リンク（単体複体）

単体複体のリンクは、グラフ内の頂点の近傍を一般化したものです。頂点のリンクは、頂点における複体のローカル構造に関する情報をエンコードします 。

抽象単体複体 Xと内の頂点が与えられた場合、そのリンクは、およびがXの面となるようなすべての面を含む集合です。 ${\textstyle v}$${\textstyle V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle v\not \in \tau }$${\textstyle \tau \cup \{v\}}$

• Xが 1 次元複素数 (つまり、グラフ)である特殊なケースでは、はグラフ内の辺、つまりグラフ内の の近傍となるようなすべての頂点を含みます。${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$${\textstyle u\neq v}$${\textstyle \{u,v\}}$${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$${\textstyle v}$

幾何単体複体 Xとが与えられたとき、その連結部はとなるすべての面を含む集合であり、 を頂点として を面として持つ内の単体が存在する。 ^{[1] : 3}同様に、連結部は内の面である。^{[2] : 20}${\textstyle v\in V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle v\not \in \tau }$${\textstyle X}$${\textstyle v}$${\textstyle \tau }$ ${\textstyle v\star \tau }$${\textstyle X}$

• たとえば、v が左側の四面体の最上部の頂点であるとします。すると、vのリンクは四面体の底辺にある三角形になります。これは、その三角形の各辺について、v と辺の結合部が三角形 (四面体の辺にある 3 つの三角形のうちの 1 つ) であり、vと三角形自体の結合部が四面体全体であるためです。

  

別の定義は、頂点のリンクは次のように構築されたグラフLk( v , X ) であるということです。Lk( v , X )の頂点は、 vに接続するXの辺です。そのような 2 つの辺がLk( v , X )で隣接しているのは、vにある共通の 2 セルに接続している場合のみです。 ${\textstyle v\in V(X)}$

• グラフLk( v , X )は、 vを中心とする小さな半径の球の位相が与えられることが多い。これは、点を中心とする球に類似している。^[3]

リンクの定義は、単一の頂点から任意の面まで拡張できます。

抽象単体複体 XとXの任意の面が与えられた場合、そのリンクは、 互いに素でありXの面であるようなすべての面を含む集合です。${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle \sigma ,\tau }$${\textstyle \tau \cup \sigma }$${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:~\tau \cap \sigma =\emptyset ,~\tau \cup \sigma \in X\}}$

幾何学的単体複体 Xと任意の面が与えられたとき、その連結はが互いに交わらないすべての面を含む集合であり、 にはと の両方を面として持つ単体が存在する。^{[1] : 3}${\textstyle \sigma \in X}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle \sigma ,\tau }$${\textstyle X}$${\textstyle \sigma }$${\textstyle \tau }$

四面体の頂点のリンクは三角形です。リンクの 3 つの頂点は頂点に接する 3 つの辺に対応し、リンクの 3 つの辺は頂点に接する面に対応します。この例では、リンクは頂点を平面で切断することで視覚化できます。正式には、四面体を頂点近くの平面と交差させ、結果として得られる断面がリンクです。

別の例を以下に示します。2 次元の単体複合体があります。左側では、頂点が黄色でマークされています。右側では、その頂点のリンクが緑色でマークされています。

• 
  頂点とそのリンク。

• 任意の単体複体Xでは、すべてのリンクが下向きに閉じているため、これも単体複体であり、 Xの部分複体です。${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$
• Xは単体なので、と集合の間には集合同型が存在します。つまり、任意の はに対応し、 は に含まれます。${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$${\displaystyle X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ }}\sigma \subseteq \rho \}} である$${\textstyle \tau \in \operatorname {Lk} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \cup \sigma }$${\displaystyle X_{\sigma}}$

リンクに深く関係する概念はスターです。

抽象単体複体 Xと任意の面,が与えられた場合、そのスターは、 がXの面であるようなすべての面を含む集合です。Xが1 次元複体 (つまり、グラフ)である特別なケースでは、は に隣接するすべての頂点のすべての辺を含みます。つまり、を中心とするグラフ理論のスターです。 ${\textstyle \sigma \in X}$${\textstyle V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle \tau \cup \sigma }$${\textstyle \operatorname {St} (v,X)}$${\textstyle \{u,v\}}$${\textstyle u}$${\textstyle v}$${\textstyle u}$

幾何学的単体複体 Xと任意の面が与えられたとき、そのスターは、 との両方を面として持つ単体が存在するようなすべての面を含む集合です。言い換えれば、それは集合 の閉包、つまり を面として 持つ単体の集合です。${\textstyle \sigma \in X}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X)}$${\textstyle \tau \in X}$${\textstyle X}$${\textstyle \sigma }$${\textstyle \tau }$${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ are faces of }}\rho \}}$${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ は }}\rho \}} の面である$${\textstyle \sigma }$

したがって、リンクはスターのサブセットです。スターとリンクは次のように関連しています。

• 任意の に対して、. ^{[1] : 3}${\textstyle \sigma \in X}$${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$
• 任意の に対して、、つまり の星はにおけるそのリンクの円錐である。^{[2] : 20}${\textstyle v\in V(X)}$${\textstyle \オペレーター名 {St} (v,X)=v\star \オペレーター名 {Lk} (v,X)}$${\textstyle v}$${\textstyle v}$

以下に例を示します。2 次元の単体複合体があります。左側では、頂点が黄色でマークされています。右側では、その頂点の星が緑色でマークされています。

• 
  頂点とその星。

• 頂点図形- 単体リンクに似た幾何学的概念。