レヴィの例

偏微分方程式の数学的研究において、レヴィの例はハンス・レヴィによる解のない線型偏微分方程式の有名な例である。これは、コーシー・コワレフスカヤの定理の類似が滑らかなカテゴリでは成り立たない ことを示しています。

元の例はハーン・バナッハの定理を採用しているため明示的ではありませんが、それ以来ハワード・ヤコボウィッツによって同じ性質の明示的な例がいくつか発見されています。^[1]

マルグランジュ・エーレンプライスの定理は、定数係数を持つ線形偏微分方程式には常に少なくとも 1 つの解が存在することを (大まかに)述べています。レヴィの例は、この結果を多項式係数を持つ線形偏微分方程式に拡張できないことを示しています。

声明は次の通り

には、滑らかな（すなわち、）複素数値関数が存在し、微分方程式${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$${\displaystyle C^{\infty}}$ ${\displaystyle F(t,z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=F(t,z)}$

は任意の開集合上で解を許しません。 が解析的である場合、コーシー・コバレフスカヤの定理により解が存在することが示唆されることに注意してください。${\displaystyle F}$

Lewy は次の結果を使用して これを構築します。${\displaystyle F}$

において、 が原点の近傍において次を満たす関数であるとする。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$${\displaystyle u(t,z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=\varphi ^{\prime }(t)}$

あるC ¹関数φに対して、φ は原点の（おそらくより小さい）近傍で実解析的である必要があります。

これは、 φ を単なる滑らかな関数と見なすことによって、非存在定理として解釈される可能性があります。Lewy の例は、この後者の方程式を取り上げ、ある意味でその非可解性を のすべての点に翻訳します。証明方法はBaire カテゴリの議論を使用するため、ある正確な意味では、この形式の方程式のほとんどすべてが不可解です。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {C} }$

溝畑（1962）は後に、さらに単純な式が

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+ix{\frac {\partial u}{\partial y}}=F(x,y)}$

2 つの実変数xとyに依存する場合、解がないことがあります。これは、定数でない係数を持つ、 ほぼ最も単純な偏微分演算子です。

CR多様体には、微分演算子の連鎖複体が備わっています。これは、形式的には複素多様体上のドルボー複体と似ており、 -複体と呼ばれます。ドルボー複体は、ポアンカレの補題のバージョンを許容します。層の言語で言えば、これはドルボー複体が正確であることを意味します。ただし、レビーの例は、 -複体が正確になることはほとんどないことを示しています。 ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}}$${\displaystyle \scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}}$

• Lewy, Hans (1957)、「解のない滑らかな線形偏微分方程式の例」、Annals of Mathematics、66 (1): 155–158、doi :10.2307/1970121、JSTOR  1970121、MR  0088629、Zbl  0078.08104。
• 溝幡 茂(1962)、「空解と非解析解」、京都大学数学誌（フランス語）、1 (2): 271–302、MR  0142873、Zbl  0106.29601。
• ロゼー、ジャン＝ピエール（2001）[1994]、「レビー演算子と溝幡演算子」、数学百科事典、EMSプレス