解くことができる。つまり、${\displaystyle \varphi (x,0)=\varphi _{0}(x)}$、 それから

${\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x')\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}\right]dx'.}$

初期関数${\displaystyle \varphi _{0}(x)}$初期関数に関連しています${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$による

${\displaystyle \ln \varphi _{0}(x)=-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}f(x')dx',}$

ここで、下限は任意に選択される。コール・ホップ変換を反転すると、次のようになる。

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{{\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}}$

これにより、対数の引数にある時間依存の係数を取り除くことで、次のように簡略化されます。

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.}$

この解は、熱方程式の解から導出される。${\displaystyle \varphi }$ゼロに減衰する${\displaystyle x\to \pm \infty }$;その他の解決策${\displaystyle u}$以下の溶液から得ることができる${\displaystyle \varphi }$それは異なる境界条件を満たす。

粘性バーガース方程式の明示的な式が利用可能です。物理的に関連する解のいくつかを以下に示します。^{[ 17 ]}

• チャプリギン方程式
• 保存方程式
• オイラー・トリコミ方程式
• フォッカー・プランク方程式
• KdV-バーガース方程式
• KdV-バーガース-フィッシャー方程式
• オイラー・アーノルド方程式

• EqWorld（数学方程式の世界）のバーガーズ方程式。
• 非線形方程式百科事典NEQwikiのバーガーズ方程式。