フロベニウス群

数学において、フロベニウス群は有限集合上の推移的 置換群であり、どの非自明な元も複数の点を固定せず、いくつかの非自明な元が 1 つの点を固定します。フロベニウス群はFG フロベニウスにちなんで名付けられています。

G が集合Xの順列からなるフロベニウス群であるとする。Xの点を固定したGの部分群 Hはフロベニウス補群と呼ばれる。単位元は、 H の共役でないすべての元とともに、フロベニウス核Kと呼ばれる正規部分群を形成する。(これはフロベニウス (1901) による定理である。 ^[1]を参照のこと。ただし、この定理の、特性理論を使用しない証明はまだない。) フロベニウス群G は、 KとHの 半直積である。

${\displaystyle G=K\rtimes H}$。

フロベニウス核とフロベニウス補集合はどちらも非常に制限された構造を持っています。JG Thompson  (1960) はフロベニウス核Kが冪零群であることを証明しました。Hが偶数位数を持つ場合、 Kはアーベルです。フロベニウス補集合Hには、位数が 2 つの素数の積であるすべての部分群が巡回であるという性質があります。これは、そのシロー部分群が巡回群または一般化四元数群であることを意味します。すべてのシロー部分群が巡回であるような群はZ 群と呼ばれ、特にメタ巡回群でなければなりません。つまり、2 つの巡回群の拡張です。フロベニウス補集合Hが解けない場合、ザッセンハウスは、SL(2,5) と 30 と互いに素な位数のメタ巡回群の積である指数 1 または 2の正規部分群を持つことを示しました。特に、フロベニウス補集合がその導来部分群と一致する場合、それは SL(2,5) と同型です。フロベニウス補集合Hが解ける場合、その商が 4 点上の対称群の部分群となるような正規メタ巡回部分群を持ちます。有限群がフロベニウス補集合であるためには、非恒等群の元が非ゼロの固定点のない線型変換に対応する有限体上の忠実な有限次元表現を持つ必要があります。

フロベニウス核Kはフィッティング部分群であるGによって一意に決定され、フロベニウス補集合はシュール・ザッセンハウス定理によって共役性を除いて一意に決定されます。特に、有限群G は最大でも 1 つの方法でフロベニウス群になります。

• 最も小さい例は、6 つの要素を持つ 3 点の対称群です。フロベニウス核K の位数は 3 で、補核 H の位数は 2 です。
• q (> 2) 個の元を持つすべての有限体 F _qに対して、F _qに自然に作用する可逆アフィン変換の群はフロベニウス群です。前の例は、3 つの元を持つ体F _{3 の}場合に対応します。 ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$${\displaystyle a\neq 0}$
• 別の例として、3 倍対称 σ で点を固定し、7 点すべての巡回置換 τ で στ = τ ² σを満たすファノ平面の共線群の位数 21 の部分群が挙げられます。 F ₈ ^{× を}ファノ平面と同一視すると、σ はF ₈のフロベニウス自己同型σ( x ) = x ^{2の制限と見なすことができ、τ は 0 または 1 以外の任意の要素による乗算 (つまり、} F ₈の巡回乗法群の生成元) になります。 このフロベニウス群は、ファノ平面の 21 個の旗、つまりマークされた点のある線に対して単純に推移的に作用します。
• nが奇数である2 nの位数の二面体群は、位数が 2 の補集合であるフロベニウス群です。より一般的には、Kが奇数位数の任意のアーベル群であり、Hが位数 2 でKに反転作用する場合、半直積K.Hはフロベニウス群です。
• 次の構成により、さらに多くの例を生成できます。フロベニウス群のフロベニウス補群を非自明な部分群に置き換えると、別のフロベニウス群が得られます。2 つのフロベニウス群K ₁ . HとK ₂ . Hがある場合、( K ₁  ×  K ₂ ) . Hもフロベニウス群です。
• K が指数 7 の位数 7 ³の非可換群であり、H が位数 3 の巡回群である場合、 KによるHの拡大KHであるフロベニウス群Gが存在します。これは、非可換核を持つフロベニウス群の例です。これは、非可換核を持つフロベニウス群の最初の例でした (オットー シュミットによって構築されました)。
• H が位数 120 の群SL ₂ ( F ₅ ) である場合、それは 11 個の元を持つ体上の 2 次元ベクトル空間K上で不動点として自由に作用します。拡大KH は解けないフロベニウス群の最小の例です。
• 点を固定したザッセンハウス群の部分群はフロベニウス群です。
• フィッティング部分群が任意に大きな冪零性類を持つフロベニウス群は伊藤によって構築された: q を素数冪、d を正の整数、p をq −1の素因数でd ≤ pとする。位数qの何らかの体Fと位数pのこの体の何らかの元z を固定する。フロベニウス補集合H は、 i,i'番目の要素がz ⁱである対角行列によって生成される巡回部分群である。フロベニウス核Kは、対角要素が 1 である上三角行列からなるGL( d , q ) のシローq部分群である。核K は冪零性類d −1 を持ち、半直積KHはフロベニウス群である。

フロベニウス群Gの既約複素表現は、 HとKの既約複素表現から読み取ることができます 。 Gの既約表現には 2 つの種類があります。

• Hの任意の既約表現R は、 GからHへの商写像を使用してGの既約表現を与えます。これらは、核にK を持つGの既約表現を与えます。
• S がKの任意の非自明な既約表現である場合、Gの対応する誘導表現も既約です。これらは、核にK を含まないGの既約表現を与えます。

それ自体興味深いグループ理論的な特性がいくつかありますが、それらはグループがフロベニウス群となるような置換表現を持つことと等価です。

• Gがフロベニウス群であるための必要十分条件は、G が適切な非単位部分群Hを持ち、 H ∩ H ^{g が}任意のg ∈ G − Hに対して単位部分群である場合、つまり H がGの異常部分群である場合です。

この定義は、その後、自明な交差集合の研究に一般化され、CA 群の分類で使用されるフロベニウス群に関する結果をCN 群の結果に拡張し、最終的に奇数次定理を導出できるようになりました。

が正規部分群Kと補群Hの半直積であると仮定すると、中心化群に対する次の制限は、G がフロベニウス補群Hを持つフロベニウス群であることと同値である。 ${\displaystyle G=K\rtimes H}$

• 中心化群C G ₍ k )は、 K内の任意の非単位元kに対して K のサブグループになります。
• K内の任意の非恒等値kに対してC _H ( k ) = 1 となる。
• H内の任意の非恒等項hに対してC _G ( h ) ≤ Hとなる。

• フロベニウス、G. (1901)、「Über auflösbare Gruppen. IV.」、Berl。ベル。 (ドイツ語): 1216–1230、doi :10.3931/e-rara-18836、JFM  32.0137.01
• B. ユペール、エンドリケ グルッペン I、シュプリンガー 1967
• IM アイザックス、有限群のキャラクター理論、AMS チェルシー 1976
• DS パスマン、順列群、ベンジャミン 1968
• Thompson、John G. (1960)、「有限群の正規 p-complements」、Mathematische Zeitschrift、72 : 332–354、doi :10.1007/BF01162958、ISSN  0025-5874、MR  0117289