微分可能なスタック

微分可能スタックは、代数幾何学における代数スタックの微分幾何学における類似物である。これは、アトラスを許容する微分可能多様体上のスタックとして、または森田同値までのリー群として記述することができる。^[1]

微分可能スタックは、微分幾何学では自然に現れるが微分可能多様体ではない特異点を持つ空間（すなわち、オービフォールド、リーフ空間、商）を扱うのに特に有用である。例えば、微分可能スタックは葉理理論^[2] 、ポアソン幾何学^[3]、ツイストK理論^[4]に応用されている。

群体のファイバー化カテゴリ（群体のファイバー化とも呼ばれる）は、微分可能多様体のカテゴリへの関数を伴うカテゴリで構成され、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$は繊維状の範疇です。つまり、 の任意の対象と の任意の矢印に対して、の上に矢印が存在します。${\displaystyle u}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle V\to U}$${\displaystyle \mathrm {製造} }$${\displaystyle v\to u}$${\displaystyle V\to U}$
2. 内の任意の可換三角形 とを超える任意の矢印に対して、三角形を可換にする を超える唯一の矢印が存在します。${\displaystyle W\to V\to U}$${\displaystyle \mathrm {MDF} }$${\displaystyle w\to u}$${\displaystyle W\to U}$${\displaystyle v\to u}$${\displaystyle V\to U}$${\displaystyle w\to v}$${\displaystyle W\to V}$${\displaystyle w\to v\to u}$

これらの特性により、のあらゆるオブジェクトについて、またはで表されたそのファイバーを、上にある のすべてのオブジェクトと上にあるのすべての射によって構成されるのサブカテゴリとして定義できることが保証されます。構築により、は群体 であるため、名前の由来となっています。スタックは、降下によって表現されるさらなる接着特性を満たす群体ファイバーです。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathrm {製造} }$${\displaystyle \pi^{-1}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle id_{U}}$${\displaystyle \pi^{-1}(U)}$

任意の多様体はスライスカテゴリを定義し、そのオブジェクトは多様体と滑らかな写像のペアです。すると、は群ファイバリングであり、これは実際にはスタックでもあります。群ファイバリングの射は、次の場合、 表現可能な沈み込みと呼ばれます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)}$${\displaystyle (U,f)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

• あらゆる多様体と任意の射に対して、ファイバー積は表現可能、すなわち、 （ある多様体に対して）群ファイバー積として に同型である。${\displaystyle U}$${\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}}$${\displaystyle F_{V}}$${\displaystyle Y}$
• 誘導スムーズマップは水没です。${\displaystyle V\to U}$

微分可能スタックとは、ある多様体 に対して、特殊な表現可能な沈み込み（上で説明したすべての沈み込みは、全射であることが求められる）を伴うスタックである。このマップは、スタックのアトラス、プレゼンテーション、またはカバーと呼ばれる。^{[5] [6]}${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle V\to U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$

カテゴリ 上の (群体の)プレスタック( 2-プレ層とも呼ばれる) は2-関数であり、 は(集合論的)群体の2-カテゴリ、それらの射、およびそれらの間の自然変換であることを思い出してください。スタックは、さらなる接着特性 (層が満たす接着特性に類似) を満たすプレスタックです。このような特性を正確に述べるには、サイト上の (プレ) スタック、つまりグロタンディーク位相を備えたカテゴリを定義する必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$${\displaystyle \mathrm {グループ} }$

任意のオブジェクトはスタックを定義し、これは別のオブジェクトに から への射の群を関連付けます。スタックは、オブジェクトとスタックの射（スタックのアトラス、プレゼンテーション、またはカバーと呼ばれることが多い）があり、 ${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)}$${\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$${\displaystyle X}$

• 射は表現可能、すなわち内のあらゆるオブジェクトと のあらゆる射に対して、ファイバー積はスタックとして(何らかのオブジェクト に対して)と同型である。${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}}$${\displaystyle {\underline {Z}}}$${\displaystyle Z}$
• 誘導射は、カテゴリに応じてさらなる特性を満たします（たとえば、多様体の場合、それは沈み込みであることが求められます）。${\displaystyle Z\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

微分可能スタックとは、微分可能多様体の圏（通常の開被覆位相を持つサイトとして見られる）上のスタック、つまり2-関手であり、これも幾何学的である、つまり上で説明したアトラスを許容する。^{[7] [8]}${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} }$${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$

アフィンスキームのカテゴリに置き換えると、代数スタックの標準的な概念が回復されることに注意してください。同様に、位相空間のカテゴリに置き換えると、位相スタックの定義が得られます。 ${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$

リー群は、 2 つの微分可能多様体と、2 つの射影的沈み込み、および部分乗算写像、単位写像、逆写像から構成され、群のような互換性を満たすこと を思い出してください。${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s,t:G\to M}$${\displaystyle m:G\times _{M}G\to G}$${\displaystyle u:M\to G}$${\displaystyle i:G\to G}$

2 つのリー群と は、それらの間に主双束、つまり主右束、主左束があり、2 つの作用が交換される場合、森田同値です。森田同値は、リー群間の同値関係であり、同型性よりも弱いですが、多くの幾何学的特性を保持するのに十分強いです。 ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle H\rightrightarrows N}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P\to M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P\to N}$${\displaystyle P}$

微分可能スタックは、あるリー群の森田同値類である。[ ^{5] [9]}${\displaystyle [M/G]}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

任意のファイバーカテゴリは2 層 を定義します。逆に、任意のプレスタックはカテゴリ を生じます。このカテゴリの対象は多様体とオブジェクトのペアであり、このカテゴリの射はとなる写像です。このようなカテゴリは、関数 を持つファイバーカテゴリになります。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} }$${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (U,x)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in X(U)}$${\displaystyle \phi :(U,x)\to (V,y)}$${\displaystyle X(\phi )(y)=x}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U}$

スタックを定義する接着特性は、最初の定義と2番目の定義で同等です。同様に、定義1の意味でのアトラスは、定義2の意味でのアトラスを誘導し、その逆も同様です。^[5]

すべてのリー群は微分可能スタックを生じ、これは任意の多様体を上の-トルソーのカテゴリ(つまり-主バンドル) に送ります。 の Morita クラスの他の任意のリー群は同型スタックを誘導します。 ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

逆に、任意の微分可能スタックは の形式、つまりリー群で表すことができます。より正確には、 がスタックのアトラスである場合、リー群を定義し、 がに同型であることを確認します。 ${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$${\displaystyle BG}$${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M}$${\displaystyle BG_{X}}$${\displaystyle X}$

ドレット・プロンクの定理は、第一定義による微分可能スタックとリー群との間の二元圏の同値性を森田同値まで規定している。^[10]

• 任意の多様体は微分可能なスタックを定義し、これは恒等射によって自明に表される。スタックは単位群の森田同値類に対応する。${\displaystyle M}$${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)}$${\displaystyle {\underline {M}}\to {\underline {M}}}$${\displaystyle {\underline {M}}}$ ${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$
• 任意のリー群は 、任意の多様体を上の -主バンドルのカテゴリに送信する微分可能スタック を定義します。これは、点を の分類空間上の普遍的な-バンドルに送信する自明なスタック射 によって表されます。スタックは、点上のリー群として見られる の森田同値類 (つまり、等方性 を持つ任意の推移リー群の森田同値類)に対応します。${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\underline {pt}}\to BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$${\displaystyle G}$
• 多様体上の任意の葉理は、その葉空間を介して微分可能なスタックを定義します。これは、 ホロノミー群の森田同値類に対応します。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$
• 任意のオービフォールドは、離散等方性を持つ真リー群の森田同値類であるため、微分可能スタックです（真リー群の等方性はコンパクトであるため、したがって有限です）。

へのリー群作用 が与えられたとき、その商（微分可能）スタックは代数幾何学における商（代数的）スタックの微分対応物である。これは、任意の多様体に主-バンドルと-同変写像のカテゴリを関連付けるスタックとして定義される。これは、任意の多様体に対して次のように 定義されるスタック射によって表される微分可能スタックである。${\displaystyle a:M\times G\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [M/G]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi :P\to M}$${\displaystyle {\underline {M}}\to [M/G]}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})}$$

ここで は-同変写像である。^[7]${\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g}$

スタックは作用群の森田同値類に対応する。したがって、次の特定のケースが回復される。 ${\displaystyle [M/G]}$${\displaystyle M\times G\rightrightarrows M}$

• が点である場合、微分可能なスタックは${\displaystyle M}$${\displaystyle [M/G]}$${\displaystyle BG}$
• 作用が自由かつ固有である場合（したがって商は多様体である）、微分可能スタックは${\displaystyle M/G}$${\displaystyle [M/G]}$${\displaystyle {\underline {M/G}}}$
• 作用が適切であれば（したがって商はオービフォールドである）、微分可能なスタックはオービフォールドによって定義されたスタックと一致する。${\displaystyle M/G}$${\displaystyle [M/G]}$

微分可能空間は、自明な安定子を持つ微分可能なスタックです。たとえば、リー群が多様体に対して自由に 作用するが、必ずしも適切に作用しない場合、その商は一般に多様体ではなく微分可能空間です。

微分可能スタックには、ある方法でグロタンディーク位相を備えることができます(参考文献を参照)。これにより、上の層の概念が与えられます。たとえば、上の微分 -形式の層は、を 上の -形式の空間とすると、によって与えられます。この層は上の構造層と呼ばれ、 によって表されます。は外微分を伴い、したがって上のベクトル空間の層の複合体です。したがって、のde Rham コホモロジーの概念が得られます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \Omega _{X}^{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \Omega _{X}^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

微分可能なスタック間のエピモーフィズムは、もエピモーフィズムであるとき、上のゲルブと呼ばれます。たとえば、 がスタックである場合、はゲルブです。ジローの定理によれば、 は に局所的に同型で、バンドの自明化を伴う 上のゲルブの集合に一対一で対応します。 ^[11]${\displaystyle G\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G\to G\times _{X}G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$${\displaystyle H^{2}(X,S^{1})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$

• http://ncatlab.org/nlab/show/Differenceiable+stack